CONCOURS BLANC 3 SCI 2

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CONCOURS BLANC 3

SCI 2

SUJET LYON EDHEC ECRICOME

Mardi 9 mars 2021

Durée : 4 heures

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Les étudiants sont invités à soigner la présentation de leur copie

EXERCICE 1 : E3A PC 2020

Dans cet exercice

𝐸

désigne l’espace vectoriel

ℝ₂[𝑋]

des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à coefficients réels. On note

𝐵 = (1, 𝑋, 𝑋²)

sa base canonique

Pour tout couple

(𝑃, 𝑄)

d’éléments de

𝐸

, on pose

⟨𝑃, 𝑄⟩ = 𝑃(1)𝑄(1) + 𝑃′(1)𝑄′(1) + 𝑃"(1)𝑄"(1)

1)

Vérifier que l’on définit ainsi un produit scalaire sur

𝐸

2)

Déterminer une base orthonormale de

𝐸

pour ce produit scalaire

3)

Calculer la distance du polynôme

𝑈 = 𝑋²− 4

à

ℝ₁[𝑋]

4)

Soit

𝐻

l’ensemble des polynômes

𝑃

de

𝐸

tels que

𝑃(1) = 0

a)

Vérifier que

𝐻

est un sous espace vectoriel de

𝐸

et préciser sa dimension

b)

Soit

𝜑

la projection orthogonale sur

𝐻

. Déterminer la matrice de

𝜑

dans la base

𝐵

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EXERCICE 2 : Loi d’Erlang

Agner Krarup Erlang (1878-1929) était un mathématicien danois

Soit

𝑛

un entier naturel non nul et soit

𝜆

un réel strictement positif Soit

𝑈

une variable aléatoire à densité

On dit que

𝑈

suit la loi d’Erlang de paramètres

𝒏

et

𝝀

si une densité de

𝑈

est donnée par la fonction

𝜑_𝑛,𝜆

définie sur

ℝ

par :

∀𝑥 ∈ ℝ, 𝜑_𝑛,𝜆(𝑥) = { 0 si 𝑥 ≤ 0

𝜆^𝑛

(𝑛−1)!𝑥^𝑛−1𝑒^−𝜆𝑥 si 𝑥 > 0

On note alors

𝑈 ↦ 𝛾(𝑛, 𝜆)

1)

a)

Vérifier que la fonction

𝜑_𝑛,𝜆

est une densité de probabilité sur

ℝ b)

Reconnaître la loi si

𝑛 = 1

, reconnaître la loi si

𝜆 = 1

c)

Montrer que

𝑈

admet une espérance et une variance et les calculer

2)

Soit un réel

𝑥 > 0

.Pour tout couple

(𝑝, 𝑞)

d’entiers naturels non nuls, on pose

𝐼(𝑝, 𝑞) =

∫ 𝑡₀^{1 𝑝−1} (𝑥 − 𝑡)^𝑞−1𝑑𝑡 a)

Calculer

𝐼(1, 𝑞)

b)

Pour

𝑝 ≥ 2

, calculer

𝐼(𝑝, 𝑞)

en fonction de

𝑝, 𝑞

et

𝐼(𝑝 − 1, 𝑞 + 1)

c)

En déduire que, pour tout couple

(𝑝, 𝑞)

d’entiers naturels non nuls,

𝐼(𝑝, 𝑞) =(𝑝−1)!(𝑞−1)!

(𝑝+𝑞−1)! 𝑥^{𝑝+𝑞−1}

3)

Soient

𝑝

et

𝑞

deux entiers naturels non nuls.

