Concours blanc 2 : &eacutepreuve 2

Math´ ematiques Concours blanc n

2

Epreuve n

2 Novembre 2018

Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h

La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.

Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel

´

electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.

Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.

Exercice

SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansN^∗. 1. (a) Montrer que pour tout entier naturelj non nul,

P(X =j) =P(X > j−1)−P(X > j).

(b) Soitpun entier naturel non nul. Montrer que

p

X

j=1

jP(X =j) =





p−1

X

j=0

P(X > j)



−pP(X > p).

2. (a) On suppose queX admet une esp´eranceE(X) =µ.

i. Justifier la convergence de la s´erie de terme g´en´eralkP(X =k).

ii. Montrer que :

p→+∞lim

+∞

X

k=p+1

kP(X =k) = 0.

iii. En d´eduire que

p→+∞lim pP(X > p) = 0.

iv. Montrer que la s´erie de terme g´en´eralP(X > j) converge.

v. Montrer que

µ=

+∞

X

j=0

P(X > j).

(b) On suppose que

+∞

X

j=0

P(X > j) converge.

i. D´eterminer le sens de variation de la suite (vp)p≥1 d´efinie par v_p=

p−1

X

j=0

P(X > j).

ii. Comparer

p

X

j=1

jP(X=j) et

+∞

X

j=0

P(X > j).

iii. En d´eduire queX admet une esp´erance.

(c) Conclure des questions pr´ec´edentes que X admet une esp´erance si et seulement si la s´erie de terme g´en´eral P(X > j) converge.

1

Probl` eme

Dans tout le probl`eme, on consid`ere la suite (un)_n∈Nd´efinie paru0= 0, u1= 1 et la relation pour toutndeN, u_n+2=u_n+1+u_n.

La partie II est ind´ependante de la partie I et la partie III est ind´ependante de la partie II.

Partie I. Analyse

1. (a) Montrer que la suite (un)_n∈

Nest une suite croissante d’entiers naturels.

(b) La suite est-elle convergente ?

Dans toute la suite du probl`eme,aet b(a > b) d´esignent les deux solutions de l’´equation du second degr´e suivante : x²−x−1 = 0

2. (a) Montrer que :

b= 1−a=−1 a. Etablir l’encadrement suivant 1´ < a <2.

(b) Montrer que, pour toutndeN, on a :

u_n= 1

√5(aⁿ−bⁿ). (c) En d´eduire un ´equivalent deulorsquentend vers +∞

3. On pose, pour toutndeN:β_n=u_n+1−au_n. Exprimer, pour tout ndeN, β_n en fonction denetb.

4. On rappelle que pour tout r´eel x, la partie enti`ere dexest l’entier not´ebxcqui v´erifie : bxc ≤x <bxc+ 1.

(a) ´Etablir, pour toutndeN, l’´egalit´e suivante :

bau_2nc=u_2n+1−1.

(b) Exprimer, pour toutndeN^∗ bau_2n−1c, en fonction deu_2n. 5. Soity un r´eel fix´e v´erifiant|y|<1 etkun entier fix´e deN.

(a) Montrer que la s´erie P

n≥1

n^kyⁿ est absolument convergente.

(b) En d´eduire la convergence de la s´erie X

n≥1

n^k u_n 2ⁿ⁺¹. (c) En utilisant la d´efinition de la suite (u_n)_n∈

N, calculer

+∞

X

n=1

u_n 2ⁿ⁺¹.

Partie II. Alg` ebre et algorithmique

1. SoitAla matrice carr´ee d’ordre 4 d´efinie par :

A= 1 2









1 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1









(a) La matriceAest-elle inversible ?

(b) CalculerA²et A³ V´erifier queA³ est une combinaison lin´eaire deAet A². (c) ´Etablir l’existence de deux suites (a_n)_n∈

N^∗et (b_n)_n∈

N^∗ telles que, pour toutndeN^∗ On ait : Aⁿ=anA+bnA²

(d) Exprimer, pour toutndeN^∗,an+1etbn+1en fonction deanetbn. Montrer que les suites (an)_n∈N∗ et (bn)_n∈N∗

v´erifient une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2.

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2. On propose la fonction Scilab suivante :

n=input(’Donner un entier naturel non nul’) u=0;

v=1;

for k=1:n-1 temp= ;

v= ;

u= ;

end;

disp( )

Compl´eter cette fonction aux quatre places signal´ees par des tirets de fa¸con que la valeur rendue soitu_n.

3. Soitnun entier de N^∗. On dit que nadmet uneZ-d´ecomposition s’il existe un entier rdeN^∗ tel que l’on puisse

´ ecrire

n=uk₁+uk₂+· · ·+uk_r,

o`u, pour toutide [[1, r]]k<sub>i</sub> est un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 et o`u, pour tout ide [[1, r−1]] (avecr≥2), on a : ki+1−ki≥2.

