F1 : Espace de probabilité et analyse combinatoire

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F1 : Espace de probabilité et analyse combinatoire

Exercice 1 : Combien de nombres distinctes de 4 chiffres peut-on former en n’utilisant que les chiffres 2 ;4 ;5 ;7 ;8 ?

Exercice 2 : Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de façons de choisir trois cartes qui soient : a) des as ?

b) de même hauteur ? c) trois coeurs ?

d) de hauteurs deux à deux différentes ?

Exercice 3 : Combien y a-t-il d’applications strictement croissantes de{1; 2;...n}dans {1 ;2...m} ? Exercice 4 : Combien y a-t-il d’applications surjectives de{1; 2;...n+ 1}dans {1 ;2...n} ?

Exercice 5 : SoitE un ensemble de cardinaln.

a) Déterminer le nombre de couples(A, B)de parties deEtelles queA∩B=∅. b) Déterminer le nombre de couples(A, B)de parties deEtelles queA∪B=E.

c) Déterminer le nombre de triplés(A, B, C)de parties deEtelles queA∪B∪C =E.

Exercice 6 : On lance 4 dés, et on suppose les résultats possibles équiprobables.

1) Décrire un modèle probabiliste associé à cette épreuve.

2) Calculer la probabilité pour que le même numéro apparaisse sur les 4 dés.

3) Calculer la probabilité pour que les numéros qui apparaissent sur les dés soient distincts.

Exercice 7 : SoitP une probabilité sur un espaceΩfini non vide etA, B, Ctrois événements deP(Ω). On suppose queP(A) = 0,6,P(A∩B) = 0,2,P(B∩C) = 0,1P(A∩C) = 0,1P(A∩B∩C) = 0,05.

1) Déterminer la probabilité des évènements :E₁ =A∪(B∩C), E₂=A∩(B∪C).

2) Avec en outreP(B) = 0,4, calculer la probabilité pour que niAniB ne se produisent.

Exercice 8 : Dans une population denpersonnes, quelle est la probabilité pour que 2 personnes soient nées le même jour ?

Exercice 9 : 1) Une urne contientN boules numérotées de 1 àN. On tire successivement sans remise n(1≤n≤N)boules de l’urne. Quel est l’ensembleΩdes résultats possibles ? Calculer card(Ω).

Désormais, on suppose que les résultats possibles sont équiprobables.

2) Les boules numérotées de1àM sont rouges (M < N) et les boules numérotées deM+ 1àN sont blanches. SoitA_kl’événement "la k ème boule tirée est rouge".

a) CalculerP(A_k) b) CalculerP(A_k∩A_l).

Exercice 10 : Montrer qu’il y a _n ^n!

1!n2!...nk! possibilités différentes de répartirnboules danskurnes de sorte que lai-ième urne contienne exactementniboules pour touti∈ {1, ..., k}(n=n1+n2+...+nk). En déduire la formule :

(a₁+a₂+...+a_k)ⁿ= X

n1+n2+...n_k=n

n!

n1!n2!...nk!aⁿ₁¹aⁿ₂²...aⁿ_k^k qui est la généralisation de la formule du binôme.

Exercice 11 : Étant donnéΩetAune de ses parties, on note1Al’indicatrice deA. Vérifier les assertions suivantes :

(1)A⊂B ⇔ 1A≤1B

(2)1(A∩B)= 1A.1B

(3)1_(A∪B)= 1A+ 1B−1A∩B

Exercice 12 : (Formule de Poincaré)

SoientA₁, A₂, ..., A_ndes événements d’un espace de probabilité(Ω,A,P).

1) Montrer que

1∪ⁿ_i=1Ai = 1−Πⁿ_i=1(1−1Ai).

En déduire la "formule de Poincaré" : P(∪ⁿ_i=1A_i) =

n

X

k=1

(−1)^k−1 X

1≤i₁<i2<...<ik≤n

P

A_i1 ∩...∩A_ik .

2) Un facteur répartit au hasardnfactures dansnboites aux lettres, une par boite. Calculer la probabilitép(n) qu’une facture au moins parvienne à son destinataire etlimn→+∞p(n).

Exercice 13 : On dispose de 3 urnes et de 3 boules. On répartit au hasard les boules dans les urnes.

Modéliser les cas suivants à l’aide d’un ensembleωet d’une probabilitéP surω: 1) Les urnes et les boules sont distinguables (discernables).

2) Les urnes sont distinguables mais non les boules.

3) Les boules sont distinguables mais non les urnes.

4) Les boules et les urnes sont indistinguables.

Exercice 14 : Un lot de 120 vis contient 20 vis défectueuses. On choisit au hasard (équiprobabilité) sans remise 6 vis.

I)- Calculer la probabilité d’obtenir :

1) Une vis exactement défectueuse 2) 6 vis correctes 3) Une vis au moins bonne 4)deux vis au moins bonnes.

II)- Mêmes questions lorsque le tirage s’effectue avec remise.

Exercice 15 : Soient(ω, P)un espace de probabilité, etAetBdeux événements de cet espace, notonsα,β, γ, etδles probabilités des événementsA∩B,A∩B,A∩B, etA∩B.

a) Calculerα+β+γ+δ.

b) Montrer queP(A∩B)−P(A)P(B) =αδ−βγ c) Montrer que|P(A∩B)−P(A)P(B)| ≤ ¹₄. d) Donner des exemples d’égalités.

Exercice 16 : On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre ànpersonnes.

Quelle est la probabilité que deux amis soient distants derplaces (c’est à dire séparés parr−1personnes).

On résoudra l’exercice en utilisant trois modélisations différentes : a)Ω ={(k₁, k2)|k₁ 6=k2}

b)Ω ={{k₁, k₂}|k₁6=k₂}

c)Ω ={(k₁, k₂, ..., k_n)|∀i, j, i6=j =⇒k_i 6=k_j}

Exercice 17 : Un joueur de poker reçoit une "main" de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité qu’une main contienne :

1)Une seule paire ? 2) Deux paires ? 3) Un brelan ? 4) Un carré ? 5) Un full ?

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F2 : Conditionnement et indépendance

Exercice 1 : On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités que l’on obtienne :

1) un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.

2) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.

3) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6.

4) au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10.

Exercice 2 : On jette 2 fois un même dé. SoientA,BetCles évènements suivants :

a)A={la sommes des points obtenus vaut 6},B ={On obtient 4 au premier jet},C ={la sommes des points vaut 7}.

b)A={le 1 er jet est impair},B ={le 2 ème jet est impair},C ={la somme des points est impaire}.

Dans chacun des cas a) et b) dire si les évènements A, B et C sonts indépendants 2 à 2, puis s’ils sont indépendants ("dans leur ensemble").

Exercice 3 : On suppose que dans une région la proportion de moutons ayant une certaine maladie est de 1%

Si le mouton n’est pas atteint, il a 9 chances sur 10 d’être négatif à un test T. S’il est atteint, il a 8 chances sur 10 d’être positif à ce test.

