CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP
BANQUE
ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES
SESSION 2015
avec corrigés
V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moinier,
P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin 2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR
Dernière mise à jour : le 11/05/15
Introduction
L’épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
— 25mn de préparation sur table.
— 25mn de passage à l’oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :
— un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le sitehttp://ccp.scei-concours.fr
— un exercice sur 12 points.
Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents.
Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2015:
— 58 exercices d’analyse ( exercice 1 à exercice 58).
— 37 exercices d’algèbre (exercice 59 à exercice 94).
— 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).
Dans l’optique d’aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé.
Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d’année scolaire.
Cela dit, il ne s’agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour plus de clarté, relevé d’éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d’exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d’année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.fr
si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.
Remerciements à David DELAUNAY pour l’autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des exercices de l’ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr
NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes :
•A. Antibi, L. d’Estampes et interrogateurs, Banque d’exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701
•D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014.
http://mp.cpgedupuydelome.fr
L’équipe des examinateurs de l’oral de mathématiques des CCP, filière MP.
Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP.
vbellecave@gmail.com
MISES À JOUR :
mise à jour du 21/09/14:
exercice 5 corrigé 2. ( 3 dernières lignes).
mise à jour du 25/11/14:
exercice 1 : énoncé et corrigé 1. notation des suites modifiée.
exercice 5 : corrigé 1. modification de la majoration (pour qu’elle soit valable pourn>2) et corrigé 2. ligne 7 (équivalent deun).
exercice 7 : énoncé (notation de la série de fonctions etichangé eni)) et corrigé 1.
exercice 8 : corrigé 1. ligne 6.
exercice 9 :énoncé notation suite de fonctions modifié et corrigé 2.b.Rchangé en[0; +∞[.
exercice 15 : corrigé 2. complété.
exercice 16 : corrigé 1. dernière ligne rajoutée.
exercice 22 : corrigé 1. distinctionRa6= 0etRa>0.
exercice 23 : corrigé 1. dernière ligne.
exercice 29 : :corrigé 3. rajout en fin de question.
exercice 34 : corrigé 2. troisième ligneachangé enx.
exercice 39 : énoncé (ordre des questions modifié) et corrigé 4. rajout de la comparaisonFet(F⊥)⊥. exercice 41 : corrigé 2. changé et rajout d’une remarque en fin de corrigé.
exercice 55 : corrigé 1. souci de notations.
exercice 66 : corrigé 3. second block6= 0changé enk6= 0.
exercice 67 : corrigé troisième casχA(X)changé enχM(X).
exercice 72 : corrigé fonction nulle changée en endomorphisme nul (deux fois).
exercice 93 : supprimé.
Attention: par conséquent, la numérotation des exercices suivants est modifiée.
exercice 100 (ancien exercice 101) : énoncékchangé enn.
mise à jour du 08/01/15:
exercice 75 corrigé question 2. : vecteur ligne(2,−1)remplacé par vecteur colonne 2
−1
. exercice 94 corrigé : suppression du 3.c.
exercice 101 énoncé : t=0 remplacé part= 0, modification des espaces autour des guillemets.
exercice 101 corrigé question 1. : rajout de "d’après la formule des probabilités totales".
exercice 102 fin du corrigé :X
n61
remplacé parX
n>1
.
exercice 108 corrigé 1. : loi deY :
+∞
X
i>0
1 2 i
changée enX
i>0
1 2 i
. exercice 111 énoncé :p∈]−1; 1[remplacé parp∈]0; 1[.
mise à jour du 17/03/15:
exercice 52 énoncé : reformulé pour préciser queα= 0pour l’étude des dérivées partielles et de l’aspectC1def.
exercice 97 : suppression de la première ligne de l’énoncé.
exercice 102 : énoncéY(ω) = min (X1(ω),· · ·, Xn(ω))changé enY(ω) = min (X1(ω),· · ·, XN(ω)).
exercice 102 : corrigé 2.b modifié : on reconnait une loi géométrique.
exercice 103 : corrigé question 1.a. : rajout d’une remarque.
exercice 105 : corrigé 2.c. interprétation reformulée.
exercice 108 corrigé 2.b :E(X)etV(X)remplacés parE(Y)etV(Y).
mise à jour du 28/04/15:
Dans tous les exercices,kera été remplacé parKer.
exercice 3 énoncé question 2. :fnchangé enf(n).
exercice 3 corrigé 3. :f(n−k)g(k)(x)changé enf(n−k)(x)g(k)(x)et c’est à dire en c’est-à-dire.
exercice 4 corrigé 3. : un point devant le mais changé en une virgule.
exercice 5 énoncé 3. :n>3changé enn>2.
exercice 5 corrigé 2.4ièmeligne : vosinage changé en voisinage.
exercice 6 corrigé 1.6ièmeligne : rajout d’un donc.
exercice 7 énoncé : notation des suites modifiée.
exercice 8 corrigé : notation des suites changée en remplaçant par exemple(Sn)en(Sn)n∈N. exercice 8 corrigé : c’est à dire changé en c’est-à-dire.
exercice 9 :(fn)n∈Nchangé en(fn).
exercice 9 corrigé 2.c : ? remplacé par un point.
exercice 10 énoncé :(fn)n∈Nchangé en(fn).
exercice 11 énoncé :(fn)n∈Nchangé en(fn).
exercice 13 : énoncé 2. modifié pour notation correcte de la suite de fonctions et pout changé en pour.
exercice 14 énoncé :(fn)n∈Nchangé en(fn).
exerccie 15 énoncé : rajout de "celle".
exercice 16 corrigé 1. :S0(x) =
+∞
X
n=0
u0n(x)changé enS0(x) =
+∞
X
n=1
u0n(x).
exercice 17 énoncé :(fn)n∈Nchangé en(fn).
exercie 20 corrigé : quelques petits rajouts et modifications de notations.
exercice 21 corrigé : modifications de notations et rajouts.
exercice 22 corrigé avant dernière ligne : comverge changé en converge.
exercice 27 énoncé et corrigé :dxchangé endxet(fn)n∈N∗changé en(fn).
exercice 29 corrigé :ln(t)changé en(lnt).
exercice 30 corrigé : mise en évidence par iii) de l’hypothèse de domination.
exercice 32 corrigé : complété.
exercice 34 corrigé : 2. reformulé et 3. notations des suites modifiée.
exercice 35 : notation des suites modifiée.
exercice 36 énoncé : précisions apportées sur les normes.
exercice 36 corrigé : rajout dedtdernière ligne.
