De la g´eom´etrie algorithmique au calcul g´eom´etrique

De la g´eom´etrie algorithmique au calcul g´eom´etrique

De la g´eom´etrie algorithmique au calcul g´eom´etrique

l’exemple de la

triangulation de Delaunay

De la g´eom´etrie algorithmique au calcul g´eom´etrique

l’exemple de la

triangulation de Delaunay

Robustesse

Exemple D

A <_x B <_x C<_x D B

C

A

Robustesse

C au dessus de AB

Exemple D

A <_x B <_x C<_x D B

C

A

Robustesse

C au dessus de AB D au dessus de BC

Exemple D

A <_x B <_x C<_x D B

C

A

Robustesse

C au dessus de AB D au dessus de BC donc D au dessus de AB

Exemple D

A <_x B <_x C<_x D B

C

A

Robustesse

C au dessus de AB D au dessus de BC donc D au dessus de AB mais l’´evaluation des pr´edicats donne le contraire

Exemple D

A <_x B <_x C<_x D B

C

A

Robustesse

Algorithmes g´eom´etriques

Mod`ele Real RAM

Algorithmes g´eom´etriques

Mod`ele Real RAM

On sait calculer avec des r´eels

Algorithmes g´eom´etriques

Mod`ele Real RAM

On sait calculer avec des r´eels

float, double

float, double

c’est pas des r´eels

erreurs d’arrondi float, double

c’est pas des r´eels

erreurs d’arrondi float, double

c’est pas des r´eels

Probl`eme

erreurs d’arrondi float, double

c’est pas des r´eels

Probl`eme

6= Inexactitudes

erreurs d’arrondi float, double

c’est pas des r´eels

Probl`eme

6= Inexactitudes

R´esultat combinatoire

R´esultat combinatoire

R´esultat combinatoire

R´esultat combinatoire

Pr´edicats R´esultat combinatoire

Pr´edicats R´esultat combinatoire

Pr´edicats

Comparaison Orientation R´esultat combinatoire

Pr´edicats R´esultat combinatoire

On a tendance `a utiliser la g´eom´etrie

On a tendance `a utiliser la g´eom´etrie

i.e. les th´eor`emes g´eom´etriques

dans les algorithmes

th´eor`eme g´eom´etrique utile aux algorithmes

p q

r v

ccw =⇒

qrvpqv

rpv pqr

th´eor`eme g´eom´etrique utile aux algorithmes

p q

r v

ccw =⇒

qrvpqv pqr ccw

th´eor`eme g´eom´etrique utile aux algorithmes

B₁ B₂

p ∈ B₂

p 6∈ B₁ =⇒ p

th´eor`eme g´eom´etrique utile aux algorithmes

B₁ B₂

p ∈ B₂

p 6∈ B =⇒ p

B⁰ ⊂ B₁ ∪ B₂

Insertion dans Delaunay

Insertion dans Delaunay

Insertion dans Delaunay

Insertion dans Delaunay

Insertion dans Delaunay

est forc´ement ´etoil´e

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

s e m

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

0.1 s e m

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

0.1

m

m s e

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

0.1

m

-1 m s

s

e

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

0.1

m

m s

s

e

e

−1024+

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

0.1

m

-1 m s

s

e

2⁻¹⁰²⁴⁺ e

nombres “normalis´es”

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

0.11010. . .01001 × 2^e

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

0.11010. . .01001 × 2^e

0.11010. . .01010 × 2^e

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

0.11010. . .01001 × 2^e

0.11010. . .01010 × 2^e

0.11010. . .01011 × 2^e

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

0.11111 . . .11111 × 2^e

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

0.11111 . . .11111 × 2^e 0.10000. . .00000 × 2^e+1

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

0.11111 . . .11111 × 2^e 0.10000. . .00000 × 2^e+1

0.10000 . . .00001 × 2^e+1

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres repr´esentables

0.11111 . . .11111 × 2^e

0.10000. . .00000 × 2^e+1

0.10000 . . .00001 × 2^e+1 0.10000. . .00010 × 2^e+1 0.10000 . . .00011 × 2^e+1

Rappels sur l’arithm´etique flottante Plus petit nombre repr´esentable

0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Plus petit nombre repr´esentable