Quelle est la probabilité pour qu’un mouton pris au hasard et ayant un test positif soit atteint par cette maladie ? Exercice 4 : On cherche un parapluie qui se trouve dans un immeuble de 7 étages (rdc compris) avec la probabilitép(p∈[0,1]). On a exploré en vain les 6 premiers niveaux, quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au 7 ème étage ?

(On admettra qu’il n y a pas à priori d’étage privilégié !)

Exercice 5 : Le dépistage systématique d’une maladie est effectué sur une population dont 0.1% des individus est malade, le test utilisé donne 95% de résultats positifs pour les personnes atteintes par la maladie, et 1% de résultat positifs pour les personnes non atteintes.

Quelle est la probabilité conditionnelle qu’une personne prise au hasard soit atteinte sachant que le test a donné un résultat positif ? soit indemne sachant que le test a donné un résultat négatif ?

Exercice 6 : On admet que dans une famille les sexes des enfants sont indépendants les uns des autres et que chaque enfant a la probabilité ¹₂ d’être un garçon et la probabilité ¹₂ d’être une fille.

a) Une famille a deux enfants dont l’un au moins est un garçon . Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ?

b) Une famille a deux enfants. L’aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ?

Exercice 7 : On effectue une suite de parties de pile ou face. Soitunla probabilité de ne pas avoir trois fois face à la suite aux cours desnpremières parties. On au₁ =u₂ = 1etu₀= 1.

a) En conditionnant par le résultat des trois premières pièces, montrer que l’on a la relation de récurrence suivante :

u_n= 1

2un−1+1

4un−2+1 8un−3

b) A l’aide de votre calculatrice donner une valeur approchée deu50.

c)En utilisant une méthode analogue montrer que la probabilitév_nd’avoir 3 faces consécutifs ou 3 piles consécutifs parmi les n premières parties vérifie la relation de récurrence

v_n= 1 4 +1

2vn−1+1 4vn−2

d) En s’inspirant de la même méthode et en utilisant une calculatrice montrer que la probabilité d’avoir sur 100 jets de pièces au moins 5 piles ou 5 faces consécutifs et de l’ordre de 97%.

Exercice 8 : On lance un dé régulier, puis on effectue deux tirages d’une boule avec remise : - dans l’urneU contenant 9 boules blanches et 1 noire, si le dé amène l’as,

- dans l’urneV contenant 3 boules blanches et 7 noires, si le dé n’amène pas l’as.

On supposera qu’il existe un modèle probabiliste à cette expérience aléatoire(Ω, P et des événements U, V, B_ketN_kcorrespondant respectivement à : on tire dans l’urneU, on tire dans l’urneV, lakième boule tirée est blanche et lakième boule tirée est noire.

a) Les événementsB1etN2sont-ils indépendants ? sont-ils indépendants conditionnellement àU? conditionnellement àV ?

b) On obtient une boule blanche, puis une noire ; de quelle urne est-il plus probable qu’on les ait tirées ? Exercice 9 : Une machine à sous propose le jeu suivant, il y a trois boutons l’un des trois boutons est choisi par la machine comme étant la cible. Le joueur appuie sur l’un des boutons.

S’il a appuyé sur la cible, la machine fait clignoter l’un des deux autres boutons choisi aléatoirement.

Sinon la machine fait clignoter le bouton qui n’est ni la cible ni le bouton appuyé.

Le but est de trouver la cible au deuxième essai. Expliquer pourquoi Yvan qui est un fin mathématicien, appuie sur un bouton, regarde le bouton qui clignote et choisit au deuxième essai le troisième bouton.

Exercice 10 : Un fumeur décide de ne plus fumer ... on admet que s’il ne fume pas un jour donné, la

probabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,9. Mais s’il succombe un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est 0,2.

Calculer la probabilitépnque la personne ne fume pas lenème jour, en fonction dep1.

Exercice 11 : On s’intéresse à la transmission d’une information binaire, c’est à dire ne pouvant prendre que deux valeurs. On admet que le procédé de transmission directe entre deux individusAetB est tel que, lorsqueAémet une valeur de l’information à destination deB, ce dernier reçoit la valeur émise parAavec la probabilitép, et donc l’autre valeur avec la probabilitéq = 1−p, on suppose que0< p <1. On considère des individus successifsi0, i1, ..., inavecn∈N. L’information émise pari0est transmise ài1, qui transmet la valeur reçue ài2, et ainsi de suite jusqu’àin.

Entre deux individus,i_keti_k+1, la transmission de l’information suit la loi décrite plus haut. On notep_kla probabilité que la valeur de l’information reçue pariksoit identique à celle émise pari0, et on posep0 = 1.

a) Exprimerp_k+1en fonction dep_k.

b) On rappelle que pour étudier une suite arithmético-géométrique du genreu_n+1=au_n+bon pose vn=un+αavecαtel que(vn)soit une suite géométrique. En déduire une expression depnen fonction de net dep.

c) Déterminerlimk→∞p_k

d) Déterminer unptel quep100>99,9%

Exercice 12 : Une puce se déplace entre 3 pointsA, BetC. Au départ elle est enA. A chaque étape, elle quitte sa position et gagne indifférement l’un des deux autres points. On noteαn, βnetγnles probabilités qu’elle se trouve respectivement enA, BetCà l’issue de lan^eme` étape (on poseα₀ = 1etβ₀=γ₀ = 0).

a) Calculerα₁, β₁, γ₁etα₂, β₂, γ₂.

b) Exprimerαn+1, βn+1, γn+1en fonction deαn, βn, γn, puisαn, βn, γnen fonction den.

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F3 : Variables aléatoires discrètes, Fonctions génératrices

Exercice 1 : Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu’à ce qu’il ne reste que des boules d’une seule couleur dans l’urne. Comment peut-on modéliser le nombre de tirages nécessaires à l’aide d’une variable aléatoire ?

Exercice 2 : SoitXune v.a. suivant une loi de Poisson de paramètreλ >0 (∀k∈NP(X =k) =e^{−λ λ}_k!^k).

CalculerE(X)puisE

1 1+X

.

Exercice 3 : On lance deux fois de suite un dé. SoientXetY respectivement le premier et le second numéro obtenus et soitU = min{X, Y}.

a) Donner la loi du couple(X, Y), les lois deXet deY. Les v.a.XetY sont-elles indépendantes ? b) Déterminer la loi du couple(X, U)et la loi deU. Les v.a.XetU sont-elles indépendantes ? Exercice 4 : On jette deux dés, un rouge et un noir, et l’on regarde la somme des deux dés.

a) Modéliser le résultat des deux dés à l’aide d’un ensembleΩet d’une probabilitéP surΩ, puis modéliser la somme à l’aide d’une variable aléatoireSdéfinie surΩ.

b) Décrire l’événement{S = 4}, calculer sa probabilité.

c) Calculer l’espérance deS:

i) directement à l’aide de la définitionE(X) =R

ΩXdP. ii) à l’aide de la formuleE(X) =R

RxdP_X(x).

