1`ere S 11 DST 4 Correction 12 d´ecembre 2014
Exercice 1 : ´Equations et In´equations (4 points) R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes.
(E1) : S={0; 2} (E2) : S ={−12; 5} (I1) :S =]−12; 2[
Exercice 2 : Questions de cours (4 points)
(1)
n
X
k=0
uk= (n+ 1)u0+un 2 (2) Voir le cours
(3)
20
X
k=0
(2k+ 5) = 215 + 2×20 + 5
2 = 21×(5 + 20) = 525
Exercice 3 : Quelques exercices techniques (4 points) (1) a. un= 5 + 3(n−3)
b.
25
X
k=3
uk= 23×5 + 71 2 = 874
(2) Soit (vn) une suite g´eom´etrique de raison 2 tel que v5 = 5 a. vn= 5×2n−5
b.
15
X
k=5
vk= 5211−1
1 = 10235
Exercice 4 : ´Etude d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique (6 points) Partie A : ´etude de la suite
(1) u1 = 34 + 3 = 154,u2= 1516 + 3 = 6316 etu3 = 25564.
u2 −u1 = 163 et u1 −u0 = 34, la progression n’est donc par lin´eaire, la suite n’est pas arithm´etique.
u2
u1 = 2120 et uu1
0 = 54, la progression n’est pas g´eom´etrique, la suite n’est donc pas g´eom´etrique.
(2) On a
vn+1=un+1−4 = un
4 + 3−4 = vn+ 4
4 −1 = vn 4 .
(vn) est donc une suite g´eom´etrique de raison 14. (3) v0 =u0−4 = 3−4 =−1.vn=− 14n
, doncun=−(14)n+ 4.
Partie B : Calcul alg´ebrique des 100 premiers termes (1)
100
X
k=0
− 1
4 k
=−1−(14)101
3 4
= −4 + (14)100 3
(2)
100
X
k=0
uk=
100
X
k=0
vk+
100
X
k=0
400 = −4 + (14)100
3 + 4×101 = −4 + (14)100
3 + 404
Partie C : Calcul de la somme par algorithme U prend la valeur 3
S prend la valeurU PourI variant de 1 `a 100
U prend la valeuru/4 + 3 S prend la valeurS+U Fin Pour
Afficher le nombre S
Exercice 5 : Questions ouvertes (2 points)
(1) En calculant les premiers termes de v, on conjecture qu’elle est g´eom´etrique. Par calcul, on a :
vn+1 =un+2−un+1 = 52un+1−32un−un+1= 32(un+1−un) = 32vn, (vn) est donc une suite g´eom´etrique de raison−32
(2) On remarque que v0+v1 =u2−u0,v0+v1+v2 =u3−u0, etc. On a en fait
n
X
k=0
vk =un+1−u0. Donc
un=
n−1
X
k=0
vk+u0= (1−(−32)n)
5 2
+ 1 = 7−2(−32)n
5 .