exercice 37 énoncé et corrigé : harmonisation des variables (tout modifié ent) et rajout d’unλpour la normeN1. exercice 38 corrigé 1.a. :∀i∈J1, nKchangé en∀i∈J0, nK.
exercice 39 énoncé et corrigé : modification des notations des suites et
+∞
X
k=0
x2nchangé en
+∞
X
n=0
x2n. exercice 41 corrigé 4. : "deux" supprimé.
exercice 43 corrigé : complété et unarctanchangé enArctan.
exercice 44 corrigé : modification des notations des suites.
exercice 45 corrigé : modification des notations des suites.
exercice 47 énoncé : élémentdxchangé endx.
exercice 47 énoncé et corrigé : élémentdxchangé endx,arctanchangé enArctanet quelques notations.
exercice 48 énoncé et corrigé : modification des notations des suites de fonctions et élémentdxchangé endx, C([0,1],R)changé énC0([0,1],R)(dans le corrigé).
exercice 49 énoncé et corrigé : élémentdxchangé endx.
exercice 50 : élémentdxchangé endx,lim
t7→+∞t2ϕ(t) = 0changé en lim
t→+∞t2ϕ(t) = 0et corrigé complété.
exercice 51 corrigé : fractionun+1
un
simplifiée.
exercice 54 corrigé 2.(a) :(un)changé en(un)n∈N.
exercice 55 corrigé : modification des notations des suites etichangé eni.
exercice 56 : élémentdtchangé endt.
exercice 57 corrigé 2.(b) : rajout de parenthèses sur certains couples.
exercice 58 corrigé : complété.
exercice 61 corrigé 2. dernière ligne :pchangé enp+ 1.
exercice 63 corrigé : notation de la suite(Dn)modifiée.
exercice 64 corrigé 2.(b) : C’est à dire changé en c’est-à-dire.
exercice 68 corrigé :E3(A) =Vect(1,−1,1)changé enE3(A) = Vect
1
−1 1
.
exercice 72 corrigé remarque :x=x1e1+x2e2+...+xnenchangé env=x1e1+x2e2+...+xnen. exercice 73 énoncé et corrigé :I2changé enI2.
exercice 74 corrigé :I2changé enI2.
exercice 75 corrigé :I2changé enI2. exercice 76 :dtchangé endt.
exercice 78 corrigé : soient changé en soit et c’est à dire en c’est-à-dire.
exercice 79 corrigé : c’est à dire en c’est-à-dire, commutatitivité en commutativité et dans la question 2., variablet changée enx.
exercice 80 corrigé : nom des variables homogénéisé avec l’énoncé et commutatitivité changé en commutativité.
exercice 81 corrigé : typo modifiée pourI2enI2et autres soucis de typo.
exercice 81 corrigé : changement de notations dans 1.
exercice 84 :ichangé eni.
exercice 86 énoncé : b. modifiée.
exercice 89 :ichangé eni.
exercice 91 corrigé :I2changé enI2.
exercice 92 : énoncé 2. modifié et dans le corrigé 1., distibutivité changé en distributivité.
exercice 92 corrigé 3. : tels changé en telles.
exercice 95 énoncé : tir changé en tirage.
exercice 96 corrigé : corrigé complété.
exercice 97 corrigé : rajout d’une parenthèse ligne 3 et den= 0au lieu de0ligne 1.
exercice 98 énoncé 1. modifié.
exercice 99 énoncé : rajouté d’un trait d’union pour Bienaymé-Tchebychev.
exercice 101 corrigé : correction d’un souci de numérotation 2.(d) changé en 3 et dernière ligne du corrigé, matrice Anmodifiée.
exercice 101 corrigé :I2changé enI2. exercice 102 énoncé :Tchangé enA.
exercice 103 corrigé : notation de la loi de Poisson modifée.
exercice 104 énoncé : "elles viennent se ranger" modifié en "elles viennent toutes se ranger".
exercice 104 corrigé : rajout de ponctuation.
exercice 105 énoncé : question 1. complétée en pour un système complet d’événements.
exerccie 105 corrigé 2.(a) et 2.(b) :p(T)changé enP(T)à deux reprises.
exercice 110 énoncé 2.(b) : énoncé modifié.
exercice 112 corrigé : ligne 2 rajout de parenthèses autour deP(E).
mise à jour du 04/05/15:
exercice 2 énoncé : précisez changé en préciser.
exercice 3 énoncé :nèmechangé ennième exercice 16 énoncé : calculez changé en calculer.
exercice 22 énoncé rayon cahngé en rayon de convergence.
exercice 24 énoncé : précisez changé en préciser.
exercice 68 énoncé et corrigé :I3changé enI3. exercice 69 corrigé :I3changé enI3. exercice 70 corrigé :I3changé enI3.
exercice 71 énoncé : soit p, la projection changé en soit p la projection.
exercice 82 énoncé : calculez changé en calculer.
exerccie 86 énoncé 1.a : rajout de : .
exercice 99 énoncé et corrigé :iièmechangé enième. exercice 109 corrigé :ièmechangé eniième. mise à jour du 11/05/15:
les majuscules ont été enlevées derrière :
Les majuscules ont été accentuées dans les sujets où il a été repéré que ça n’était pas le cas.
exercice 32 :
énoncé 1. : Trouver les solutions de cette équation différentielle développables en série entière à l’origine en Trouver les solutions de cette équation différentielle développables en série entière sur un intervalle]−r, r[deR. énoncé 2. changé en est-ce que toutes les solutions dex(x−1)y00+ 3xy0+y= 0sur]0; 1[sont les restrictions d’une fonction développable en série entière sur]−1,1[?
exercice 4 énoncé : rajout d’un point et uniformisation des notations des intervalles.
exercice 7 énoncé : fin changée en Remarque :idésigne le nombre complexe de carré égal à−1.
exercice 12 énoncé : quantificateur changé en pour tout.
exercice 19 énoncé 2. : rajout de :.
exercice 20 énoncé 2. calculer changé en déterminer.
exercice 24 énoncé : dans la définition def, pour changé en si.
exercice 25 énoncé : 1. pour tout entier changé en pour tout entier naturel.
