Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee Objectifs chap. 1 g´eom´etrie
Objectifs : r´ ep´ etition de g´ eom´ etrie, g´ eom´ etrie (chap. 1)
A la fin de ce cours (et pour r´eussir l’´epreuve sur celui-ci), vous devriez ˆetre capable de : 1. D´efinir, illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire li´e au chapitre trait´e :
– point, droite, angle,
– polygone, sommet, cˆot´e, triangle, quadrilat`ere, m´ediane, m´ediatrice, bissec- trice, hauteur, bissectrice int´erieure, hypoth´enuse, cath`ete,
– angles oppos´ees par le sommet, angles correspondants, angles alternes-internes, angles alternes-externes, angles suppl´ementaires, angle inscrit, angle au centre, cercle de Thal`es,
– triangles semblables, cercle circonscrit, orthocentre, centre de gravit´e, cercle inscrit.
2. D´efinir les grandes classes de triangles (´equilat´eral, isoc`ele, rectangle) et de quadri- lat`eres (carr´e, losange, rhombo¨ıde, rectangle, parall´elogramme, trap`eze) et ´enoncer les propri´et´es principales des polygones appartenant `a chacune de ces classes.
3. Construire une m´ediane, une m´ediatrice, une bissectrice, une hauteur, un cercle cir- conscrit `a un triangle, un cercle inscrit `a un triangle et expliquer ces constructions.
4. Enoncer et illustrer les th´eor`emes : de Thal`es, sur les angles inscrits et au centre, sur l’intersection des m´ediatrices d’une triangle, sur l’intersection des hauteurs d’un triangle, sur l’intersection des m´edianes d’un triangle, sur l’intersection des bissec- trices d’un triangle, de la hauteur, d’Euclide et de Pythagore.
5. R´ealiser le dessin d’une figure g´eom´etrique en respectant un ´enonc´e de construction.
1) On trace un triangle ABC inscrit dans un cercle ; on dessine la hauteur [AH]et le diam`etre [AA′].
2) Construire un triangle ABC, connaissant a, ha (la longueur de la hauteur issue de A) et r (le rayon du cercle circonscrit au triangle).
6. D´emontrer un r´esultat (´egalit´e de longueurs, d’angles, . . . ) dans une situation g´eom´etrique donn´ee en utilisant les r´esultats ´enonc´es `a l’objectif 4.
1) Dans la situation construite en 5.1), montrer que : AB
·AC =AH
·2r, o`u r est le rayon du cercle.
7. Traduire l’´enonc´e d’un exercice ou d’un probl`eme en termes math´ematiques et le r´esoudre en utilisant des r´esultats de g´eom´etrie ´el´ementaire.
1) Soit un triangle inscrit dans un cercle de rayon 15. Un de ses cˆot´es passe par le centre du cercle. Un autre de ses cˆot´es a une longueur de 24. Quelle est la longueur du troisi`eme cˆot´e ?
R´eponse : 18
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