(1) un= 2×3n (2) vn= 5−3n (3) wn=n2−2 Solution: (1) (un) est g´eom´etrique de raison 3 et premier terme 2

TS7 Interrogation 1A 10 septembre 2019 Exercice 1 :

On se donne 3 suites (u_n), (v_n) et (w_n). Conjecturer la nature de chaque suite (en pr´ecisant premiers termes et raisons (si elles existent)) puis justifier cette conjecture.

(1) u_n= 2×3ⁿ (2) v_n= 5−3n (3) w_n=n²−2

Solution:

(1) (u_n) est g´eom´etrique de raison 3 et premier terme 2. On le justifie en remarquant que pour tout entier natureln,un+1= 2×3ⁿ⁺¹ et 3un= 3×2×3ⁿ= 2×3ⁿ⁺¹ =un+1;

(2) (vn) est arithm´etique de raison−3 et premier terme 5. On le justifie en remarquant que pour tout entier natureln,vn+1−vn= 5−3n−3−5 + 3n=−3.

(3) (wn) n’est ni l’un ni l’autre. w0 =−2,w1=−1 et w2 = 2,w2−w16=w1−w0 et w2

w₁ 6= w1

w₀. Exercice 2 :

(1) On sait qu’une suitevest arithm´etique de raison 2 et telle quev0 = 3. Calculer

9

X

i=0

vi =v0+· · ·+v9

Solution: v₉ = 18 + 3 = 21 doncP9

i=0v_i = 10ײ¹⁺³₂ = 120

(2) On sait qu’une suitew est g´eom´etrique de raison 3 et telle que w₀ = 2.

Calculer

6

X

i=0

wi =w0+· · ·+w6

Solution:

6

X

i=0

wi=w0×3⁷−1

2 = 1093

(3) On sait qu’une suitex est arithm´etique de raison 5 et telle quex5= 15. En d´eduirex0.

Solution: Pour tout entier natureln,x_n=x₅+ 5(n−5) = 15 + 5n−25 = 5n−10, doncx₀ =−10 Exercice 3 :

Soit u la suite d´efinie pour tout entier nparun+1 = 3un−8 et u0 = 6.

(1) On posev la suite d´efinie parvn=un−4. D´emontrer quev est g´eom´etrique. Pr´eciser la raison et le premier terme.

Solution: vn+1=un+1−4 = 3un−8−4 = 3un−12 = 3(un−4) = 3vn

v est donc g´eom´etrique de raison 3 et de premier termev0=u0−4 = 2 donc vn= 2×3ⁿ (2) En d´eduire v_n en fonction de n. puis u_n en fonction de n.

Solution:

un=vn+ 4 = 2×3ⁿ+ 4.