2. rajout de Pour toutn∈N.
exercice 26 énoncé : pour toutn>1changé en pour tout entiern>1.
exercice 27 énoncé : début changé en pour toutn∈N∗.(suppression du quantifiacateur) et notation des intervalles uniformisée.
exercice 28 énoncé : N.B changé en N.B.
exerccie 29 énoncé : des virgules changées en : et uniformisation des notations des intervalles.
exercice 30 énoncé : bornes de l’intégrale "mal placées". rectifié.
exercice 33 énoncé : début modifié en On pose :∀(x, y)∈R2\ {(0,0)},f(x, y) = xy
px2+y2etf(0,0) = 0.
exercice 35 énoncé 2. : allégé car des répétitions.
exercice 36 énoncé :E,Fchangé enEetFet : rajouté surP3après tel que.
exercice 37 énoncé : on pose, changé en on pose :.
exercice 38 énoncé : début changé en on noteR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
On pose :∀P∈R[X],N1(P) = Xn i=0
|ai|etN∞(P) = max
0≤i≤n|ai|oùP= Xn i=0
aiXiavecn>degP.
exercice 39 énoncé 3. :Cchangé enR.
exercice 40 énoncé : un : rajouté derrière on suppose que etudeAchangé enu∈A.
exercice 41 énoncé : ponctuation modifiée.
exercice 42 énoncé : équation changé en équation différentielle et rajout d’une virgule.
exercice 43 énoncé : rajout de deux virgules.
exercice 44 énoncé : rajout de : après montrer que (3 fois) et rajout de virgules.
exercice 45 énoncé :E,AetAintroduits avant 1. , : rajouté après on pose,⇒changé en=⇒et dans 2.(b) rajout de :.
exercice 47 énoncé : Soitfune fonction continue sur[0,1]changé en soitfune fonction continue sur[0,1].à valeurs dansRet quel est le sens géométrique changé en quelle est l’interprétation géométrique ?
exercice 48 énoncé : telle que, changé en telle que : et notation de l’intégrale dans c. rectifiée.
exercice 49 énoncé : e changé ene, question 3.a, quantificateur changé en pour tout...et intégrale changée en Z+∞
0
gn(t)dt.
exercice 50 énoncé : Soitx∈Rsupprimé.
exercice 51 énoncé : remarque mise en gras.
exercice 52 énoncé :
présentation de la définition defchangée en Soitα∈R. On considère l’application définie surR2parf(x, y) =
y4
x2+y2−xy si (x, y)6= (0,0) α si (x, y) = (0,0).
. 1. rajout de :
3.a et 3.b : formulation légérement revue.
exercice 53 énoncé : 1.a. : rajouté.
exercice 54 énoncé : des : rajoutés ( trois fois) et notation de la norme modifiée.
exercice 55 énoncé : suppression des parenthèses autour deC2. exercice 57 énoncé : notation des guillemets modifiée.
exercice 58 énoncé : notation des guillemets modifiée.
exercice 79 énoncé : on pose, changé en on pose :.
exercice 81 énoncé : première ligne reformulée.
exercice 92 énoncé : on pose, changé en on pose :.
exercice 98 énoncé : rajout d’un espace entrepet(p∈...), Z changé enZ.
exercice 99 énoncé : accent aigu sur le A changé en accent grave.
exercice 100 énoncé :R(x) =x(x+1)(x+2)1 changé enR(x) = 1 x(x+ 1)(x+ 2).
exercice 101 énoncé : rajout d’un espace avantB, guillemets changés en guillemets à la française, sans claculs chagé en sans calcul.
exercice 102 énoncé : suppression du point derrièreY= min
16i6N(Xi).
exercice 103 : suivent une loi de Poisson changé en suivent des lois de Poisson,∀m∈Nchangé en pour tout m∈N,(Ω,A)changé en(Ω,A, P).
exercice 107 énoncé : dernière phrase avant 1. changée en Pour toutn∈N∗, on noteBnl’événement « la boule tirée aunièmetirage est blanche » et on posepn=P(Bn).
exercice 105 :12changé en1 2.
exercice 108 énoncé : première phrase modifiée en :
SoientXetY deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé(Ω,A, P)et à valeurs dansN. On suppose que la loi du couple(X, Y)est donnée par :...
2.(b) : Y changé enY. exercice 110 énoncé :
1.(a)Rchangé enRX, alors supprimé.
1.(b) modifié en : exprimer, en justifiant la réponse,...
2.(a), suppression du quantificateur
2.(b) changé en des lois de Poisson de paramètres....
exercice 111 énoncé : rajout devant la formule de la loi du couple∀(k, n)∈N2. exercice 112 énoncé : un point en trop à la fin supprimé.
BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse Énoncé exercice 1
1. On considère deux suites numériques(un)n∈Net(vn)n∈Ntelles que(vn)n∈Nest non nulle à partir d’un certain rang etun+∼∞vn.
Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d’un certain rang.
2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de :un=sh 1
n
−tan 1
n
.
Corrigé exercice 1
1. Par hypothèse,∃N0∈N/∀n∈N, n>N0=⇒vn6= 0.
Ainsi la suite un
vn
est définie à partir du rangN0. De plus, commeun+∼∞vn, on a lim
n→+∞
un
vn
= 1.
Alors,∀ε >0,∃N∈N/N>N0et∀n∈N, n>N=⇒ un
vn−1 6ε. (1) Prenonsε=1
2. Fixons un entierNvérifiant(1).
Ainsi,∀n∈N, n>N=⇒ un
vn−1 61
2. C’est-à-dire,∀n∈N, n>N=⇒ −1
26un
vn−161 2. On en déduit que∀n∈N, n>N=⇒un
vn>1 2. Et donc,∀n∈N, n>N=⇒un
vn
>0.
Ce qui implique queunetvnsont de même signe à partir du rangN.
2. Au voisinage de+∞, sh(1 n) =1
n+ 1 6n3+o
1 n3
ettan1 n=1
n+ 1 3n3+o
1 n3
. Doncun+∼∞− 1 6n3. On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang,unest négatif.
EXERCICE 2 analyse Énoncé exercice 2
On posef(x) = 1 (x+ 1)2(3−x).
1. Décomposerf(x)en éléments simples et en déduire la primitiveGdefdéfinie sur l’intervalle]−1; 3[telle queG(1) = 0.
2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonctionfet préciser le rayon de convergence.
3. Déduire de ce développement la valeur deG(3)(0).
Corrigé exercice 2
On posef(x) = 1(x+ 1)2(3−x).
1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : f(x) = 1
16× 1 x+ 1+1
4× 1
(x+ 1)2+ 1 16× 1
3−x.
Les primitives defsur]−1; +3[sont donc les fonctionsFdéfinies par : F(x) = 1
16ln x+ 1
3−x
−1
4× 1
(x+ 1)+CavecC∈R. De plus,F(1) = 0⇐⇒C=1
8. Donc,∀x∈]−1; 3[,G(x) = 1
16ln x+ 1
3−x
−1
4× 1
(x+ 1)+1 8. 2. D’après le cours,x7−→ 1
x+ 1etx7−→ 1
(x+ 1)2sont développables en série entière à l’origine.