(a) Montrer que les entiers 37 et 272 admettent uneZ-d´ecomposition.

(b) Soitnun entier admettant uneZ-d´ecomposition de la formen=uk1+uk2+· · ·+ukr.Montrer, par r´ecurrence surr, que l’on a :

n < u_kr+1 En d´eduire l’unicit´e der.

(c) Montrer que, pour tout entierpsup´erieur ou ´egal `a 2, tout entier n qui v´erifie 1≤n≤up admet une unique Z-d´ecomposition (on pourra faire un raisonnement par r´ecurrence surp).

Partie III. Probabilit´ es

On effectue dans une urne qui contient des boules num´erot´ees 0 ou 1 une suite illimit´ee de tirages avec remise d’une boule. `A chaque tirage, la probabilit´e de tirer une boule num´erot´ee 1 estp(0< p <1) et la probabilit´e de tirer une boule num´erot´ee 0 estq, avecq= 1−p, et on suppose que les r´esultats des diff´erents tirages sont ind´ependants.

On suppose que cette exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A, P). On s’int´eresse au nombre de tirages n´ecessaires pour obtenir deux boules num´erot´ees 1 de suite, c’est-`a-dire lors de deux tirages cons´ecutifs. On d´efinit, pour tout ideN<sup>∗</sup>, les ´ev´enementsSi : ”le i-i`eme tirage donne une boule num´erot´ee 1 ”, etBi=Si∩Si+1.

Si au moins un des ´ev´enementsB_i se r´ealise au cours de l’exp´erience, on noteY la valeur de l’entier j correspondant au premier ´ev´enement B_j r´ealis´e. Sinon, c’est-`a-dire si aucun des ´ev´enementsB<sub>i</sub> ne se r´ealise, on attribue `a Y la valeur 0. On admet queY est une variable al´eatoire d´efinie sur (Ω,A, P).

Par exemple, si le r´esultat de l’exp´erience est : 0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,alorsY prend la valeur 6.

1. (a) Calculer, pour toutideN^∗, la probabilit´eP(Bi).

(b) D´eterminerY (Ω). CalculerP([Y = 1]), P([Y = 2]) etP([Y = 3]).

2. Pour toutn deN^∗, on note Cn, l’´ev´enement ”lors des n premiers tirages, il n’apparait jamais deux fois de suite une boule num´erot´ee 1”. On pose :C0= Ω.

(a) CalculerP(C₀),P(C₁) etP(C₂) (b) ´Etablir, pour toutndeN, la relation :

P([Y =n+ 2]) =p²qP(C_n)

3. (a) En consid´erant les r´esultats possibles des deux premiers tirages, montrer, pour tout entiernsup´erieur ou ´egal

`

a 2, l’´egalit´e :

P(C_n) =qP(C_n−1) +pqP(C_n−2)

(b) D´eterminer, pour toutndeN^∗ une relation entreP([Y =n+ 2]),P([Y =n+ 1]) etP([Y =n]) 4. On suppose dans cette question quep=q=1

2.

(a) Montrer que, pour toutndeN^∗, on a :P([Y =n]) = un

2ⁿ⁺¹ o`u la suite (un)_n∈

Na ´et´e d´efinie dans le pr´eambule du probl`eme.

(b) Que vautP([Y = 0]) ?

(c) On noteE(Y) l’esp´erance de Y. Montrer queE(Y) = 5.

(d) Calculer la varianceV(Y) deY.

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5. On revient au cas g´en´eral : 0< p <1 etq= 1−p.

(a) Montrer que l’´equation du second degr´ex²−qx−pq = 0 admet deux racines distinctes. On les note ret s.

avecr > s.

(b) ´Etablir les in´egalit´es suivantes

−1< s <0< r <1 et r >|s|. (c) On pose ∆ =q²+ 4pq. Montrer que, pour toutndeN^∗on a :

P([Y =n]) = p²

√∆(rⁿ−sⁿ) (d) CalculerP([Y = 0]).

(e) Montrer queY admet des moments de tous ordres et calculer l’esp´erance de Y. 6. (a) Montrer, pour tout r´eel xv´erifiant|x|< 1

r, la convergence de la s´erie P

n≥1

P([Y =n])xⁿ. On pose alors :

g(x) =

+∞

X

n=1

P([Y =n])xⁿ.

(b) ´Etablir, pour tout r´eelxv´erifiant|x|< 1

r, la formule suivante : g(x) = p²x

1−qx−pqx². 7. On suppose dans cette question quep=2

3.

(a) ´Etudier les variations de la fonctiong sur l’intervalleI=

−3 2,3

2

(b) Montrer l’existence d’un unique r´eelαde

−1 2,0

tel quegsoit concave sur l’intervalle

−3 2, α

et convexe sur l’intervalle

α,3

2

(c) Tracer l’allure de la courbe repr´esentative deg surI dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e.

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