On modélise différemment cette même expérience à l’aide de deux variables aléatoiresXetY représentant respectivement le résultat du dé rouge et du dé noir. On ne cherche pas à définirΩ.

a) Comment pouvons nous choisir la loi du couple(X, Y)? b) Déterminer les lois deXetY ? sont-elles indépendantes ?

c) SoitU = min{X, Y}, déterminer la loi du couple(X, U)puis la loi deU. Les variables aléatoiresXetU sont-elles indépendantes ?

Exercice 5 : SoitT une v.a. entière définie sur(Ω,A, P). On suppose que∀n∈N,P(T > n)6= 0et

∀(p, n)∈N²,P(T ≥n+p|T ≥n) =P(T ≥p). Montrer queT suit une loi géométrique (C’est la seule loi surN qui possède cette propriété dite "propriété de non vieillissement").

Donner un exemple d’expérience modélisée par une telle loi.

Exercice 6 : SoientXetY deux v.a. indépendantes suivant la même loi :

∀k∈N, P(X =k) =P(Y =k) =pq^k (q = 1−p, p∈]0,1[).

On poseU =max(X, Y)etV =min(X, Y).

1) CalculerP(U ≤k)pourk∈N. En déduire la loi deU. 2) En s’inspirant de ce qui précède déterminer la loi deV.

Exercice 7 : Soit X une v.a. à valeurs dansN. Montrer queE(X) =P+∞

k=1P(X≥k).En déduire l’espérance d’une loi géomètrique de paramètrea,0< a <1.

Exercice 8 : On appelleSnle nombre de piles obtenus dans un jeu de pile ou face où la probabilité d’obtenir pile estp∈]0,1[. Soitν_r =inf{n≥1 : S_n=r}le nombre aléatoire de parties nécessaires pour obtenirr fois pile.

a) Déterminer la loi deν1.

b) Soitr∈N,r ≥2. Déterminer la loi deν_ren remarquant que , pourn≥r,{ν =n}={le n-ième tirage donne pile et parmi lesn−1premiers tirages il y ar−1piles etn−rfaces }

Exercice 9 : Soitp∈]0,1[. SoientX1, X2, ..., Xn, ...une suite de v.a. indépendantes et de même loi telles queP(Xn= 1) =p,P(Xn= 0) = 1−p(loi de Bernouilli).

SoientY_n=X_nX_n+1,U_n=Y₁+...+Y_n. 1) Quelle est la loi deY_n?

2) Pour quels couples(n, m)les v.a.YnetYmsont-elles indépendantes ? 3) Calculer l’espérance et la variance deU_n.

4) Montrer que∀ε >0, on alimn→+∞P

| ^U_nⁿ −p² |≥ε

= 0.

Exercice 10 : 1) SoitX1, ..., Xn, ...une famille indépendante de v.a. entières définies sur(Ω,A, P)de même loi de Bernouilli de paramètrep∈]0,1[.

Déterminer la loi de la v.a.Sn=Pn

i=1Xi (n≥1) a) En utilisant la fonction génératrice.

b) Par un calcul direct.

2) SoientXetY deux v.a. indépendantes suivant les lois binomialesB(n₁, p)etB(n₂, p). Calculer la fonction génératrice puis la loi deX+Y.

Calculer la loi de(X, X+Y).

-Donner un exemple d’expérience modélisée parS_n.

Exercice 11 : SoitXune v.a. suivant la loi géomêtrique de paramètrep. On considère la v.a.Y définie par : Y(ω) = 0 siX(ω)est impair et 1

2X(ω) sinon Déterminer la loi deY, son espérance et sa variance.

Exercice 12 : SoientX1, ..., Xndes v.a. indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètres respectifs λ_i(λ_i >0, i= 1, ...n).

Calculer la fonction génératrice deSn=X1+...+Xnet identifier la loi de cette v.a.

b) Déterminer la loi de2X1, puis de2X1+X2lorsqueλ1=λ2 =λ.

Exercice 13 : SoientX1, ..., Xndes v.a. indépendantes de même loi géomètrique de paramètrea. Déterminer la fonction génératrice deS_n=X₁+...+X_n.

Exercice 14 : Soit(Xn)n∈N^∗une suite de v.a. positives , indépendantes, de même loi et d’éspérance m=E(X₁)finie. SoitN une v.a. entière positive indépendante desX_nd’éspéranceM =E(N)finie.

1) SoitSn=Pn

i=1XietSN la v.a. définie par :

SN(ω) =Sn(ω)siN(ω) =n >0 et SN(ω) = 0siN(ω) = 0.

CalculerE(S_N)en fonction demet deM (sans utiliser les fonctions génératrices car lesX_ine sont pas à priori à valeurs entières).

2) On suppose0≤m≤1. On pose

Z = 1 si N = 0

Z = X₁X₂...X_n si N =n≥1 CalculerE(Z)en fonction de met deG_N la fonction génératrice deN.

Exercice 15 : Soit{X₁, X2, ...Xn, ....}une famille indépendante de v.a. entières définies sur(Ω,A, P). On suppose que les v.a.X_isuivent la loi de Bernouilli de paramètrep∈]0,1[. SoitS_n=Pn

i=1X_i. SoitN une v.a. entière définie sur(Ω,A, P)indépendante desXietSN la v.a. définie comme dans l’exercice précédent.

a) On suppose queN suit une loi géomètrique de paramètrea∈]0,1[. Trouver la loi deS_N. b) Même question siN suit une loi de Poisson de paramètreλ(λ >0).

Exercice 16 : SoitXetY deux VA à valeurs entières définies sur un même espace probabilisé, montrer que siXetY ont même fonction génératrice alors elles ont même loi.

Exercice 17 : Montrer que l’on ne peut pas piper deux dés à 6 faces de sorte que la somme des points soit équirépartie sur{2,3, ....12}, on pourra étudier les racines de différentes fonctions caractéristiques.

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F4 : Variables (vecteurs) aléatoires absolument continues

Exercice 1 : SoitXune variable aléatoire, de fonction de répartitionF_X. a) Montrer que siFX est continue alorsP(X=a) = 0pour tout réela.

b) Montrer que siF_X est continue et dérivable surA, avecR−Ade cardinal fini, alorsf telle quef|_A=F_X⁰ etF|_Aarbitraire est une densité de probabilité pour la variable aléatoireX.

Exercice 2 : SoitF :R→Rdéfinie par F(x) =

0 six≤0 1−e^−x2(1 +^x₂) six >0

a) Montrer queFest la fonction de répartition d’une loi de probabilité dont on déterminera la densité si elle existe.

b) SiXest une variable aléatoire de fonction de répartitionF, calculer la probabilitéP(−2< X <3) Exercice 3 : SoitX une v.a.r. de loi uniforme sur[1,3](de densité de probabilitéf(t) = ¹₂11_[1,3](t)). Dé- terminer la fonction de répartition de la v.a. Y = min{X, a} (a ∈ [1,3]). Montrer que la loi deY est une combinaison linéaire d’une loi à densité et d’une mesure de dirac.