0.10000. . .00000 ×2⁻¹⁰²⁴ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Plus petit nombre repr´esentable

0.10000. . .00000 ×2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00001 × 2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00010 × 2⁻¹⁰²⁴ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Plus petit nombre repr´esentable

0.11111. . .11111 × 2⁻¹⁰²⁴

0.10000. . .00000 ×2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00001 × 2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00010 × 2⁻¹⁰²⁴ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Plus petit nombre repr´esentable

0.11111. . .11111 × 2⁻¹⁰²⁴

0.10000. . .00000 ×2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00001 × 2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00010 × 2⁻¹⁰²⁴

0.10000. . .00000× 2⁻¹⁰²³ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Plus petit nombre repr´esentable

0.11111. . .11111 × 2⁻¹⁰²⁴

0.10000. . .00000 ×2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00001 × 2⁻¹⁰²⁴ 0.10000. . .00010 × 2⁻¹⁰²⁴

0.10000. . .00000× 2⁻¹⁰²³ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres d´enormalis´es

0.10000. . .00000 × 2⁻¹⁰²³ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres d´enormalis´es

0.10000. . .00000 × 2⁻¹⁰²³ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres d´enormalis´es

0.10000. . .00000 ×2⁻¹⁰²⁴

0.10000. . .00000 × 2⁻¹⁰²³ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres d´enormalis´es

0.10000. . .00000 × 2⁻¹⁰²³ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

0.001010. . .0110 ×2⁻¹⁰²⁴

0.11111. . .1111 × 2⁻¹⁰²⁴ 0.00000. . .0001 × 2⁻¹⁰²⁴

Rappels sur l’arithm´etique flottante Nombres d´enormalis´es

0.10000. . .00000 × 2⁻¹⁰²³ 0.00000. . .00000 × 2⁻¹⁰²⁴

0.001010. . .0110 ×2⁻¹⁰²⁴

0.00000. . .0001 × 2⁻¹⁰²⁴

53 bits (1+52)

52 bits

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

0.1

m

-1 m s

s

e

2⁻¹⁰²⁴⁺ e

nombres “normalis´es”

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

64 bits

1 11 52

0.

m

-1 m s

s

00000000000

2⁻¹⁰²⁴

Norme IEEE 754

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

Nombres repr´esentables

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

a*b

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

a*b

valeur exacte

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

a*b

au plus proche

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

a*b

par d´efaut

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

a*b

par exc´es

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

a*b

vers 0

Rappels sur l’arithm´etique flottante R`egles d’arrondi

a+b a-b

a*b a/b

sqrt(a) 4 op´erations et racine carr´ee

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

mod`ele jouet

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires 2 chiffres d´ecimaux significatifs

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

mod`ele jouet

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires 2 chiffres d´ecimaux significatifs

35 + 3.7 =

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

mod`ele jouet

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires 2 chiffres d´ecimaux significatifs

35 + 3.7 = 39

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

mod`ele jouet

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires 2 chiffres d´ecimaux significatifs

35 + 3.7 = 39

35 + 3.3 + 0.4 =

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

mod`ele jouet

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires 2 chiffres d´ecimaux significatifs

35 + 3.7 = 39

35 + 3.3 + 0.4 = 38

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

mod`ele jouet

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires 2 chiffres d´ecimaux significatifs