Le rayon de convergence de ces deux développements en série entière vaut 1. (1) On a∀x∈]−1,1[, 1
1 +x=
+P∞ n=0
(−1)nxn. Et,∀x∈]−1,1[, 1
(1 +x)2=+∞P
n=1
(−1)n+1nxn−1( obtenu par dérivation du développement précédent).
Enfin, 1
3−x= 1 3
1−x 3 . Doncx7−→ 1
3−xest développable en série entière à l’origine.
Le rayon de son développement en série entière vaut 3. (2) Et, on a∀x∈]−3; 3[, 1
3−x=1 3
+P∞ n=0
xn 3n
On en déduit quefest développable en série entière.
On noteRle rayon de convergence de ce développement en série entière.
D’après (1) et (2),R>1.
Or lim
x→−1|f(x)|= +∞doncR61.
DoncR= 1.
Et∀x∈]−1; 1[,f(x) = 1 16
+P∞ n=0
(−1)nxn+1 4
+P∞ n=0
(−1)n(n+ 1)xn+ 1 16×1
3
+∞
X
n=0
xn 3n. C’est-à-dire∀x∈]−1; 1[,f(x) =
+∞X
n=0
(−1)n
16 +(−1)n(n+ 1)
4 + 1
16×3n+1
xn.
3. D’après le cours, les coefficients d’un développement en série entière sont ceux de la série de Taylor associée.
Donc, si on pose∀n∈N,an=(−1)n
16 +(−1)n(n+ 1)
4 + 1
16×3n+1, alors,∀n∈N,an=fn(0) n! . Ainsi,G(3)(0) =f(2)(0) = 2!a2= 2×
1 16+3
4+ 1
16×27
=44 27.
EXERCICE 3 analyse Énoncé exercice 3
1. On poseg(x) = e2xeth(x) = 1 1 +x.
Calculer, pour tout entier naturelk, la dérivée d’ordrekdes fonctionsgethsur leurs ensembles de définitions respectifs.
2. On posef(x) = e2x 1 +x.
En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivéenièmed’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturelnet pour toutx∈R\ {−1}, la valeur def(n)(x).
3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente.
Corrigé exercice 3
1.gest de classeC∞surRethest de classeC∞surR\ {−1}. On prouve, par récurrence, que :
∀x∈R,g(k)(x) = 2ke2xet∀x∈R\ {−1},h(k)(x) = (−1)kk!
(1 +x)k+1.
2.gethsont de classeC∞surR\ {−1}donc, d’après la formule de Leibniz,fest de classeC∞surR\ {−1} et∀x∈R\ {−1}:
f(n)(x) = Xn k=0
n k
g(n−k)(x)h(k)(x) = Xn k=0
n k
2n−ke2x (−1)kk!
(1 +x)k+1=n!e2x Xn k=0
(−1)k2n−k (n−k)!(1 +x)k+1. 3. Notons(Pn)la propriété :
Sif:I→Retg:I→Rsontnfois dérivables surIalors,f gestnfois dérivable surIet :
∀x∈I,(f g)(n)(x) = Xn k=0
n k
f(n−k)(x)g(k)(x).
Prouvons que(Pn)est vraie par récurrence surn.
La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(dérivée d’un produit).
Supposons la propriété vraie au rangn>0.
Soitf:I→Retg:I→Rdeux fonctionsn+ 1fois dérivables surI.
Les fonctionsfetgsont, en particulier,nfois dérivables surIet donc par hypothèse de récurrence la fonctionf gl’est aussi avec∀x∈I,(f g)(n)(x) =
Xn k=0
n k
f(n−k)(x)g(k)(x).
Pour toutk∈ {0, . . . , n}, les fonctionsf(n−k)etg(k)sont dérivables surIdonc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction(f g)(n)est encore dérivable surI.
Ainsi la fonctionf gest(n+ 1)fois dérivable et :
∀x∈I,(f g)(n+1)(x) = Xn k=0
n
k f(n+1−k)(x)g(k)(x) +f(n−k)(x)g(k+1)(x) .
En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d’indice sur la deuxième somme, on obtient :∀x∈I,(f g)(n+1)(x) =
Xn k=0
n k
f(n+1−k)(x)g(k)(x) +
n+1X
k=1
n k−1
f(n+1−k)(x)g(k)(x).
C’est-à-dire (f g)(n+1)(x) =
Xn k=1
n k
+ n
k−1
f(n+1−k)(x)g(k)(x) + n
0
f(n+1)(x)g(0)(x) + n
n
f(0)(x)f(n+1)(x).
Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a n
k
+ n
k−1
= n+ 1
k
. On remarque également que
n 0
= 1 = n+ 1
0
et n
n
= 1 = n+ 1
n+ 1
. On en déduit que(f g)(n+1)(x) =
n+1X
k=0
n+ 1 k
f(n+1−k)(x)g(k)(x).
Donc(Pn+1)est vraie.
EXERCICE 4 analyse
Énoncé exercice 4
1. Énoncer le théorème des accroissements finis.
2. Soitf: [a, b]−→Ret soitx0∈]a, b[.
On suppose quefest continue sur[a, b]et quefest dérivable sur]a, x0[et sur]x0, b[.
Démontrer que, sif0admet une limite enx0, alorsfest dérivable enx0etf0(x0) = lim
x→x0
f0(x).
3. Prouver que l’implication : (fest dérivable enx0)=⇒(f0admet une limite finie enx0) est fausse.
Indication: on pourra considérer la fonctiongdéfinie par :g(x) =x2sin1
xsix6= 0etg(0) = 0.
Corrigé exercice 4
1. Théorème des accroissements finis : Soitf: [a, b]−→R.
On suppose quefest continue sur[a, b]et dérivable sur]a, b[.
Alors∃c∈]a, b[tel quef(b)−f(a) =f0(c)(b−a).
2. On posel= lim
x→x0
f0(x).
Soith6= 0tel quex0+h∈[a, b].
En appliquant le théorème des accroissements finis, à la fonctionf, entrex0etx0+h, on peut affirmer qu’il existechstrictement compris entrex0etx0+htel quef(x0+h)−f(x0) =f0(ch)h.
Quandh→0(avech6= 0), on a, par encadrement,ch→x0. Donclim
h→0
1
h(f(x0+h)−f(x0)) = lim
h→0f0(ch) = lim
x→x0
f0(x) =l.
On en déduit quefest dérivable enx0etf0(x0) =l.
