Chapitre 1 G´eom´etrie plane - m´etrique

G´ eom´ etrie plane - m´ etrique

1.1 Solutions des exercices

1.1.1 Produit scalaire

1) L’implication est fausse.

2) a) −→AI·−→AB = 0 b) −→AJ ·−→AB = 50 c) −JI→·−→AB =−50 d) −→AB·−→BA =−100 e) −→AB ·−→AA= 0 f) −→AJ·−→AC = 66 g) −IJ→·−−→BD =−42

5) a) −→u · −→v = 5 b) −→u · −→w =−2 c) −→u · −→u = 13 d) −→u ·(−→v +−→w) = 3 e) −→a ·−→b =−20

f) ||−→u||=√

13 g) ||−→v||=√

17 h) ||−→w||= 1 i) || − −→u||=√

13 j) ||−→u +−→v||=√

40 k) ||−→a||=√ 20 6) −→v = ^√1₁₇−→i −^√4₁₇−→j

7) Aire : ¹²⁵₂

8) a) −→BA·−−→BC =−4,24 b) −→AB·−−→BC = 4,24 c) −→AB·−→AC = 8,24 d) −→CA·−−→CB = 13,24 9) −→CA·−−→BC =−88

1.1.2 Applications du produit scalaire

1) d :−4x+ 5y−5 = 0

2) mAB : 4x+ 3y− ³⁷₂ = 0 3) ha :x+y−1 = 0

4) a) G(²₃;¹¹₃), H(−¹⁴³₁₆;⁸⁷₈), Ω(¹⁷⁵₃₂;₁₆¹) 5) P(²⁶₅;³₅)

6) A^′(7;−3) 7) 128,33^◦

8) α = 45^◦, β = 108,43^◦, γ = 26,57^◦ 9) 67,38^◦

10) axe des ordonn´ees : 45^◦, droite g : 30,96^◦ 11) 13

12) 1) P´erim`etre : 27,58

2) Longueur hauteur : 8,25 3) Aire : 35,5

13) E ={M(x;y)∈R² | 3x−4y−51 = 0 ou 3x−4y+ 29 = 0} 14) C₁(¹⁴⁰₁₁;⁹⁵₁₁), C₂(⁷⁰₁₁;¹³⁰₁₁)

15) Axes de sym´etries : a: 19x−399y−540 = 0 et a^′ : 189x+ 9y−2580 = 0 16) 1) bA: 2x+ 3y−6 = 0, bB : 8x−y−24 = 0, bC :x−2y−3 = 0

2) Ω(3; 0) 3) r= 4

1.1.3 Le cercle

1) 1) x²+y²−9 = 0

2) x²+y²−12x+ 16y = 0 2) x²+y²−2x−8y+ 9 = 0

3) 1) Ω(−3; 0), r = 5 2) Ω(−3; 4), r = 5

3) Ω(−3; 4), r = 3 4) −

5) − 6) Ω(⁹₄;−1),r = 3,17

b) g : [−3; 3] → [5; 2]

x 7→ y= 5 +√

36−x² 6) x²+y⁴−4x−8y+ 10 = 0

7) (x− ¹⁷⁵₃₂)²+ (y− ₁₆¹ )² = 65,16 8) (x−3)²+y² = 4

9) 1.1)

( x = 3 cos(t)

y = 3 sin(t) 1.2)

( x = 6 + 10 cos(t) y = −8 + 10 sin(t) 2)

( x = 1 +√

8 cos(t) y = 4 +√

8 sin(t) 10) t : 3x−4y+ 43 = 0

11) t1 : 2x+y−8 = 0, t2 :−x+ 2y−11 = 0 12) t1 : 2x+y−1 = 0, t2 : 2x+y+ 19 = 0 13) (x−1)²+ (y+ 1)² = 4

14) x²+y²−8x−4y−6 = 0

15) C₁ : (x−29)²+ (y+ 2)² = 800, C₂ : (x+ 6)²+ (y−3)² = 50 16) 1) Deux points d’intersection

2) I1(1;−5), I2(7; 3) 17) I(3; 1)

18) 1) Deux points d’intersection 2) I₁(−1;−1) ; I₂(−³5;−⁴5)

19) Pas de point d’intersection (c^′ `a l’int´erieur de c) 20) 1) P(0,72;−0,12)

2) P(−⁷₂;⁵₄) 21) 1) 79,7^◦

2) 18,42^◦ 26) 1) A l’int´erieur

2) Aire : 47,32

1.1.4 Coniques

3) 1) S₁(5; 0),S₂(−5; 0), S₃(0; 4), S₄(0;−4), F(3; 0), F^′(−3; 0), e= ³₅,d:x= ²⁵₃

2) S₁(¹⁵₂ ; 0), S₂(−¹⁵₂; 0), S₃(0;¹⁵₇),S₄(0;−¹⁵₇), F(⁴⁵₁₄^√5; 0), F^′(−⁴⁵₁₄^√5; 0), e= ^3√₇⁵, d:x= ^7√₂⁵

3) S₁(6;−1),S₂(0;−1),S₃(3;−1 +√

5), S₄(3;−1−√

5), F(5;−1), F^′(1;−1), e= ²₃,d:x= ¹⁵₂

4) S₁(1; 2),S₂(1;−6),S₃(4;−2), S₄(−2;−2), F(1;−2 +√

5),F^′(1;−2−√ 5), e= ^√₄⁵, d:y= ^16√₅⁵⁻¹⁰

4) ^115x2

3

+ ^115y2

7

= 1 5) ^(x−1)₄₅ ² + ^(y−2)₂₀ ² = 1 6) ^(x₁₀₀⁻⁵⁾² + ^(y+2)₆₄ ² = 1

7) Ellipse d’´equation ^x₁₆² +^y₄² = 1

10) 1) S1(12; 0),S2(−12; 0), F(13; 0), F^′(−13; 0), y= ₁₂⁵x, y=−₁₂⁵ x, e= ¹³₁₂, d:x= ¹⁴⁴₁₃

2) S1(2,41;−5),S2(−0,41;−5), F(3,06;−5),F^′(−1,06;−5), y= 1,06x−6,06, y=−1,06x−3,93, e= ^√₂^√17₂,d :x = ^4+√√₁₇¹⁷ 3) S1(−1; 1,86), S2(−1; 0,13), F(−1; 2,94), F^′(−1;−0,93),

y= ¹₂x+ ³₂, y=−¹₂x+¹₂, e =√

5, d:y= ³⁺²₂^√√₁₅¹⁵ 4) S₁(4; 4),S₂(−4;−4), F(4√

2; 4√

2),F^′(−4√

2;−4√ 2), y= 0, x= 0, e= ^√₂², d:x=−x+ 2√

2 11) ^(x−3)₁₆ ² − ^(y−2)9 ² = 1

12) ^(x−92)2

5 − ^(y−363)2

5

= 1 13) e= 1,26

14) xy = 6

15) Hyperbole d’´equation ^(x+2)₉ ² −^(y−₁₆¹⁾² = 1 et hyperbole d’´equation ^(y−₁₆¹⁾² − ^(x+2)₉ ² = 1 19) 1) S(0; 0), F(−1; 0), d :x= 1

2) S(1; 3), F(3; 3), d:x=−1 3) S(3;−1), F(3;¹₄), d:y=−⁹4

3) 16x²+ 9y²+ 24xy−32x−124y+ 116 = 0 21) (x−5)² =−8(y−9)

22) y = 5x²−7x−3

23) Longueur : ⁷₄ (pour x= ³₄)