35 + 3.7 = 39

35 + 3.3 + 0.4 = 38

Rappels sur l’arithm´etique flottante double

float

mod`ele jouet

53 chiffres binaires 24 chiffres binaires 2 chiffres d´ecimaux significatifs

35 + 3.7 = 39

35 + 3.3 + 0.4 = 38 35 + (3.3 + 0.4) = 39

Pr´edicats

Pr´edicat d’orientation

x_q − x_p x_r − x_p

p

q

r

− p

q r 0

p r

+

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

mod`ele jouet

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

mod`ele jouet

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

exact mod`ele jouet

112

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

494 ∗ 68 − 186 ∗ 180

mod`ele jouet

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

490 ∗ 68 − 190 ∗ 180 494 ∗ 68 − 186 ∗ 180

mod`ele jouet

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

490 ∗ 68 − 190 ∗ 180

= 33320 − 34200 494 ∗ 68 − 186 ∗ 180

mod`ele jouet

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

490 ∗ 68 − 190 ∗ 180

= 33320 − 34200

= 33000 − 34000 494 ∗ 68 − 186 ∗ 180

mod`ele jouet

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

490 ∗ 68 − 190 ∗ 180

= 33320 − 34200

= 33000 − 34000 494 ∗ 68 − 186 ∗ 180

mod`ele jouet

(400 + 94) ∗ 68 − (92 + 94) ∗ 180 =

(400, 180) (92, 68)

(−94,0) p

q r

490 ∗ 68 − 190 ∗ 180

= 33320 − 34200

= −1000

= 33000 − 34000

exact

494 ∗ 68 − 186 ∗ 180

mod`ele jouet

112

th´eor`eme g´eom´etrique utile aux algorithmes

p q

r v

ccw =⇒

pqvqrv pqr

th´eor`eme g´eom´etrique utile aux algorithmes

p q

r v

ccw =⇒

pqvqrv

rpv pqr ccw

mod`ele jouet

mod`ele jouet

C¸ a fait planter les th´eor`emes

mod`ele jouet

(400,180) (92,68)

(−94, 0) p

q r

(−5, 34) v

mod`ele jouet

(400,180) (92,68)

(−94, 0) p

q r

(−5, 34) v

pqv ccw qrvrpv

mod`ele jouet

(400,180) (92,68)

(−94, 0) p

q r

(−5, 34) v

ccw =⇒

pqvqrv

rpv pqr ccw

mod`ele jouet

(400,180) (92,68)

(−94, 0) p

q r

(−5, 34) v

ccw =⇒

pqvqrv

rpv pqr ccw

calcul “jouet”

mod`ele jouet

(400,180) (92,68)

(−94, 0) p

q r

(−5, 34) v

ccw =⇒

pqvqrv

rpv pqr ccw

C¸ a fait planter les th´eor`emes

mod`ele jouet

mod`ele jouet

C¸ a fait planter les algorithmes

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

t0 v

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

while triangle 6= t0

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v

q

p

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

while triangle 6= t0

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v

q

p

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v

q

p

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

while triangle 6= t0

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v q

p

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v q

p

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

while triangle 6= t0

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v q

p

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

q

p

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

q

while triangle 6= t0

p

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v

mod`ele jouet

tourner autour d’un sommet

do

q

p

t0

let vpq ccw triangle

go to neighbor through qv

v C¸ a boucle

mod`ele jouet

C¸ a fait planter les algorithmes

Marche par visibilit´e dans Delaunay mod`ele jouet

¸ca boucle mod`ele jouet

C¸ a fait planter les algorithmes

¸ca boucle mod`ele jouet

C¸ a fait planter les algorithmes

Marche par visibilit´e

¸ca boucle mod`ele jouet

C¸ a fait planter les algorithmes

Marche par visibilit´e

mˆeme dans Delaunay

Solution 1

Solution 1

Oublions quelques

mill´enaires de g´eom´etrie

Solution 1

Oublions quelques

mill´enaires de g´eom´etrie

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes

Insertion dans Delaunay

Insertion dans Delaunay

Insertion dans Delaunay

est forc´ement ´etoil´e

Insertion dans Delaunay

avec calcul arrondi

Insertion dans Delaunay

n’est pas forc´ement ´etoil´e avec calcul arrondi

Insertion dans Delaunay

avec calcul arrondi

Insertion dans Delaunay

n’est pas forc´ement ´etoil´e avec calcul arrondi

Insertion dans Delaunay

avec calcul arrondi

Incoh´erence combinatoire

Solution 1

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes

Solution 1

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes V´erifions la coh´erence combinatoire

Solution 1

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes V´erifions la coh´erence combinatoire

Solution 1

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes V´erifions la coh´erence combinatoire

Solution 1

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes V´erifions la coh´erence combinatoire

