TS Correction Test 5 (sur tm 2) 2012-2013
EXERCICE 1 Les questions1 et2 sont indépendantes 1. (a) On peut dresser l’arbre suivant :
R1 4 6
R2 4
6
N2 2
6
N1 2 6
R2 4
5
N2 1
5
On ap(R1∩R2) =p(R1)×pR1(R2) =4 6 ×4
6 =4 9.
(b) N2={N2∩R1;N2∩N1}doncp(N2) =pR1(N2)p(R1) +pN1(N2)p(N1) (formule des probabilités totales) p(N2) =4
6 ×2 6+2
6 ×1 5 =2
9 + 1
15 =10 + 3 45 =13
45. On apN2(R1) = p(N2∩R1)
p(N2) =p(R1∩N2) p(N2) =
4 6×26
13 45
=
2 9 13 45
= 2 9×45
13 =10 13.
2. (a) En situation d’équiprobabilité, la probabilité de tirer une boule rouge, sachant qu’il y a 4 rouges etnnoires pour un total de n+ 4 boules est égale à :
p= nbre de boules rouges nbre total de boules = 4
n+ 4. (b) La probabilité de tirer quatre boules rouges est égale àp(X = 4) = 44
4 n+ 4
4 n n+ 4
0
= 4
n+ 4 4
, donc l’évènement contraire, soit l’une au moins des boules est noire, a une probabilitéé deqn = 1−
4 n+ 4
4 . (c) On a qn > 0,9999 ⇐⇒ 1−
4 n+ 4
4
>0,9999 ⇐⇒ 0,0001>
4 n+ 4
4
⇐⇒ 0,1 > 4
n+ 4 ⇐⇒
0,1(n+ 4)>4 ⇐⇒ 0,1n+ 0,4>4 ⇐⇒ 0,1n>3,6 ⇐⇒ n>36.
(En faitq36= 0,9999).
EXERCICE 2 1. Limite de f en −∞: Pour tout x, f(x) = xex−1+ 1 = xex
e + 1 et lim
x→−∞xex = 0 donc par opération sur les limites (division par une constante positive et ajout de 1), lim
x→−∞f(x) = 1 La courbeCf admet une asymptote horizontale au voisinage de−∞d’équationy= 1.
2. Limite def en +∞: lim
x→+∞
x e = +∞
x→+∞lim ex= +∞
(produit)
x→+∞lim xex−1= +∞ et lim
x→+∞xex−1+ 1 = +∞
3. f =uev+ 1 où u:x7−→xet v :x7−→x−1 sont des fonctions dérivables sur R(ainsi que exp). On a donc, compte-tenu de la dérivée d’un produit,f′=u′ev+uv′ev.
Ce qui donne, pour toutx∈R,f′(x) = 1×ex−1+x×1×ex−1= (x+ 1)ex+1
4. Variations def surRet tableau de variation surR: comme ex−1>0 pour toutx, f′(x) est du signe dex+ 1.
On peut donc réaliser le tableau de variations directement : x
Signe dex+ 1 Signe def′(x)
Variations def
−∞ −1 +∞
− 0 +
− 0 +
1 1
−1 e2 + 1
−1 e2 + 1
+∞
+∞
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EXERCICE 3 :
On admet que la probabilité que Stéphane entende son réveil un jour de classe donné est 0,9.
Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois en classe.
On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants.
Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.
L’expérience consiste à répéter de façon indépendante cinq fois la même épreuve de Bernoulli, pour laquelle la probabilité du succès, c’est à dire que Stéphane entende son réveil, est 0,9.
En notantX la variable aléatoire comptant le nombre de jours où Stéphane entend son réveil ;X suit la loi binomiale B(5; 0,9).
p(X>4) =p(X = 4) +p(X = 5) = 54
×0,94×0,1 + 55
×0,95≈0,9185
EXERCICE 4 :
∀x∈R, f(x) = (x+ 2)(x2+ 4x−1)2.
On pose u : x 7−→ x2+ 4x−1 et on en déduit u′ : x 7−→ 2x+ 4 ou encore u′(x) = 2(x+ 2). De sorte que, f(x) = 1
2×2(x+ 2)(x2+ 4x−1)2 c’est à dire f =1 2u′u2. En consultant le tableau de primitives, u′u2 donne u3
3 +K (K réel) donc une primitive F de f est de la forme 1
2×u3 3 soit :
∀x∈R, F(x) = 1
6(x2+ 4x−1)3
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