TD3 : Convergence de variables aléatoires Exercice 1

TD3 : Convergence de variables aléatoires

Exercice 1 : Estimateurs empiriques

Soient X₁,...,X_n des v.a. i.i.d. d’espérance m et de variance². On pose

1

1 ⁿ

n i

i

X X

n _





^et

 

²

2

1

1 ⁿ

n i n

i

S X X

n _





 ^.

1) Calculer les espérances de X_net nS_n².

2) Etudier la convergence en probabilité de ces deux suites.

3) Montrer que

2 n

n

X m n

S

 converge en loi et donner sa limite.

Exercice 2 : Théorème central limite

On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant deux boules blanches et quatre boules bleues. A chaque tirage i=1,…n, on associe la v.a. Xi valant 1 si la boule tirée est blanche, 0 sinon.

1- Etudier la convergence en probabilité de la suite

1

1 ⁿ

n i

i

X X

n 





^.

2- En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le nombre de tirages nécessaires n₀ pour que ^{P X}



^{n 13 0.2}



^0.01.

3- En utilisant le théorème central limite, déterminer une autre valeur n₁ répondant à la question précédente et comparer.

Exercice 3 : Variable de Poisson de grand paramètre

On dispose d’un échantillon (X₁,...,X_n)i.i.d. issu d’une loi de poisson de paramètre θ. Soit

1 n

n i

i

Y X







.

1) Etudier la convergence en moyenne et presque sûre de la suite^Yn n . 2) Montrer que Yⁿ n

n



 converge en loi et préciser sa limite.

3) Exprimer P Y( _n n) pour  1. 4) En déduire que

0

lim 1

! 2

n k n n

k

e n k



 





Rq : Si X et Y sont deux variables aléatoires de loi de Poisson de paramètres a et b, X+Y suit une loi de Poisson de paramètre a+b.

Exercice 4 : Convergence de la suite des minimums

Soit (X_{n n}) _0 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi U[ , 1]. On définit la v.a.

min( 1,..., )

n n

Z  X X . 1- Donner la loi de Z_n.

2- Montrer que Z_n converge en probabilité vers .

3- Montrer que n Z( _n) converge en loi vers une v.a. Z dont on donnera la loi.

Exercice 5 : Convergence en loi d’une variable hypergéométrique

Soit X_N une suite de variables aléatoires de loi (N,n,p). Montrer que lorsque N tend vers l’infini, X_N converge en loi vers une variable de loi Binomiale (n,p).

Exercice 6 : Convergence en loi et convergence en probabilités

On tire un nombre au hasard entre 0 et 1. On définit sur l’espace probabilisé



^{[0,1],P ([0,1],P}



les variables aléatoires _{1 1}

0,2 n 1

n

X _{ }

  

 

 et ₁

2,1

1 X _{ }

 

 

 . 1- Calculer les lois et les fonctions de répartitions de ces variables.

2- Montrer que X_n converge en loi vers X lorsque n tend vers l’infini.

3- Calculer la probabilité ^{P X}



^{nX }



. En prenant un exemple précis de , montrer que X_n ne converge pas en probabilité vers X .

Exercice 7 : Variations sur la loi normale

Soient (X₁,...,X_n) i.i.d. issus d’une loi de densité

2

0 0

( )

2 ^x 0

x f x

xe ^ x

 ^

 

  

1) Calculer E X( ₁), E X( ₁²).

2) Etudier la convergence presque sûre de ²

1

1 ⁿ

n i

i

T X

n _





^.

3) Etudier la convergence en probabilité de

2 1

n n

i i

W n

X







^.