3. La fonctiongproposée dans l’indication est évidemment dérivable sur]−∞,0[et]0,+∞[.
gest également dérivable en 0 car1
h(g(h)−g(0)) =hsin 1
h
. Orlim
h→0 h6=0
hsin 1
h
= 0car|hsin 1
h
|6|h|. Donc,gest dérivable en0etg0(0) = 0.
Cependant,∀x∈R\ {0},g0(x) = 2xsin 1
x
−cos 1
x
. 2xsin
1 x
−−−→x
→0 0(car|2xsin(1
x)|62|x|), maisx7−→cos 1
x
n’admet pas de limite en 0.
Doncg0n’a pas de limite en0.
EXERCICE 5 analyse Énoncé exercice 5
1. On considère la série de terme généralun= 1
n(lnn)αoùn>2etα∈R. (a)Casα6660
En utilisant une minoration très simple deun, démontrer que la série diverge.
(b)Casα >0
Étudier la nature de la série.
Indication: on pourra utiliser la fonctionfdéfinie parf(x) = 1 x(lnx)α.
2. Déterminer la nature de la sérieX
n>2
e−
1 +1
n n
en1 (ln(n2+n))2 .
Corrigé exercice 5
1. (a) Casα60
∀n>2,lnn>ln 2donc(lnn)α6(ln 2)α. On en déduit que :∀n>2,un> 1
(ln 2)α 1 n. OrX
n>1
1 ndiverge.
Donc , par critère de minoration pour les séries à termes positifs, on en déduit queX
undiverge.
(b) Casα >0
La fonctionf:x7→ 1
x(lnx)αest décroissante et positive sur[2; +∞[donc : X
n>2
f(n)et Z+∞
2
f(x) dxsont de même nature.
Puisque ZX
2
f(x) dx =
t=lnx
Zln(X) ln 2
dt
tα, on peut affirmer que : Z+∞
2
f(x) dxconverge⇐⇒α >1.
On en déduit que :X
n>2
f(n)converge⇐⇒α >1.
2. On pose, pour tout entier natureln>2,un=
e−
1 +1 n
n en1 (ln(n2+n))2 . Au voisinage de+∞,
e−
1 +1 n
n
= e−enln(1+n1) = e−en(n1−2n21 +o(n21)) = e−e1−2n1+o(n1) = e 2n+o
1 n
. On en déduit qu’au voisinage de+∞,e−
1 +1
n n
+∼∞
e 2n. De plus, au voisinage de+∞,ln n2+n
= 2 lnn+ ln
1 +1 n
= 2 lnn+1 n+o
1 n
. Doncln n2+n
+∞∼ 2 lnn.
Et commee1n+∼∞1, on en déduit queun+∼∞e
8× 1
n(lnn)2. Or, d’après 1.(b),X
n>2
1
n(lnn)2 converge.
Donc, par critère d’équivalence pour les séries à termes positifs,X
n>2
unconverge.
EXERCICE 6 analyse
Énoncé exercice 6
Soit(un)n∈Nune suite de réels strictement positifs etlun réel positif strictement inférieur à 1.
1. Démontrer que si lim
n→+∞
un+1
un
=l, alors la sérieX
unconverge.
Indication: écrire, judicieusement, la définition de lim
n→+∞
un+1
un
=l, puis majorer, pournassez grand,un
par le terme général d’une suite géométrique.
2. Quelle est la nature de la sérieX
n>1
n!
nn?
Corrigé exercice 6
1. Par hypothèse :∀ε >0,∃N∈N/∀n>N,|un+1
un −l|6ε. (1) Prenonsε=1−l
2 .
Fixons un entierNvérifiant (1).
Alors∀n∈N, n>N=⇒ |un+1
un −l|61−l 2 . Et donc,∀n>N,un+1
un 61 +l 2 . On poseq=1 +l
2 . On a doncq∈]0,1[.
On a alors∀n>N, un+16qun.
On en déduit, par récurrence, que∀n>N, un6qn−NuN.
OrX
n>N
qn−NuN=uNq−NX
n>N
qnetX
n>N
qnconverge carq∈]0,1[.
Donc, par critère de majoration des séries à termes positifs,X
unconverge.
2. On pose :∀n∈N∗,un= n!
nn.
∀n∈N∗,un>0et∀n∈N∗,un+1
un
= nn
(n+ 1)n= e−nln(1+
1 n). Or−nln(1 +1
n)+∞∼ −1donc lim
n→+∞
un+1
un
= e−1<1.
DoncX
unconverge.
EXERCICE 7 analyse
Énoncé exercice 7
1. Soient(un)n∈N et(vn)n∈Ndeux suites de nombres réels positifs.
On suppose que(vn)n∈Nest non nulle à partir d’un certain rang.
Montrer que :
un+∼∞vn =⇒ X unetX
vnsont de même nature.
2. Étudier la convergence de la sérieX
n>2
(i−1) sin 1
n
√n+ 3−1 lnn. Remarque:idésigne le nombre complexe de carré égal à−1.
Corrigé exercice 7
1. Par hypothèse,∃N0∈N/∀n∈N, n>N0=⇒vn6= 0.
Ainsi la suite un
vn
est définie à partir du rangN0. De plus, on suppose queun+∼∞vn.
On en déduit que lim
n→+∞
un
vn
= 1.
Alors,∀ε >0,∃N∈N/N>N0et∀n∈N, n>N=⇒ un
vn−1 6ε. (1) Prenonsε=1
2. Fixons un entierNvérifiant(1).
Ainsi,∀n∈N, n>N=⇒ un
vn−1 61
2. C’est-à-dire,∀n∈N, n>N=⇒ −1
26un
vn−161 2. On en déduit que∀n∈N, n>N=⇒1
26un
vn63 2. (*) Premier cas: SiX
vnconverge D’après (*),∀n>N,un63
2vn.
Donc, par critère de majoration des séries à termes positifs,X
unconverge.
Deuxième cas: SiX vndiverge D’après (*),∀n>N,1
2vn6un.
Donc, par critère de minoration des séries à termes positifs,P
undiverge.
Par symétrie de la relation d’équivalence, on obtient le résultat.
2. On pose∀n>2,un=
(i−1) sin 1
n
√n+ 3−1 lnn.
|un|=
√2 sin(1 n)
√n+ 3−1 lnn. De plus|un|+∼∞
√2 n32lnn=vn
On an54vn=
√2
n14lnn, donc lim
n→+∞n54vn= 0. On en déduit queX
vnconverge.
D’après 1.,X
n>2
|un|converge.
DoncX
n>2
unconverge absolument.
