D´emontrer que v est g´eom´etrique (on pr´ecisera la raison et le premier terme)

TES 6 Interrogation 6A : Correction 15 novembre 2017 Exercice 1 :

Soitula suite d´efinie pour tout entiernparun+1= ¹₂un+ 1 etu0= 5.

1. On pose v la suite d´efinie parvn=un−2. D´emontrer que v est g´eom´etrique (on pr´ecisera la raison et le premier terme).

Solution: v_n+1=u_n+1−2 = ¹₂u_n+ 1−2 = ¹₂u_n−1 = ¹₂(u_n−2) = ¹₂v_n v est donc g´eom´etrique de raison ¹₂ et de premier termev0=u0−2 = 3

2. En d´eduirevn, puisun en fonction den.

Solution:

On a doncv_n= 3× ¹₂n

et un=vn+ 2 = 3× ¹₂n

+ 2.

Exercice 2 :

Calculer la somme suivanteS = 1 + 2 + 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵+ 2⁶ (On se contentera de la formule).

Solution: S= 2⁷−1

2−1 = 2⁷−1.

Exercice 3 :

D´eterminer les limites suivantes : 1. lim

n→+∞2ⁿ 2. lim

n→+∞5×0,5ⁿ+ 50

Solution:

1. 2>1 donc lim

n→+∞2ⁿ = +∞

2. 0<0,5<1 donc lim

n→+∞0,5ⁿ= +∞et lim

n→+∞5×0,5ⁿ+ 50 = 50