Exercice 4 : SoientX₁ etX₂ deux v.a. indépendantes de même loi uniforme sur[0,1]. Déterminer les lois des v.a.U = max{X₁, X2}etV = min{X₁, X2}par leurs fonctions de répartition et en déduire les densités de probabilité correspondantes. Que vautE(|X1−X2 |)?

Exercice 5 : Déterminer la loi du minimum denv.a. indépendantes suivant des lois exponentielles de para- mètres respectifsλ_i pour i= 1, ..., n.

Exercice 6 : SoientXetY deux v.a. indépendantes telles queX∼ N(0,1)et P(Y =−1) =P(Y = +1) = ¹₂.

1) Quelle est la loi deZ =XY ? 2)XetZsont-elles indépendantes ? 3) SoitU =X+Y. Quelle est la loi deU?

Exercice 7 : SoientXetY deux v.a.r. indépendantes suivant la loi de Cauchy de densité f(x) = 1

π 1 1 +x². 1)Z =αX. Quelle est la loi deZ? (α >0).

2)S =X+Y. Quelle est la loi deS? (Comparer la à celle de2X).

Exercice 8 : Soit(X, Y)un couple de v.a. suivant la loi uniforme sur le disque unité.

1) Quelles sont les lois deXet deY ? 2)XetY sont-elles indépendantes ?

Exercice 9 : SoitXune v.a.r. de fonction de répartitionF(x) = P(X ≤x). SoitY =F(X). Quelle est la loi deY ? (On pourra supposerF continue, strictement croissante).

Exercice 10 : SoitAle domaine du carré unité défini par A={(x, y)∈[0,1]²:x≥y+1

2 oux≤y≤x+1 2}.

a) DéterminerR R

1_A(x, y)dxdy

b) Soit(X, Y)un couple de v.a. de densité uniforme surA. Déterminer les lois marginales deXet deY. c) CalculerCov(X, Y).

Exercice 11 : SoitLune v.a.r. positive admettant une densité de probabilitéfetXune v.a.r. de loi uniforme sur[0,1]indépendante deL. On définit deux v.a.r.L₁etL₂parL₁ =XLetL₂ = (1−X)L(cela représente par exemple la rupture aléatoire en 2 morceaux de longueursL₁etL₂, d’une certaine moléculaire de

longueur initiale (aléatoire)L.

a) Déterminer la loi du couple(L1, L2)ainsi que les lois deL1etL2.

b) Que peut-on dire du couple(L₁, L₂)lorsquef(y) =λ²ye^−λy11_[0,+∞[(y) (λ >0)? c) Déterminer la loi deZ= min{L₁, L2}.

Exercice 12 : Soit(X₁, X₂)un couple de v.a.r. admettant la densité de probabilité f(x₁, x₂) = 1

2πp

1−ρ²exp−( 1

2(1−ρ²)(x²₁−2ρx₁x₂+x²₂)). oùρ∈]0,1[.

a) Vérifier quef est une densité de probabilité surR²et trouver les densités marginales deX1etX2. Ces v.a.r. sont-elles indépendantes ?

b) On poseR=p

X₁²+X₂²etΦ∈[0,2π]défini par :cos Φ = ^X_R¹ etsin Φ = ^X_R². Déterminer la densité du couple(R,Φ).

Exercice 13 : SoientX₁, X₂, ..., X_ndes v.a.r. indépendantes de même loi exponentielle de paramètreλ (λ >0). On pose

S₀= 0, S_k=X₁+X₂+...+X_k. Calculer la loi de (S1, S2, ..., Sn).

Exercice 14 : On suppose que la durée, en minutes, d’attente entre deux appels consécutifs à une ligne d’assistance informatique suit une loi exponentielle de paramètre 1 : Sa densité est

f(x) =

0 si x≤0 e^−x si x >0

a)Quelle est la probabilité que l’attente entre deux appels soit comprise entre 1 et 2 minutes ? soit inférieur à 10 minutes ? soit supérieur à 2 minutes ?

b)Déterminerλtel que la probabilité que l’attente soit supérieur àλsoit égale à la probabilité que l’attente soit inférieur àλ.

c) Déterminer l’attente moyenne entre deux appels.

Exercice 15 : SoitY une variable aléatoire normale de paramètre (3,4), sachant que siX est une variable normale centrée réduite etΦsa fonction de répartition on a les valeurs approchées suivantes :φ(2) '0,977 etΦ(1)'0,841. calculerP(Y <7),P(5< Y <7),P(Y <−1)etP(|Y|<1).

Exercice 16 : On suppose queXsuit une loi uniforme sur [0,1]. Déterminer les lois des variables aléatoires suivantes :2X+ 3,X²,e^X, et(X−¹₃)².

Exercice 17 : La densité de probabilité d’une variable aléatoireXest f(x) =

₄

81x(9−x²) si0< x <3

0 sinon

a) Représenterf.

b) Déterminer ’le mode’ deX(’la valeur la plus probable’).

c) Déterminer ’la médiane’ deX(Valeur pour laquelle il y a la même probabilité d’être supérieur que d’être inférieur).

d) Déterminer la ’moyenne’ deX.

e) CalculerP(0< X <1).

Exercice 18 : SoientXetY deux v.a. indépendantes et admettant chacune une densité de probabilité surR. Monter queP(X =Y) = 0.

Exercice 19 : SoientX1, ..., Xndes v.a. indépendantes et de même loi de probabilité de densitéf.

1) Quelle est la densité de la v.a.X = (X1, ..., Xn)? Siσest une permutation de{1, ..., n}, quelle est la densité deX_σ = (X_σ(1), ..., X_σ(n))?

2) On noteY₁ ≤Y₂≤...≤Y_nles valeurs prises parX₁, ..., X_nréordonnées en suite croissante. Montrer que siF ={Y₁< Y2 < ... < Yn},P(F) = 1et queY = (Y1, Y2, ..., Yn)admet pour densité surRⁿla fonction

fY(y1, ..., yn) =n!f(y1)...f(yn)11_(y1<...<yn)(y1, ..., yn).

3) Application : 3 personnes arrivent en même temps à un guichet, il y a deux guichetier et une seule queue, la durée d’un client avec le guichetier suit une loi exponentielle de paramètreα. Deux des trois passent de suite et le troisième attend, quelle est la probabilité que se soit lui qui finisse le dernier des trois ?

Exercice 20 : On suppose que les v.a.X1, X2, ..., Xnde l’exercice précédent suivent la loi exponentielle de paramètreλ. Avec les mêmes notations, on définit

Z1=Y1, Z2 =Y2−Y1, ..., Zn=Yn−Yn−1.

Déterminer la loi de(Z1, ..., Zn). Les v.a.Z1, ..., Zn, sont-elles indépendantes ? Déterminer la loi marginale de chacune d’entre elles.

Exercice 21 : SoientXetY deux variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètreλ.

Déterminer les lois des variables aléatoires :−Y,X+Y etX−Y. Exercice 22 : SoitZune v.a.r ; admettant la densité suivante surR:

f(z) = 2

√2πe^−z

2

2 11_R+(z).