De plus, la suite(un)n>2est à valeurs dansC, doncX
n>2
unconverge.
EXERCICE 8 analyse
Énoncé exercice 8
1. Soit(un)n∈Nune suite décroissante positive de limite nulle.
(a) Démontrer que la sérieX
(−1)kukest convergente.
Indication: on pourra considérer(S2n)n∈Net(S2n+1)n∈NavecSn= Xn k=0
(−1)kuk. (b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la sérieX
(−1)kuk. 2. On pose :∀n∈N∗,∀x∈R,fn(x) =(−1)ne−nx
n .
(a) Étudier la convergence simple surRde la série de fonctionsX
n>1
fn. (b) Étudier la convergence uniforme sur[0,+∞[de la série de fonctionsX
n>1
fn.
Corrigé exercice 8
1. (a)S2n+2−S2n=u2n+2−u2n+160, donc(S2n)n∈Nest décroissante.
De mêmeS2n+3−S2n+1>0, donc(S2n+1)n∈Nest croissante.
De plusS2n−S2n+1=u2n+1et lim
n→+∞u2n+1= 0, donc lim
n→+∞(S2n−S2n+1) = 0.
On en déduit que les suites(S2n)n∈Net(S2n+1)n∈Nsont adjacentes. Donc elles convergent et ce vers une même limite.
Comme(S2n)n∈Net(S2n+1)n∈Nrecouvrent l’ensemble des termes de la suite(Sn)n∈N, on en déduit que la suite(Sn)n∈Nconverge aussi vers cette limite.
Ce qui signifie que la sérieX
(−1)kukconverge.
(b) Le resteRn=
+∞X
k=n+1
(−1)kukvérifie∀n∈N,|Rn|6un+1.
2. On pose∀x∈R,∀n∈N∗,an(x) =(−1)ne−nx
n .
On a alors∀n∈N∗,an(x) = (−1)nun(x)avecun(x) =e−nx n . (a) Soitx∈R.
Six <0, alors lim
n→+∞|an(x)|= +∞, doncX
n>1
an(x)diverge grossièrement.
Six>0, alors(un(x))n∈Nest positive, décroissante et lim
n→+∞un(x) = 0.
Donc d’après 1.(a), P
n>1an(x)converge.
DoncX
n>1
anconverge simplement sur[0,+∞[.
(b) CommeX
n>1
anconverge simplement sur[0,+∞[, on peut poser∀x∈[0,+∞[,Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
ak(x).
Alors, comme,∀x∈[0,+∞[,(un(x))n∈Nest positive, décroissante et lim
n→+∞un(x) = 0, on en déduit, d’après 1.(b), que :
∀x∈[0,+∞[,|Rn(x)|6e−(n+1)x n+ 1 . Et donc∀x∈[0,+∞[,|Rn(x)|6 1
n+ 1. (majoration indépendante dex)
Et comme lim
n→+∞
1
n+ 1= 0, alors(Rn)converge uniformément vers0sur[0,+∞[.
C’est à direX
n>1
anconverge uniformément sur[0,+∞[.
EXERCICE 9 analyse
Énoncé exercice 9
1. SoitXun ensemble,(gn)une suite de fonctions deXdansCetgune fonction deXdansC. Donner la définition de la convergence uniforme surXde la suite de fonctions(gn)vers la fonctiong.
2. On posefn(x) =n+ 2 n+ 1e−nx2.
(a) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions(fn).
(b) La suite de fonctions(fn)converge-t-elle uniformément sur[0,+∞[?
(c) Soita >0. La suite de fonctions(fn)converge-t-elle uniformément sur[a,+∞[?
(d) La suite de fonctions(fn)converge-t-elle uniformément sur]0,+∞[?
Corrigé exercice 9
1. Soitgn:X−→Cetg:X−→C.
Dire que(gn)converge uniformément versgsurXsignifie que :
∀ε >0,∃N∈N/∀n∈N, n>N=⇒ ∀x∈X,|gn(x)−g(x)|6ε.
Ou encore,(gn)converge uniformément versgsurX⇐⇒ lim
n→+∞
sup
x∈X|gn(x)−g(x)|
= 0.
2. (a) On pose∀x∈R,fn(x) =n+ 2 n+ 1e−nx2. Soitx∈R.
Six= 0, alorsfn(0) =n+ 2
n+ 1, donc lim
n→+∞fn(0) = 1.
Six6= 0, alors lim
n→+∞fn(0) = 0carfn(x)+∼∞e−nx2.
On en déduit que(fn)converge simplement surRvers la fonctionfdéfinie par : f(x) =
0 si x6= 0 1 si x= 0
(b)∀n∈N,fnest continue sur[0; +∞[etfnon continue en0donc(fn)ne converge pas uniformément versfsur[0; +∞[.
(c) Soita >0.
On a :∀x∈[a,+∞[,|fn(x)−f(x)|=|fn(x)|6n+ 2
n+ 1e−na2(majoration indépendante dex).
Par ailleurs lim
n→+∞
n+ 2
n+ 1e−na2= 0(carn+ 2
n+ 1e−na2+∼∞e−na2).
Donc(fn)converge uniformément versfsur[a,+∞[.
(d) On remarque que∀n∈N,fnest bornée sur]0,+∞[car∀x∈]0,+∞[,|fn(x)|6n+ 2 n+ 1≤2.
D’autre part,fest bornée sur[0,+∞[, donc,∀n∈N, sup
x∈]0,+∞[|fn(x)−f(x)|existe.
On a|fn( 1
√n)−f( 1
√n)|=(n+ 2)e−1
n+ 1 donc lim
n→+∞|fn( 1
√n)−f( 1
√n)|= e−16= 0.
Or sup
x∈]0,+∞[|fn(x)−f(x)|>|fn( 1
√n)−f( 1
√n)|, donc sup
x∈]0,+∞[|fn(x)−f(x)| 6→
n→+∞0.
Donc(fn)ne converge pas uniformément versfsur]0,+∞[.
EXERCICE 10 analyse Énoncé exercice 10
On posefn(x) = x2+ 1nex+xe−x n+x .
1. Démontrer que la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur[0,1].
2. Calculer lim
n→+∞
Z1 0
x2+ 1nex+xe−x n+x dx.
Corrigé exercice 10
1. Pourx∈[0,1], limn→+∞fn(x) = (x2+ 1)ex.
La suite de fonctions(fn)converge simplement versf:x7→(x2+ 1)exsur[0,1].