On considère deux variables aléatoires

𝑋_𝑝

et

𝑋_𝑞

, définies sur le même espace probabilisé

(𝛺, 𝑇, 𝑝)

, indépendantes de lois respectives

𝛾(𝑝, 𝜆)

et

𝛾(𝑞, 𝜆)

a)

Montrer que

𝑋_𝑝+ 𝑋_𝑞 ↦ 𝛾(𝑝 + 𝑞, 𝜆)

On considère

𝑛

variables aléatoires indépendantes

𝑈₁, . . . , 𝑈_𝑛

, définies sur le même espace probabilisé

(𝛺, 𝑇, 𝑝)

, mutuellement indépendantes de même loi exponentielle de paramètre

𝜆

b)

Montrer que

∑^𝑛_𝑘=1𝑈_𝑘

suit une loi d’Erlang dont on précisera les paramètres

4)

a) Rappeler l’instruction Scilab qui permet de simuler une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 𝜆 (lambda pour Scilab)

b) Compléter la déclaration de fonction Scilab suivante afin qu’elle simule une variable aléatoire 𝑌 qui une loi d’Erlang de paramètres 𝑛 et 𝜆

function 𝑌 = 𝑓(𝑛, 𝑙𝑎𝑚𝑏𝑑𝑎) X = grand (1, …, ‘exp’, …) 𝑌 = …

endfunction

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EXERCICE 3 : Recherche d’un extremum

A. Travaux préliminaires

1) On considère la fonction 𝑔 définie sur ℝ₊^∗ par : ∀𝑡 ∈ ]0, +∞[ ,𝑔(𝑡) = 𝑡 − ¹

𝑡² Montrer que la fonction 𝑔 réalise une bijection de ℝ₊^∗sur un intervalle 𝐼 que vous préciserez

2) Soient 𝑎 et𝑏 deux réels strictement supérieurs à 1 Montrer que la matrice 𝐴 = (𝑎 1

1 𝑏) admet deux valeurs propres strictement positives

B. Etude d’une fonction numérique à deux variables réelles

On considère l’ensemble 𝑈 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ²; 𝑥 > 0 et 𝑦 > 0} et la fonction 𝑓 définie sur 𝑈 par 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥²+ 𝑥𝑦 + 𝑦²+¹

𝑥+¹

𝑦

1) Justifier que 𝑈 est un ouvert de ℝ²

2) Justifier que la fonction 𝑓est de classe 𝐶² sur l’ouvert 𝑈

3) Montrer que les coordonnées 𝑥 et𝑦 d’un point critique sont solutions du système d’équations :{3(𝑥 + 𝑦) = ¹

𝑥²+ ¹

𝑦²

𝑥 − 𝑦 = ¹

𝑥²− ¹

𝑦²

4) En déduire qu’il n’y a qu’un seul point critique noté 𝐵 pour la fonction 𝑓 dans l’ouvert 𝑈 dont vous préciserez les coordonnées

5) Déterminer la hessienne de la fonction en un point quelconque 𝑀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈 6) En déduire la nature locale et éventuellement globale du point critique 𝐵

On veut maintenant étudier les extrema de la fonction 𝑓 sur 𝑈sous la contrainte 𝐶 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ²; 𝑥 − 𝑦 = −1}

7) Montrer que la fonction 𝑓 admet un unique point critique sous la contrainte 𝐶 que l’on ne cherchera pas à déterminer

8) Quelle est la nature de ce point critique sous la contrainte 𝐶

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PROBLEME : EDHEC 2007

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On dispose de deux urnes U et V, l’urne U contenant une boule blanche et (n – 1) boules noires et l’urne V contenant une boule noire et (n – 1) boules blanches.

Un joueur choisit une urne au hasard pour le premier tirage puis il effectue des tirages d’une boule avec remise de cette boule dans l’urne dont elle provient, selon trois protocoles étudiés dans les trois parties de ce problème.

Pour tout i de ℕ^∗, on note Bi l’événement « on obtient une boule blanche au 𝑖^è𝑚𝑒tirage ».

On note X le numéro du tirage où l’on obtient, pour la première fois, une boule noire et Y le numéro du tirage où l’on obtient, pour la première fois, une boule blanche.

On admet que X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (, A, P).

Pour finir, on note U l’événement « le premier tirage a lieu dans l’urne U ».

Partie 1

Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans l’urne qui a été choisie au premier tirage.