SoitU une v.a. indépendanteZtelle queP(U = 1) =P(U =−1) = ¹₂.Quelle est la loi deV =U Z? Exercice 23 : Soithune densité de probabilité surRetgune fonction réelle surR, telle que pour toutxon ait0< g(x)<1.

On engendre une suite(Yn, Un)n= 1,2, ...de couples indépendants de v.a.r.,YnetUnétant indépendantes entre-elles. LesY_nont la même densitéhet lesU_nsuivent la loi uniforme sur[0,1]. Soitτ le premier instant oùU_n≤g(Y_n)ie ;

τ =inf{n, n≥1 : U_n≤g(Y_n)}, convention : inf∅= +∞.

1) Exprimerp=P(Un≤g(Yn))à l’aide dehet deg. Quelle est la loi deτ en fonction de p ? Montrer queP(τ <+∞) = 1.

2) On prend pourXla v.a.X=Yτ (i.e;X =Ynpour τ =n).Quelle est la loi deX? Exercice 24 : Soit(X, Y)un couple de variables aléatoires de densitéf

f(x, y) = 1

4(2x+y)11[0;1]×[0;2](x, y) a) CalculerP(Y ≤1);P(X≤ ¹₂; Y ≤1)etP(X+Y ≤1)

b) CalculerE(X);E(Y);E(X+Y);E(XY)

c)XetY sont elles indépendantes ?X−¹₂ etY −1sont-elles indépendantes ? d) Quel est la loi du couple((X−¹₂)²,(Y −1)²)?

e) Les variables aléatoires(X−¹₂)²et(Y −1)²sont-elles indépendantes ?

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F5 : Lois conditionnelles et espérances conditionnelles

Exercice 1 : Soientb, r∈N^∗etc∈N. Une urne contientbboules blanches etrboules rouges. On effectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l’urne avec en plusc boules de la même couleur. On noteX_nla variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera

p= r

b+r q= b b+r

1) Déterminer la loi du couple(X₁, X₂)En déduire la loi deX₂la comparer à celle deX₁. 2) Trouver les lois conditionnelles deX1sachantX2et deX2sachantX1.

3) Déterminer la loi de la variableS2=X1+X2.

4) Déterminer la loi deX₃sachant queS₂ =kpourk∈N. 5) Déduire du 4) que la loi deX₃est la même que celle deX₁. 6) Exprimer la loi deXn+1à l’aide deE(Sn).

7) Montrer que toutes les variables aléatoiresX_nont même loi de probabilité.

Exercice 2 : a) SoientX,Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi, de densitéf. On note M₁ = min(X, Y)etM₂ = max(X, Y). Montrer que la loi du couple(M₁, M₂)est donnée par :

f_(M1,M2)(m1, m2) = 2f(m1)f(m2)11m1<m2

b) On suppose dans la suite quef(t) =λe^−λt11_R⁺(t), déterminer la loi du couple(M₁, M₂), puis les lois marginales deM1etM2.

c) Déterminer l’espérance conditionnelle deM2 sachantM1.

d) SiXetY modélise la durée de vie de deux composants électroniques, interpréter l’espérance conditionnelleE(M2|M₁), calculée précédemment.

5) Même question avecE(M1|M₂=m2)lorsquem2est petit et lorsquem2 est grand.

Exercice 3 : SoientX1 etX2v.a. indépendantes de loi de PoissonP(λ1)etP(λ2).

a) Déterminer la loi deX1sachantX1+X2=n.

b) CalculerE(X₁|X₁+X₂).

Exercice 4 : SoientX₁ etX₂v.a. indépendantes de loi exponentielleE(λ).

a) Déterminer la loi deX₁sachantX₁+X₂. b) CalculerE(X1|X₁+X2).

Exercice 5 : SoientXetY deux v.a. telles que : - Xsuit la loi de PoissonP(λ),

- la loi conditionnelle deY sachantX=nest la loi binomialeB(p, n).

a) Déterminer la loi du couple(X, Y)puis la loi deY. b) Les v.a.X−Y etY sont-elles indépendantes ? c) CalculerE(X|Y =k), en déduireE(X|Y).

Exercice 6 : SoientXetY deux v.a. telles que - Xa pour densitéf_X(x) =xe^−x11{x>0},

- pour toutx >0la loi conditionnelle deY sachantX=xest la loi uniforme sur[0, x]. a) Déterminer la loi du couple(X, Y)puis la loi deY.

b) Les v.a.X−Y etY sont-elles indépendantes ? c) CalculerE(X|Y =y), en déduireE(X|Y).

Exercice 7 : SoientX, Y, Ztrois variables aléatoires telles que :

- Xsuit la loi uniforme sur[0,1],

- f_Y|X=x(y) = (y−x)e^−(y−x)1_{y>x}pourx∈[0,1].

- fZ|X=x,Y=y(z) = (y−x)e^−z(y−x)1{z>0}pour(x, y)∈AoùA={(x, y)∈[0,1]×R|y > x}

1) Déterminer la loi de(X, Y)puis la loi de(X, Y, Z).

2) En déduire la loi deZ, puis la loi de(X, Y)sachantZ =z.

3) CalculerE((Y −X)¹²|Z =z)puisE((Y −X)¹²).

4) SoientU =Y −X,V =Z(X−Y). Déterminer la loi de(X, U, V). Les v.a.X, U, V sont-elles indépen- dantes ?

Exercice 8 : Soient(X, Y)un couple de variables aléatoires dont la densité est : f_(X,Y)(x, y) = 1

2πp

1−ρ²exp{− 1

2(1−ρ²)(x²−2ρxy+y²)}

où0< ρ <1.

1) Trouverα^∗∈Rt.q.E{(X−α^∗Y)²}= infα∈RE{(X−αY)²}.

2) Montrer queX−α^∗Y etY sont indépendantes.

3) En déduire queE{(X−α^∗Y)h(Y)}= 0pour toute fonctionh:R→Rt.q.E{h²(Y)}<∞.

4) On noteHl’ensemble de toutes les fonctionsh:R→Rt.q.E{h²(Y)}<∞. Montrer que

h∈Hinf E((X−h(Y))²) =E{(X−α^∗Y)²}

5) Déterminer la loi deXsachantY =yet calculerE(X|Y). ComparerE(X|Y)etα^∗Y.

Exercice 9 : On considère une variable aléatoireXde loi uniforme sur[a,1]. poura= 0puis poura=−1: 1. Calculer

E(X²|X), et E(X|X²) 2. Trouverα^∗etβ^∗telle que :

E(X−α^∗X²)² = min

α∈R

E(X−αX²)², etE(X²−β^∗X)² = min

β∈R

E(X²−βX)²,

Exercice 10 : Soit(X_i)i≥1une suite de v.a. indépendantes de même loi t.q.E(X_i) =µ, var(X_i) =σ². Soit N une v.a. à valeurs entières indépendante desXiavecE(N) =νet var(N) =τ². On pose :

Sn=

n

X

i=1

Xi

a) DéterminerE(S_N|N).

b) En déduireE(SN)et var(SN).

