Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee Objectifs chap. 2 g´eom´etrie
Objectifs : trigonom´ etrie, g´ eom´ etrie (chap. 2)
A la fin de ce cours (et pour r´eussir l’´epreuve sur celui-ci), vous devriez ˆetre capable de : 1. D´efinir (´enoncer pour les th´eor`emes), illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire
li´e au chapitre trait´e :
– unit´es de mesure des angles (degr´e, radian), angle aigu, angle droit, angle ob- tus, angle plat, longueur d’un arc de cercle, aire d’un secteur circulaire, cercle trigonom´etrique, fonctions trigonom´etriques - sinus, cosinus, tangente et cotangente - (d´efinies par rapport au cercle trigonom´etrique ou au triangle rec- tangle), relations fondamentales entre cos(α), sin(α), tan(α) et cot(α), th´eor`eme du sinus, th´eor`eme du cosinus.
1) D´efinir le sinus et le cosinus d’un angle α en se basant sur le cercle trigo- nom´etrique.
2) Simplifier autant que possible, `a l’aide des relations fondamentales, l’expression suivante : cos(α)−cos3(α)
sin(α)−sin3(α)
2. Convertir en radians les angles donn´es par leur mesure en degr´es et vice-versa.
1) Convertir en degr´es les angles donn´es par leur mesure en radians et inversement.
a) 340◦ b) 124◦ c) π
8 d) 0.5
3. Calculer la longueur d’un arc de cercle et l’aire d’un secteur circulaire en connaissant le rayon et l’angle au centre.
1) Calculer, `a 1 mm pr`es, la longueur d’un arc a) de 32◦ sur un cercle de rayon 15 cm.
b) de 2 radians sur un cercle de rayon 7 cm.
4. Exprimer par cœur ou retrouver les valeurs exactes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente des angles : 0,π
6,π 4,π
3,π 2, π,3π
2 ,2π.
1) Compl´eter le tableau ci-dessous.
degr´es radians sin cos tan cot
0
30
45
60
90
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5. R´esoudre des triangles rectangles en utilisant les d´efinitions des rapports sinus, cosinus et tangente (dans un triangle rectangle).
1) Un triangle ABC est rectangle enC. R´esoudre ce triangle connaissant :b = 8.2, β = 20,7◦.
6. R´esoudre des triangles quelconques en utilisant les th´eor`emes du sinus et du cosinus.
1) R´esoudre un triangle ABC donn´e par : α = 26,77◦, γ = 87,39◦, c= 46,09.
7. Traduire l’´enonc´e d’un exercice ou d’un probl`eme en termes math´ematiques et le r´esoudre en utilisant les fonctions trigonom´etriques et les relations qui les lient, ainsi que les th´eor`emes s’y rapportant.
1) Un parc a la forme d’un hexagone r´egulier de 2km de cˆot´e. Alice marche le long du p´erim`etre du parc et parcourt 5km. A quelle distance (en ligne droite) de son point de d´epart (un des sommets de l’hexagone) se trouve-t-elle ?
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Solutions exercices objectifs
1.1) Le sinus et le cosinus d’un angle α sont d´efinis par :
x y
1 1
-1
-1 0
α P
M
sin(x)
cos(x)
SoitP(1; 0) sur le cercle trigonom´etrique. Soit encoreM l’image de P par une rotation de centre 0 et d’angleα.
On appellecosinus de αetsinus de αles coordonn´ees du point M.
On note : M(cos(α); sin(α)).
2.1) a) 17π
9 b) 31π
45 c) 22.5◦ d) 28,65◦
3.1) a) 84 mm b) 140 mm
4.1) Le tableau complet :
degr´es radians sin cos tan cot
0 0 0 1 0 −
30 π6 12 √23 √33 √
3
45 π4 √22 √22 1 1
60 π3 √23 12 √
3 √33
90 π2 1 0 − 0
5.1) α = 69.3◦, a= 21.70, c= 23.20 6.1) β = 65,84◦, a= 20,78, b = 42,10 7.1) √
13 = 3.606 km
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