1) a) Déterminer P (X = 1).

b) Pour tout entier k supérieur ou égal à 2, écrire l’événement (X = k) à l’aide de certains des événements Bi ou 𝐵_𝑖, puis montrer que : ∀𝑘 ≥ 2, 𝑃(𝑋 = 𝑘) =¹

2[(¹

𝑛)^𝑘−1(^𝑛−1

𝑛 ) + (^𝑛−1

𝑛 )^𝑘−1(¹

𝑛)]

Vérifier que cette formule reste valable pour k = 1.

2) Vérifier que ∑^+∞_𝑘=1𝑃(𝑋 = 𝑘)= 1

3) Établir que X possède une espérance et que 𝐸(𝑋) = ^𝑛2

2(𝑛−1)

4) Montrer que X et Y suivent la même loi.

5) On décide de coder l’événement U par 1 et l’événement V par 0

Recopier et compléter la fonction Scilab suivant pour qu’elle calcule et affiche la valeur prise par la variable aléatoire X lors de l’expérience décrite dans cette partie

function y=partie1(n) urne =grand(1,1,’uin’,0,1) y=1

if urne ==0 then

while grand(1,1,’uin’,1 ,n) >1 y=y+1

end else

while ……….

………..

end endfunction

5 Partie 2

Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans l’urne U si le tirage précédent a donné une boule blanche et dans l’urne V sinon.

1) a) Donner P (X = 1).

b) En procédant comme dans la partie 1, montrer que : ∀𝑘 ≥ 2, 𝑃(𝑋 = 𝑘) =¹

2(¹

𝑛)^𝑘−2(^𝑛−1

𝑛 ) 2) Vérifier que ∑^+∞_𝑘=1𝑃(𝑋 = 𝑘)= 1

3) Calculer𝐸(𝑋 − 1), en déduire que X possède une espérance et que𝐸(𝑋) = ^3𝑛−2

2(𝑛−1)

4) Montrer que X et Y suivent la même loi.

5) Ecrire une fonction Scilab, en adaptant la fonction de la partie 1, suivant pour qu’elle calcule et affiche la valeur prise par la variable aléatoire 𝑋 lors de l’expérience décrite dans cette deuxième partie

Partie 3

Dans cette partie, chacun des tirages suivant le premier tirage a lieu dans la même urne que le tirage qui le précède si ce dernier a donné une boule blanche et dans l’autre urne dans le cas contraire.

1) a) Donner P (X = 1).

b) Toujours selon la même méthode, déterminer 𝑃(𝑋 = 𝑘)pour𝑘 ≥ 2.

Vérifier que la formule précédente reste valable pour k = 1.

c) Établir que X possède une espérance et donner sa valeur.

2) a) En procédant comme à la question 1b), montrer que :

∀𝑖 ∈ ℕ^∗, 𝑃(𝑌 = 2𝑖) = (^𝑛−1

𝑛²)^𝑖−1(^{𝑛2−2𝑛+2}

2𝑛² )

b) Montrer également que :∀𝑖 ∈ ℕ^∗, 𝑃(𝑌 = 2𝑖 + 1) =¹

2(^𝑛−1

𝑛²)^𝑖 Vérifier que cette formule reste valable pour i = 0.

c) On pose : ∀𝑝 ∈ ℕ^∗ 𝐸_2𝑝(𝑌) = ∑^2𝑝_𝑘=1𝑘𝑃(𝑌 = 𝑘) et∀𝑝 ∈ ℕ 𝐸_2𝑝+1(𝑌) = ∑^2𝑝+1_𝑘=1 𝑘 𝑃(𝑌 = 𝑘) Montrer que la suite(𝐸_2𝑝(𝑌))

𝑝∈ℕ^∗converge et donner sa limite, puis montrer que la suite(𝐸_2𝑝+1(𝑌 ))

𝑝∈ℕconverge et a la même limite que(𝐸_2𝑝(𝑌 ))

𝑝∈ℕ^∗

En déduire que Y possède une espérance et que 𝐸(𝑌) = ^3𝑛2

2(𝑛²−𝑛+1)

3) Ecrire une fonction Scilab, en adaptant la fonction de la partie 1, suivant pour qu’elle calcule et affiche la valeur prise par la variable aléatoire 𝑋 lors de l’expérience décrite dans cette troisième partie