Exercice 11 : (Examen 2000)

SoientXetN des variables aléatoires à valeurs dansN. On sait queE(N) =met var(N) =σ²oumetσ sont des constantes réelles positives (mais on ne connaît pas la loi deN). on suppose que la probabilité conditionnelle deXsachantN =n≥0est donnée par :

P(X=k|N =n) = ₁

1+n pour 0≤k≤n 0 ailleurs

1. CalculerE(X|N), E(X²|N), E(X)et var(X).

2. On suppose queY =N−XetXsont indépendantes, calculerE(Y), var(Y),E(N|X), etE(N|Y).

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F6 : Lemme de Borel Cantelli

Exercice 1 : Soit{A_n, n≥1}une suit de parties d’un ensembleΩ, on définit les parties limite supérieure et limite inférieure par :

n→∞limAn= \

n≥1

[

p≥n

Ap, lim

n→∞An= [

n≥1

\

p≥n

Ap, a) Déterminer lalimet lalimdes suites(A_n)et(C_n):

A, B ∈ P(Ω), A_2n=A, A_2n+1 =B, C_n= [−1; (1 + (−1)ⁿ)n]

b) Montrer que

lim

n→∞

A_n c

= lim

n→∞A^c_n. c) Montrer queωappartient à lim

n→∞A_nsi et seulement siωappartient à une infinité deA_n. d) Montrer queωappartient à lim

n→∞Ansi et seulement siωappartient à tous lesAnsauf à un nombre fini.

e) Déterminer lalimet lalimde la suite suivante :

Ω =IR, D_2n= [0,(−1)ⁿ], D_2n+1= [0,(−1)ⁿ+ 1 n] f) Montrer que :

lim

n→∞

A_n⊂ lim

n→∞A_n

n→∞lim(An∪Bn) = ( lim

n→∞An)∪( lim

n→∞Bn)

n→∞lim(An∩Bn)⊂( lim

n→∞An)∩( lim

n→∞Bn) Montrer, en utilisant l’exemple de la question e), que l’inclusion peut être stricte.

g) On dit que la suite(An)admet une limite si lim

n→∞An= lim

n→∞An

Montrer que si(An)est une suite monotone, elle admet une limite.

h) On rappelle que pour une suite réelle(x_n)la limite supérieure est définie par

limx_n= limn→∞sup{x_k|k > n}. Montrer que pour une suite de variables aléatoires(X_n)on a : ( lim

n→∞X_n> )⊂ lim

n→∞(X_n> )

Soit{A_n, n≥1}une suit de parties d’un ensembleΩ, on définit les parties limite supérieure et limite inférieure par :

n→∞limA_n= \

n≥1

[

p≥n

A_p, lim

n→∞

A_n= [

n≥1

\

p≥n

A_p, a) Déterminer lalimet lalimdes suites(An)et(Cn):

A, B ∈ P(Ω), A_2n=A, A2n+1 =B, Cn= [−1; (1 + (−1)ⁿ)n]

b) Montrer que

lim

n→∞An

c

= lim

n→∞A^c_n. c) Montrer queωappartient à lim

n→∞A_nsi et seulement siωappartient à une infinité deA_n. d) Montrer queωappartient à lim

n→∞

A_nsi et seulement siωappartient à tous lesA_nsauf à un nombre fini.

e) Déterminer lalimet lalimde la suite suivante :

Ω =IR, D_2n= [0,(−1)ⁿ], D_2n+1= [0,(−1)ⁿ+ 1 n] f) Montrer que :

lim

n→∞An⊂ lim

n→∞An n→∞lim(A_n∪B_n) = ( lim

n→∞A_n)∪( lim

n→∞B_n)

n→∞lim(An∩Bn)⊂( lim

n→∞An)∩( lim

n→∞Bn) Montrer, en utilisant l’exemple de la question e), que l’inclusion peut être stricte.

g) On dit que la suite(An)admet une limite si lim

n→∞

A_n= lim

n→∞A_n Montrer que si(A_n)est une suite monotone, elle admet une limite.

h) On rappelle que pour une suite réelle(xn)la limite supérieure est définie par

limxn= limn→∞sup{x_k|k > n}. Montrer que pour une suite de variables aléatoires(Xn)on a : ( lim

n→∞Xn> )⊂ lim

n→∞(Xn> )

Exercice 2 : Soit(Ω,A, P)un espace probabilisé et(A_n)une suite d’événements deA. On définit l’événement

B ={ω ∈Ω :ω ∈Anpour une infinité den}

a) On pose :B_m =S

n>mA_n, montrer queB= limm→∞B_m. b) Montrer l’implication :

X

n

P(An)<∞=⇒P(B) = 0 c) On suppose que lesA_nsont indépendants. Montrer l’implication :

X

n

P(A_n) =∞=⇒P(B) = 1

Exercice 3 : Soit(X_n)une suite de v.a. indépendantes et de même loi :

P(X_n= 1) =p, P(X_n=−1) = 1−p, où0< p <1 On considère la suite de v.a. définie par :Sn=Pn

k=1Xk(marche aléatoire).

a) Que représentent les évènementsA_n={S_n= 0}etA= lim

n→∞A_n?

b) On suppose quep 6= ¹₂ et l’on rappelle le critère de D’Alembert pour les séries strictement positives : Si lim^u_uⁿ⁺¹

n =lavecl <1alors la sérieP

unconverge. Montrer queP(A) = 0. Interprétation.

Exercice 4 : Soit(X_n)une suite de v.a. etGleur tribu asymptotique.

1) Montrer que la v.a.Y = lim

n→∞XnestG-mesurable.

2) On suppose que les Xn sont indépendantes. Montrer que le rayon de convergence de la série entière P

n≥0Xnzⁿest presque sûrement constant.

Exercice 5 : SoientX1, X2, ...des v.a. indépendantes et identiquement distribuées telles queE(X1) = 0et E(X₁⁴)<+∞. On poseS_n=Pn

i=1X_i etY_n= _n¹S_n.

a) Démontrer le lemme suivant : Un suite de variables aléatoires(X_n)converge versXp.s. ssi

∀ >0P(lim(|X_n−X|> )) = 0 ssi

∀ >0 X

P(|X_n−X|> ) = 0 b) En développantS_n⁴, écrireE(S⁴_n)à l’aide den,E(X₁²)etE(X₁⁴).

c) Montrer que :

∀ >0, E(Y⁴)< ⁴P(|Y|> )

d) Montrer, sans utiliser la loi forte des grands nombres que(Yn)converge vers0p.s.

e) Montrer que si lesX_nne sont pas de même loi, mais sont telles que la suiteE(X_n⁴)est bornée, le résultat reste vrai.

Exercice 6 : Argument de bloc : Soient(X_n)une suite de V.A. indépendantes de loi exponentielle de paramètreλ= 1etMn= max(X1;X2;...Xn).

a) CalculerP(Mn≤x).

b) Montrer queP

P(M_n≤(1−) lnn)<∞.

c) Montrer que pour tout >0il existe une sous suite(nk)que l’on déterminera telle que XP(M_nk ≥(1 +) lnn_k)<∞ et lim lnn_k

lnn_k+1 = 1 d) en remarquant que(Mn)est une suite croissante montrer que ^M_lnⁿ_nconverge vers 1 p.s.