Incorrect

Solution 1

En v´erifiant la coh´erence combinatoire

Solution 1

En v´erifiant la coh´erence combinatoire On obtient au mieux

une correction combinatoire

Solution 1

En v´erifiant la coh´erence combinatoire On obtient au mieux

une correction combinatoire ce qu’on calcule est

combinatoirement

une triangulation

ce qu’on calcule est combinatoirement une triangulation

ce qu’on calcule est combinatoirement une triangulation le plongement peut avoir des intersections

ce qu’on calcule est combinatoirement une triangulation le plongement peut avoir des intersections

ce qu’on calcule est combinatoirement une triangulation le plongement peut avoir des intersections

c’est pas Delaunay

ce qu’on calcule est combinatoirement une triangulation le plongement peut avoir des intersections

c’est pas Delaunay

On v´erifie que l’on a

combinatoirement

une triangulation

On v´erifie que l’on a

combinatoirement

une triangulation Peut-ˆetre que c’est

pas Delaunay combinatoirement

On v´erifie que l’on a

combinatoirement

une triangulation Peut-ˆetre que c’est

pas Delaunay combinatoirement

Solution 1

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes V´erifions la coh´erence combinatoire

Solution 1

Concevons les algorithmes sans th´eor`emes V´erifions la coh´erence combinatoire

peu (plus) utilis´e

Solution 2

Concevons les algorithmes avec th´eor`emes

Faisons comme si on savait calculer sur les r´eels

Solution 2

Concevons les algorithmes avec th´eor`emes

Faisons comme si on savait calculer sur les r´eels

On a un sous-ensemble manipulable des r´eels

par ex: les rationnels

Solution 2

Concevons les algorithmes avec th´eor`emes

Faisons comme si on savait calculer sur les r´eels

On a un sous-ensemble manipulable des r´eels

par ex: les rationnels alg´ebriques ?

Solution 2

Concevons les algorithmes avec th´eor`emes

Faisons comme si on savait calculer sur les r´eels

On a un sous-ensemble manipulable des r´eels

par ex: les rationnels alg´ebriques ?

Pr´edicats versus constructions

Pr´edicats versus constructions

Pr´edicat

test cocircularit´e

Pr´edicats versus constructions

Pr´edicat

test cocircularit´e

D´ecision (imm´ediate)

Pr´edicats versus constructions

Construction

centre cercle circonscrit

Pr´edicats versus constructions

Construction

centre cercle circonscrit

(d´ecision ult´erieure) Nouvel objet r´eutilisable

Pr´edicats versus constructions

Algorithmes avec constructions Pr´edicats versus constructions

Algorithmes avec pr´edicats Pr´edicats versus constructions

Algorithmes avec pr´edicats Calcul exact

Algorithmes avec pr´edicats Calcul exact

n´ecessaire

Algorithmes avec pr´edicats Calcul exact

Paradigme du calcul exact

Algorithmes avec pr´edicats

Paradigme du calcul exact

R´epondre exactement aux pr´edicats mais pas forc´ement du calcul exact

Algorithmes avec pr´edicats

Paradigme du calcul exact

R´epondre exactement aux pr´edicats mais pas forc´ement du calcul exact

test cocircularit´e

Algorithmes avec pr´edicats

Paradigme du calcul exact

R´epondre exactement aux pr´edicats mais pas forc´ement du calcul exact

test cocircularit´e

calcul exact superflu

Algorithmes avec pr´edicats

Paradigme du calcul exact

R´epondre exactement aux pr´edicats mais pas forc´ement du calcul exact

test cocircularit´e

calcul exact n´ecessaire

calcul exact n´ecessaire

pour la coh´erence des r´esultats

calcul exact n´ecessaire

pour la coh´erence des r´esultats pas pour l’exactitude

R´epondre exactement aux pr´edicats

R´epondre exactement aux pr´edicats Calcul exact

aire exacte

R´epondre exactement aux pr´edicats

Calcul exact

Calcul approch´e

aire exacte

aire approch´ee

R´epondre exactement aux pr´edicats

Calcul exact

Calcul approch´e certifi´e

aire exacte

aire approch´ee dont le signe est sur

R´epondre exactement aux pr´edicats

R´epondre exactement aux pr´edicats et si c’est pas sur

on peut se rabattre sur

R´epondre exactement aux pr´edicats

et si c’est pas sur

le calcul exact on peut se rabattre sur

Comment certifier un calcul approch´e ?