On a∀x∈[0,1],fn(x)−f(x) = (x2+ 1)x(e−x−ex)
n+x , et donc :∀x∈[0,1],|fn(x)−f(x)|62e n. Ce majorant indépendant dextend vers 0 quandn→+∞, donc la suite de fonctions(fn)converge uniformément versfsur[0,1].
2. Par convergence uniforme sur le segment[0,1]de cette suite de fonctions continues sur[0,1], on peut intervertir limite et intégrale.
On a donc lim
n→+∞
Z1 0
(x2+ 1)nex+xe−x n+x dx=
Z1 0
(x2+ 1)exdx.
Puis, en effectuant deux intégrations par parties, on trouve Z1
0
(x2+ 1)exdx= 2e−3.
EXERCICE 11 analyse
Énoncé exercice 11
1. SoitXune partie deR,(fn)une suite de fonctions deXdansRconvergeant simplement vers une fonction f.
On suppose qu’il existe une suite(xn)n∈Nd’éléments deXtelle que la suite(fn(xn)−f(xn))n∈Nne tende pas vers0.
Démontrer que la suite de fonctions(fn)ne converge pas uniformément versfsurX.
2. Pour toutx∈R, on posefn(x) = sin (nx) 1 +n2x2. (a) Étudier la convergence simple de la suite(fn).
(b) Étudier la convergence uniforme de la suite(fn)sur[a,+∞[(aveca >0), puis sur]0,+∞[.
Corrigé exercice 11
1. Par contraposée :si(fn)converge uniformément versfalors : il existe un entierNtel que∀n>N,kfn−fk∞= sup
x∈X|fn(x)−f(x)|existe et lim
n→+∞kfn−fk∞= 0.
Or,∀n∈N,xn∈Xdonc∀n∈N,n>N=⇒ |fn(xn)−f(xn)|6kfn−fk∞. Or lim
n→+∞kfn−fk∞= 0.
Donc lim
n→+∞|fn(xn)−f(xn)|= 0.
C’est-à-dire la suite(fn(xn)−f(xn))n∈Nconverge vers0.
2. (a) Soitx∈R.
Six= 0, alorsfn(0) = 0.
Six6= 0, alors lim
n→+∞fn(x) = 0car|fn(x)|6 1 n2x2.
Donc la suite(fn)converge simplement vers la fonction nulle surR. (b) Soita >0.
∀x∈[a,+∞[,|fn(x)−f(x)|=|fn(x)|6 1 1 +n2a2. Cette majoration est indépendante dexet lim
n→+∞
1 1 +n2a2= 0.
On en déduit que la suite de fonctions(fn)converge uniformément vers la fonction nulle sur[a,+∞[. On pose,∀n∈N∗,xn= π
2n.
On a∀n∈N∗,xn∈]0,+∞[et|fn(xn)−f(xn)|= 1 1 +π2
4
qui ne tend pas vers 0 quandn→+∞. On en déduit, d’après 1., que la suite de fonctions(fn)ne converge pas uniformément sur]0,+∞[.
EXERCICE 12 analyse
Énoncé exercice 12
1. Soit(fn)une suite de fonctions de[a, b]dansR.
On suppose que la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur[a, b]vers une fonctionf, et que, pour toutn∈N,fnest continue enx0, avecx0∈[a, b].
Démontrer quefest continue enx0. 2. On pose :∀n∈N∗,∀x∈[0; 1],gn(x) =xn.
La suite de fonctions(gn)n∈N∗converge-t-elle uniformément sur[0; 1]?
Corrigé exercice 12
1. Soitx0∈[a, b].
Prouvons quefest continue enx0. Soitε >0.
Par convergence uniforme, il existe un entierNtel que∀n∈N,n>N=⇒(∀x∈[a, b],|f(x)−fn(x)|6ε).
En particulier pourn=N, on a∀x∈[a, b],|f(x)−fN(x)|6ε. (*) Or la fonctionfNest continue enx0donc∃α >0tel que :
∀x∈[a, b],|x−x0|6α⇒ |fN(x)−fN(x0)|6ε. (**) D’après l’inégalité triangulaire,∀x∈[a, b],
|f(x)−f(x0)|6|f(x)−fN(x)|+|fN(x)−fN(x0)|+|fN(x0)−f(x0)|. Alors d’après (*) et (**),
∀x∈[a, b],|x−x0|6α⇒ |f(x)−f(x0)|63ε.
On en déduit quefest continue enx0.
2. La suite(gn)n∈N∗converge simplement sur[0,1]vers la fonctiong:x7→
0 six∈[0,1[
1 six= 1
∀n∈N∗,gnest continue en 1 alors quegest discontinue en 1.
D’après la question précédente, on en déduit que(gn)n∈N∗ne converge pas uniformément versgsur[0,1].
EXERCICE 13 analyse
Énoncé exercice 13
1. Soit(gn)une suite de fonctions deXdansC,Xdésignant un ensemble non vide quelconque.
On suppose que, pour toutn∈N,gnest bornée et que la suite(gn)converge uniformément surXversg.
Démontrer que la fonctiongest bornée.
2. Pour tout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionfndéfinie surRpar : fn(x) =
(n2x si |x|61n
1
x si |x|>1n
Prouver que la suite de fonctions(fn)converge simplement surR. La convergence est-elle uniforme surR?
Corrigé exercice 13
1.∀n∈N,gnest bornée surX, c’est-à-dire :∀n∈N,∃Mn∈R+/∀x∈X,|gn(x)|6Mn. (*) Notons que ce majorantMndépend den.
(gn)converge uniformément versgsurX. Ce qui signifie que :
∀ε >0,∃N∈N/∀n∈N, n>N=⇒ ∀x∈X,|gn(x)−g(x)|6ε. (1) Prenonsε= 1et fixons un entierNvérifiant (1) pour ce choix deε.
Alors,∀n∈N, n>N=⇒ ∀x∈X,|gn(x)−g(x)|61.
En particulier,∀x∈X,|gN(x)−g(x)|61. (**)
Or, d’après l’inégalité triangulaire,∀x∈X,|g(x)|6|g(x)−gN(x)|+|gN(x)|. Donc, d’après (*) et (**),∀x∈X,|g(x)|61 +MN.
Ce qui signifie quegest bornée surX.
2.∀n∈N∗,fn(0) = 0, donc lim
n→+∞fn(0) = 0.
Soitx∈R∗.
n→lim+∞
1
n= 0donc,∃N∈N∗tel que,∀n∈N,n>N=⇒1 n<|x|. Fixons un tel entierN.
Alors∀n∈N,n>N=⇒fn(x) =1 x. Donc lim
n→+∞fn(x) =1 x.