Exercice 7 : Quelle est la probabilité que dans une suite infinie de lettres et de symboles typographiques choisit indépendamment avec la même probabilité, se trouve quelques part la déclaration universelle des droits de l’homme.

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F7 : Fonctions caractéristiques. Convergences

Exercice 1 : Soit(X_n)_nune suite de variables aléatoires telles queX_nait pour loi une loi uniforme sur l’ensemble fini

A_n={0,1 n,2

n, . . . ,n−1 n } montrer que(Xn)converge en loi vers une loi uniforme sur[0; 1].

Exercice 2 : Soit(Xn)nune suite de variables aléatoires telle que pour toutn:

Xn(Ω) ={1,2, . . . , n}et∀k∈ {1,2, . . . , n}P(Xn≤k) = k²(3n−2k) n³ On poseY_n= ^X_nⁿ, et[ ]désigne la partie entière :

1. Soittun réel, calculerlimn→∞ [nt]

n .

2. Montrer que pour tout réeltdans [0 ;1],P(Y_n≤t) =^[nx]_n3²(3n−2[nx])

3. En déduire pourt∈R, l’existence et la valeur delimP(Yn≤t), montrer queYnconverge en loi.

Exercice 3 : a) Soit(x_n)une suite de réels convergente versxmontrer que(δ_xn)converge étroitement vers δ_x.

b) SoientX, X1, ...Xn, ...des variables aléatoires à valeur dansNmontrer que si(Xn)converge en loi vers Xalors pour tout entierk, la suite de réels(P(X_n=k))_nconverge versP(X=k).

c) Montrer la réciproque du b).

d) SoientX, X1, ...Xn, ...des variables aléatoires,F etFnleur fonction de répartition. Montrer que si Xn

−→L Xalors en tout pointaoùFest continue, on alimFn(a) =F(a). On ne démontrera pas mais on pourra noter que la réciproque est aussi vrai.

e) Donner un exemple où l’on aX_n−→^L Xmais où l’on a pasX_n−X−→^L 0.

f) Montrer que siX_n−→^L 0alorsX_n−→^P 0.

Exercice 4 : Déterminer les fonctions caractéristiques de la v.a.Xdans les cas suivants :

X =ap.s.,X∼ B(p), B(n, p), P(λ), G(p), U([a, b]), Exp(λ), N(0,1), N(m, σ²),

Exercice 5 : Considérons une suite(X_n)n∈N^∗de v.a. telle queX_n∼ Exp(λ_n). On suppose quelimn→+∞λ_n= 0.SoitZn=Xn−[Xn]. Montrer queZnconverge en loi vers une v.a.U dont on précisera la loi.[Xn]repré- sente la partie entière deX_n.

Exercice 6 : Montrer que si (Xn) et X sont des vecteurs aléatoires à valeurs dans (R^m,B_R^m) tels que Xn

−→L Xet sigest une fonction continue deR^mdansR^p alorsg(Xn)−→^L g(X).

Exercice 7 : On considère une suite de v.a.(X_n)indépendantes et de même loi. On fait correspondre à celle-ci la suite de v.a.(Yn)définie par :

Y₀ = X₀

2 , Y₁= X₁+Y₀

2 , Y₂ = X₂+Y₁

2 , ..., Y_n= X_n+Yn−1

2 .

a) Calculer la fonction caractéristiqueΦ_n(u)deY_nen fonction deΦ(u)(la f.c. deX) et den.

b) On supposera que la loi desXnest la loiN(0, σ). Quelle est la loi deYn? Quelle est la loi limite deYn

lorsquen→+∞?

c) SiX_nsuit la loi de Cauchy de paramètre 1, montrer queY_nconverge en loi vers une v.a. dont on identifiera la loi.

Exercice 8 : La loi de Cauchy de paramètrea >0, a pour densitéf(x) = _π(x2^a+a²). SoitΦasa fonction caractéristique. On admettra que∀t∈R, Φa(t) =e^−a|t|.

1) Vérifier à l’aide de la définition puis en utilisant la f.c. qu’une v.a. qui suit la loi de Cauchy n’est pas intégrable.

2) Vérifier que siXetY sont deux v.a. suivant la loi de Cauchy indépendantes de paramètresaeta⁰,X+Y suit la loi de Cauchy de paramètrea+a⁰.

3) Montrer que siX ∼Cauchy(a)etα >0, alorsαX ∼Cauchy(αa).

4) Soit (bn) une suite de réels strictement positifs etSn la somme denv.a. indépendantes suivant la loi de Cauchy de paramètre 1. A quelle condition sur lesb_na-t-on convergence en loi de ^S_bⁿ

n ?.

Exercice 9 : Soit(X_n)_nune suite de v.a.r.. On suppose que∀n, X_nest uniformément répartie sur l’intervalle[0,¹_n].

1) calculer la f.c.ΦndeXn.

2) Est-ce-que les v.a.X_nconvergent en loi vers une limiteXlorsquen→+∞? Si oui, quelle est la loi de la limiteX?

3) PosonsYn=nXn. Quelle est la loi deYn?

4) On suppose que lesX_nsont indépendantes. SoitS_n=Y₁+...+Y_n. Montrer que ^S_nⁿ converge vers une limite non aléatoiremqu’on calculera ; dans quel sens a lieu cette convergence ?

5) Montrer que ^Sn√−nm_n converge en loi vers une limiteY dont on déterminera la loi.

Exercice 10 : Soient(X_n)n≥1 et(Y_n)n≥1deux suites de v.a.r. indépendantes et de carré intégrable. On suppose que lesXnsuivent la même loi d’espéranceµet de varianceσ², et que lesYnsuivent la même loi d’espéranceνet de varianceτ². On définit pourn≥1les v.a. :

S_n=

n

X

k=1

X_k et T_n=

n

X

k=1

X_kY_k.

a) Calculer pour toutnfixé l’espérance et la matrice de covariance de(Sn, Tn)(qui est un vecteur aléatoire bidimensionnel) en fonction den, µ, ν, σ², τ².

b) Quel est le comportement asymptotique des suites : (S_n

n , n≥1) , (T_n

n , n≥1) , (T_n−νS_n

n , n≥1) c) Quelle est lorsquen→+∞, la limite en loi de la v.a. ^Tn√−νS_n ⁿ?

Exercice 11 : SoitXune v.a. de loi uniforme sur]0,1[. Pour toutn∈N^∗on pose Y_n=

n si 0≤X≤ _n¹ 0 si X <0 ou X > ¹_n

La suite(Yn)converge t-elleP-presque sûrement (respectivement, en probabilité, dansL¹) vers une limite ? Exercice 12 : a) Montrer l’équivalence entre les trois propriétés suivantes :

i: Xn→Xp.s.; ii: P(∪

>0∩

N ∪

n>N(|X_n−X|> ) = 0; iii: ∀ >0, P( lim

n→∞|X_n−X|)> ) = 0 Soit (X_n)_n une suite de v.a. indépendantes et positives. Montrer que S_n = P_n

k=1X_k converge p.s. si et seulement si elle converge en probabilité.

