(i) On consid` ere la suite de terme g´ en´ eral :

Option “Informatique et Math´ ematiques”

Quatri` eme feuille de TD : S´ eries, suites adjacentes

Exercice 1

(i) On consid` ere la suite de terme g´ en´ eral :

u n :=

n

X

k=0

1

k! = 1 + 1 + 1

2 + · · · + 1 n! · Autrement dit, u 0 := 1 et u n := u n−1 + 1

n! · Calculer les premiers termes de cette suite et montrer qu’elle est strictement croissante.

(ii) Montrer que n! ≥ 2 ⁿ⁻¹ lorsque n ≥ 2. En d´ eduire que la suite (u _n ) est major´ ee par 3, puis qu’elle converge ¹ .

(iii) On pose v n := u n + 1

n! · Calculer v n − u n et v n − v n−1 . Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. En d´ eduire une nouvelle preuve de la convergence de (u n ).

Exercice 2

(i) On consid` ere la suite de terme g´ en´ eral :

u _n :=

n

X

k=1

(−1) ^k−1

k = 1 − 1 2 + 1

3 + · · · + (−1) ⁿ⁻¹

n ·

Autrement dit, u ₁ := 1 et u _n := u n−1 + (−1) ⁿ⁻¹

n · Calculer les premiers termes de cette suite et montrer qu’elle n’est ni croissante ni d´ ecroissante.

(ii) On pose v p := u 2p et w p := u 2p+1 . Calculer v p −w _p , v p − v p−1 et w p − w p−1 . Montrer que les suites (v _p ) et (w _p ) sont adjacentes.

(iii) Montrer que v _p = H _2p − H _p (nombres harmoniques, cf. le TD 2) et en d´ eduire la limite commune des suites (v p ) et (w p ).

Exercice 3

(i) On consid` ere la suite de terme g´ en´ eral :

u _n :=

n

X

k=1

1

k ² = 1 + 1

4 + · · · + 1 n ² ·

1. On d´ emontre en analyse que sa limite est e.

1

Autrement dit, u ₁ := 1 et u _n := u n−1 + 1

n ² · Calculer les premiers termes de cette suite et montrer qu’elle est strictement croissante.

(ii) Montrer que 1

n ² < 1

n − 1 − 1

n lorsque n ≥ 2. En d´ eduire par r´ ecurrence ou t´ elescopage que u _n ≤ 2 − 1

n , puis que la suite converge ² . Exercice 4

(i) Le but de l’exercice est de d´ emontrer que la suite de terme g´ en´ eral : u _n := (n/e) ⁿ √

n n!

(d´ efinie pour n ≥ 1) converge ³ . Pour cela, on introduit la suite de terme g´ en´ eral : v n := ln(u n+1 /u n ). D´ emontrer l’´ egalit´ e :

v n =

n + 1 2

ln

1 + 1

n

− 1.

(ii) En ´ etudiant sur R ₊ les fonctions f (x) := ln(1 + x) − (x − x ² /2) et g(x) := ln(1 + x) − (x − x ² /2 + x ³ /3), d´ emontrer l’encadrement :

∀n ≥ 1 , 0 ≤ v _n ≤ 1

12n ² + 1

6n ³ ≤ 1 4n ² · (iii) En d´ eduire que la suite (u _n ) est croissante major´ ee et conclure.

Exercice 5

(i) Soient a, b des r´ eels tels que a > b > 0. On d´ efinit deux suites (u n ), (v n ) par les initialisations u ₀ := a, v ₀ := b et la relation de r´ ecurrence mutuelle :

∀n ≥ 0 , u _n+1 := u _n + v _n

2 et v _n+1 := √ u _n v _n . D´ emontrer que ces deux suites sont bien d´ efinies et pr´ eciser leurs signes.

(ii) D´ emontrer successivement que u _n > v _n pour tout n, que la suite (u _n ) est d´ ecroissante et que la suite (v n ) est croissante. Ces deux suites sont-elles adjacentes ?

(iii) D´ emontrer que ces deux suites convergent et que leurs limites sont ´ egales ⁴ . Les deux suites sont-elles adjacentes ?

2. Euler a d´ emontr´ e que sa limite est π

6 · 3. Sa limite est 1

√ 2π , ce que l’on exprime par la formule de Stirling : n! ∼ (n/e)

√ 2πn.

4. Leur limite commune est appel´ ee moyenne arithm´ etico-g´ eom´ etrique de a et b ; elle a ´ et´ e invent´ ee (ou d´ ecouverte ?) par Gauß.

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