Comment certifier un calcul approch´e ?

calcul d’erreur x + y

Comment certifier un calcul approch´e ?

calcul d’erreur

x ⊕ y = x+y + erreur

Comment certifier un calcul approch´e ?

calcul d’erreur

x ⊕ y = x+y + erreur x + y exact

0.11010. . .010010101001 × 2^e

Comment certifier un calcul approch´e ?

calcul d’erreur

x ⊕ y = x+y + erreur IEEE 754

erreur ≤ |x+y|2⁻⁵⁴ x + y exact

x ⊕ y

0.11010. . .010010101001 × 2^e

53 bits

1

Filtre statique

exemple : pr´edicat d’orientation

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

p

q

r

−

Filtre statique

exemple : pr´edicat d’orientation

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

p

q

r

−

|x_?||y_?| ≤ M

Filtre statique

exemple : pr´edicat d’orientation

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

p

q

r

−

|x_?||y_?| ≤ M

|x_? − x_p| ≤ 2M

Filtre statique

exemple : pr´edicat d’orientation

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

p

q

r

−

|x_?||y_?| ≤ M

|x_? − x_p| ≤ 2M

erreur_x?−xp ≤ 2M2⁻⁵⁴ = 2⁻⁵³M

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

|x_?||y_?| ≤ M

|x_? − x_p| ≤ 2M

erreur_x?−xp ≤ 2M2⁻⁵⁴ = 2⁻⁵³M

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

|x_?||y_?| ≤ M

|x_? − x_p| ≤ 2M

erreur_x?−xp ≤ 2M2⁻⁵⁴ = 2⁻⁵³M

|(x_? − x_p)(y_? − y_p)| ≤ 4M²

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

|x_?||y_?| ≤ M

|x_? − x_p| ≤ 2M

erreur_x?−xp ≤ 2M2⁻⁵⁴ = 2⁻⁵³M

|(x_? − x_p)(y_? − y_p)| ≤ 4M²

erreur_{(x?−xp)(y?−yp)} ≤ 4M²2⁻⁵³ + 2(2M.2⁻⁵³M)

≤ 2⁻⁵⁰M²

|(x_? − x_p)(y_? − y_p)| ≤ 4M² erreur_(x

?−x_p)(y_?−y_p) ≤ 2⁻⁵⁰M²

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 8M²

|(x_? − x_p)(y_? − y_p)| ≤ 4M² erreur_(x

?−x_p)(y_?−y_p) ≤ 2⁻⁵⁰M²

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 8M²

|(x_? − x_p)(y_? − y_p)| ≤ 4M² erreur_(x

?−x_p)(y_?−y_p) ≤ 2⁻⁵⁰M²

erreur

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 8M²2⁻⁵³ + 2.2⁻⁵⁰M²

≤ 3.2⁻⁵⁰M²

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 8M²

erreur

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 3.2⁻⁵⁰M²

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 8M²

erreur

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 3.2⁻⁵⁰M²

si |valeur| ≥erreur

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 8M²

erreur

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 3.2⁻⁵⁰M²

si |valeur| ≥erreur

le pr´edicat est certifi´e

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 8M²

erreur

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

≤ 3.2⁻⁵⁰M²

si |valeur| ≥erreur

le pr´edicat est certifi´e sinon

calcul exact (entier)

Filtre statique Contre

Filtre statique

Hypoth`eses sur les donn´ees

Op´erations restreintes + − × √ Contre

Pour

Filtre statique

Hypoth`eses sur les donn´ees

Op´erations restreintes + − × √

Taux de succ´es correct Contre

Filtre statique

Hypoth`eses sur les donn´ees

Op´erations restreintes + − × √

Taux de succ´es correct

Tr`es rapide

Contre

Pour

Filtre statique

Hypoth`eses sur les donn´ees

Op´erations restreintes + − × √

Taux de succ´es correct

Tr`es rapide

Contre

erreur `a la main ?

Filtre dynamique