Exercice 13 : Soit(X_k)_kune suite de v.a. indépendantes et de même loi : P(Xk=−1) =P(Xk = 1) = ¹₂. SoitSn=X1+...+Xnpourn≥1.

1) CalculerE(e^xSn)pourx∈R. Montrer queE(e^xSn)≤e^nx

2

2 , ∀x >0.

2)∀a >0, ∀x >0, ∀n≥1, montrer queP(Sn≥a)≤e^−axE(e^xSn). En déduire que P(|Sn|≥a)≤2e^−a

2 2n .

3) On posea=c(2nLogn)^1/2, avecc >1. Montrer que p.s.lim sup_(2nLogn)^|Sn| _1/2 ≤1.

Exercice 14 : Soient(Xn)nune suite de variables aléatoires indépendantes de loiU[0; 1],Y une variable aléatoire de loiE(1)etZn=nmin(X1;...;Xn).

a) Montrer queZn

−→L Y

b) SoitX ∼ E(λ), déterminer la loi de la v.a.e^−λX.

c) Soit(X_n)une suite de variables aléatoires indépendantes de même loiE(λ). Déterminer la limite en loi de la suite(A_n)définie parA_n=nmin(e^−λX1, e^−λX2....e^−λXn)

Exercice 15 : Soit(X_n)une suite de variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2, tel quelimE(X_n) = +∞et(^var(X_E(Xⁿ⁾

n))soit une suite bornée. Montrer que _E(X^Xn

n)converge vers 1 en probabilité (on pourra commen- cer par chercher un autre type de convergence).

Exercice 16 : Soit(X_k)une suite de variables aléatoires indépendantes centrées telle que var(X_k) =σ² <1, on pose :

Y_k =

k

Y

i=1

Xi et Z_k= 1 k^α

k

X

j=1

Yj avecα >0

a) Étudier la variance deY_k, en déduire la convergence en probabilité de la suite(Y_k).

b) Même question pour la suite(Z_k).

Exercice 17 : (exam 2001) Soit(X_n)n∈Nune suite des variables aléatoires à valeur dans]0,+∞[, indépendantes, et suivant la même loi qu’une variable aléatoireX. On poseZn= (Qn

i=1Xi)^1/n. On suppose dans la suite queE(X)<∞etE(1/X)<∞.

1) Montrer queln(X)est une variable aléatoire de carré intégrable.

(Indication : on pourra utiliser l’inégalité|lnt| ≤ |√ t−p

1/t|, vraie pour toutt >0)

2) Soit(Yn)n∈Nune suite de variables aléatoires à valeur dans]0,+∞[. Montrer queYn−→m >0p.s.

ssiln(Yn)−→ln(m)p.s.

3) Montrer queZ_nconverge presque sûrement vers une constante.

(Indication : La loi forte des grands nombres s’applique, mais comment ?)

Rappelons que, d’après l’inégalité de Jensen,−∞ ≤E(f(X))≤f(E(X))≤+∞, lorsquef :R+ →Rest une fonction concave.

4) Montrer que l’espérance deZnest inférieure ou égale àE(X).

Exercice 18 : (examen 2000)

Soit0< θ <1et soitX1, X2, X3, . . .une suite des variables aléatoires ayant la même espérancem∈R. On suppose de plus que les covariances vérifient

|Cov(X_n, Xm)| ≤θ^|n−m|, n, m= 1,2,3, . . . 1. SoitX, Y, Zdes variables aléatoires. Montrer que

Cov(X, Y +Z) =Cov(X, Y) +Cov(X, Z).

2. SoitSn=X1+· · ·+Xnles sommes partielles. Montrer que pour toutnetm:

|Cov(S_n, Xm)| ≤X

k∈Z

θ^|k|= 1 +θ 1−θ 3. Montrer que var(S_n)≤n(1 +θ)/(1−θ).

4. Montrer queS_n/nconverge en probabilité versm.

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilités 2001/2002

F8 : Vecteurs Gaussiens

Exercice 1 : SoientY etZdeux vecteurs gaussiens centrés de matrice de covarianceΓY etΓZetM une matrice :

Γ_Y =





5 2 0 2 2 0 0 0 1



 Γ_Z =





3 2 1 2 2 0 1 0 1



 M =





1 0 0

0 1 0

1 −1 0





a) Écrire les f.c. deY et deZ.

b)Y est-il absolument continu ? Si oui quelle est sa densité ? c) Quelle est la loi deM Y ?

d) Déterminer une matrice carréeAtelle queY =AXoùX∼ N(0, D)avecDune matrice diagonale.

e) Même question avecAorthogonale.

f)Z est-il absolument continu ?

g) Déterminer une matrice réelleBtelle queZ =BX oùX ∼ N(0, J)avecJ une matrice diagonale telle queJii∈ {0; 1}.

Exercice 2 : Soit X un v.a. gaussien centré de matrice de covariance Γ.On suppose que Γest inversible.

Montrer que ^tXΓ⁻¹X ∼ χ². (c’est la loi de la somme des carrés de k variables aléatoires indépendantes normales centrées réduites).

Exercice 3 : SoientX1, . . . , Xndes v.a. indépendantes suivant la loiN(0,1). Soient Y =

n

X

i=1

a_iX_i, Z =

n

X

i=1

b_iX_i Montrer queY etZsont indépendantes si et seulement siPn

i=1a_ib_i= 0.

Exercice 4 : SoitX = (X₁;X₂;....;X_n) un vecteur gaussien de matrice de covarianceΓ. Montrer queX₁ est indépendant de(X2;....;Xn)si et seulement siΓi1 = 0pour toutisupérieur ou égal à 2.

Exercice 5 : SoientX₁, . . . , X_ndes v.a. indépendantes suivant la loiN(a, σ²). Définissons X= 1

n

n

X

i=1

Xi, S² = 1 n−1

n

X

i=1

(Xi−X)² a) CalculerE(X).

b) Montrer queP

(Xi−X)² =P

(Xi−a)²−n(X−a)²en déduireE(S²).

c) PosonsY_i =X_i−X₁,i= 1, . . . , n.

1. Montrer queXest indépendante deY2, . . . , Yn. 2. Montrer queS²s’exprime en fonction desY2, . . . , Yn. 3. Déduire queS²etXsont indépendantes.

d) Vérifier que

(n−1)S² σ² +

X−a σ/√

n ²

=

n

X

i=1

Xi−a σ

2

. e) Montrer que :Pn

i=1(^Xi_σ^−a)²suit la loi duχ²_n, puis que(_σ/^X−a√_n)²suit la loi duχ²₁.

f) En admettant que la fonction caractéristique de la loi duχ²avecrdegrés de liberté est(^√_1−2ti¹ )^r. Montrer que ^(n−1)S_σ2 ² suit la loi duχ²avecn−1degrés de liberté.