On en déduit que(fn)converge simplement surRvers la fonctionfdéfinie par : f(x) =
( 1
x si x6= 0 0 si x= 0 .
De plus,∀n∈N∗,fnest bornée car∀x∈R,|fn(x)|6n.
Orfn’est pas bornée surRdonc, d’après la question précédente,(fn)ne converge pas uniformément surR.
EXERCICE 14 analyse
Énoncé exercice 14
1. Soitaetbdeux réels donnés aveca < b.
Soit(fn)une suite de fonctions continues sur[a, b],à valeurs réelles.
Démontrer que si la suite(fn)converge uniformément sur[a, b]versf, alors la suite Zb
a
fn(x)dx
!
n∈N
converge vers Zb
a
f(x)dx.
2. Justifier comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions.
3. Démontrer que Z12
0 +∞
X
n=0
xn
! dx=
+∞
X
n=1
1 n2n.
Corrigé exercice 14
1. Comme la suite(fn)converge uniformément sur[a, b]versf, et que,∀n∈N,fnest continue sur[a, b], alorsfest continue sur[a, b].
Ainsi,∀n∈N,fn−fest continue sur le segment[a, b].
On pose alors,∀n∈N,kfn−fk∞= sup
x∈[a,b]|fn(x)−f(x)|. On a
Zb a
fn(x) dx− Zb
a
f(x) dx =
Zb a
(fn(x)−f(x)) dx 6Zb
a |fn(x)−f(x)|dx6(b−a)kfn−fk∞. (*) Or(fn)converge uniformément versfsur[a, b], donc lim
n→+∞kfn−fk∞= 0.
Donc d’après (*), lim
n→+∞
Zb a
fn(x) dx= Zb
a
f(x) dx.
2. On suppose que∀n∈N,fnest continue sur[a, b]etX
fnconverge uniformément sur[a, b].
On poseSn= Xn k=0
fk.
Xfnconverge uniformément sur[a, b], donc converge simplement sur[a, b].
On pose alors, également,∀x∈[a, b],S(x) =
+∞
X
k=0
fk(x).
Xfnconverge uniformément sur[a, b]signifie que(Sn)converge uniformément sur[a, b]versS.
De plus,∀n∈N,Snest continue sur[a, b], carSnest une somme finie de fonctions continues.
On en déduit queSest continue sur[a, b].
Et d’après 1., lim
n→+∞
Zb a
Sn(x) dx= Zb
a
S(x) dx.
Or Zb
a
Sn(x)dx= Zb
a
Xn k=0
fk(x)dx= Xn k=0
Zb a
fk(x)dxcar il s’git d’une somme finie.
Donc lim
n→+∞
Xn k=0
Zb a
fk(x) dx= Zb
a
S(x) dx.
Ou encore lim
n→+∞
Xn k=0
Zb a
fk(x) dx= Zb
a +∞
X
k=0
fk(x) dx.
Ce qui signifie queX Zb
a
fk(x) dxconverge et
+∞X
k=0
Zb a
fk(x) dx= Zb
a +∞X
k=0
fk(x) dx.
Bilan: La convergence uniforme de la série de fonctionsX
fnoù lesfnsont continues sur[a, b]permet d’
intégrer terme à terme, c’est-à-dire : Zb
a +∞
X
n=0
fn(x) dx=
+∞
X
n=0
Zb a
fn(x) dx.
3. La série entièreX
xnest de rayon de convergenceR= 1donc cette série de fonctions converge normalement et donc uniformément sur le compact
0,1
2
⊂]−1,1[.
De plus,∀n∈N,x7−→xnest continue sur
0,1 2
. On en déduit alors, en utilisant 2., que :
Z12
0 +∞
X
n=0
xn
! dx=
+∞
X
n=0
Z 12
0
xndx=
+∞
X
n=0
1 n+ 1
1 2n+1=
+∞
X
n=1
1 n 1 2n.
EXERCICE 15 analyse
Énoncé exercice 15
SoitXune partie deRouC.1. SoitX
fnune série de fonctions définies surXà valeurs dansRouC. Rappeler la définition de la convergence normale deX
fnsurX, puis celle de la convergence uniforme de XfnsurX.
2. Démontrer que toute série de fonctions, à valeurs dansRouC, normalement convergente surXest uniformément convergente surX.
3. La série de fonctionsXn2
n!znest-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre0et de rayonR∈R∗+?
Corrigé exercice 15
1. On suppose que∀n∈N,fnest bornée surX.
On pose alors∀n∈N,kfnk∞= sup
t∈X|fn(t)|. Xfnconverge normalement surX⇐⇒X
kfnk∞converge.
On pose∀n∈N,Sn= Xn k=0
fk.
Xfnconverge uniformément surX⇐⇒la suite de fonctions(Sn)converge uniformément surX.
2. On suppose queX
fnconverge normalement surX.
Les fonctionsfnsont donc bornées surXet la série numériqueX
kfnk∞converge.
Or,∀x∈X,|fn(x)|6kfnk∞.
Donc, par comparaison des séries à termes positifs, la sérieX
fn(x)est absolument convergente et donc convergente, puisque les fonctionsfnsont à valeurs dansRouC.
Ainsi la série de fonctionsX
fnconverge simplement surX.
On peut donc poser∀x∈X,∀n∈N,Rn(x) =
+∞X
k=n+1
fk(x).
∀x∈X,∀n∈N,∀N∈N,N>n+ 1 =⇒
XN k=n+1
fk(x) 6
XN k=n+1
|fk(x)|6 XN k=n+1
kfkk∞. Alors, en faisant tendreNvers+∞, on obtient :
∀x∈X,|Rn(x)|=
+∞X
k=n+1
fk(x) 6 +∞X
k=n+1
|fk(x)|6 +∞X
k=n+1
kfkk∞. (majoration indépendante dex) OrX
fnconverge normalement surXdonc lim
n→+∞ +∞
X
k=n+1
kfkk∞= 0.
On en déduit alors que la suite de fonctions(Rn)converge uniformément vers 0 surX.
CommeRn=S−Sn, la suite(Sn)converge uniformément versSsurX.
C’est-à-direX
fnconverge uniformément surX.
3. On pose,∀n∈N,an=n2 n!.
∀n∈N∗,an+1
an
=n+ 1 n2 . Donc lim
n→+∞
an+1
an
= 0.
On en déduit que série entièreXn2
n!zna un rayon de convergence égal à+∞.
Cette série entière converge donc normalement sur tout compact deC.
En particulier, cette série entière converge normalement et donc uniformément, d’après 2., sur tout disque de centreOet de rayonR.
