Activit´e de math´ematiques
Un peu de g´eom´etrie... (partie 1)
Dans le Plan muni d’un rep`ere orthonormal di- rect (O,−→
i ,−→
j), on consid`ere deux vecteurs −→u
x
y
et
−
→v x′
y′
et on appelleθ l’angle orient´e entre le vecteur
−
→u et le vecteur −→v. −→u
−
→v
θ
d´eterminant des vecteurs −→u et −→v
det(−→u ,−→v) =||−→u|| × ||−→v|| ×sinθ=xy′−yx′
det(−→u ,−→v) = 0⇐⇒ −→u et−→v colin´eaires
produit scalaire des vecteurs −→u et −→v
−
→u .−→v =||−→u|| × ||−→v|| ×cosθ=xx′+yy′
−
→u .−→v = 0⇐⇒ −→u et−→v orthogonaux
Exercice 1
Dans le Plan muni d’un rep`ere orthonormal direct, on consid`ere les points A(1; 6),B(−4;−6) etC(4; 2).
1. Tracer le triangle ABC.
2. Calculer les coordonn´ees des vecteurs −−→
AB et−→
AC.
3. Calculer det(−−→ AB,−→
AC), en d´eduire la valeur exacte de sin(BAC\).
4. Calculer −−→ AB.−→
AC, en d´eduire la valeur exacte de cos(\BAC).
Exercice 2
Dans le Plan muni d’un rep`ere orthonormal direct, on consid`ere les points A(1;−3), B(4; 1) et C(−1; 0).
1. Faire une figure que l’on compl´etera au fur et `a mesure de l’exercice.
2. On appelle M(x;y) un point de la droite (AB).
(a) Calculer les coordonn´ees des vecteurs −−→
AB et−−→
AM.
(b) En utilisant le d´eterminant, d´eterminer une ´equation de la droite (AB).
3. On appelle M(x;y) un point de la droite perpendiculaire `a (AB) enA.
(a) Calculer les coordonn´ees des vecteurs −−→
AB et−−→
AM.
(b) En utilisant le produit scalaire, d´eterminer une ´equation de la droite perpendiculaire `a (AB) en A.
4. D´eterminer un ´equation de la droite parall`ele `a (AB) passant parC.
5. D´eterminer un ´equation de la droite perpendiculaire `a (AB) passant parC.
Probl` eme
On consid`ere un carr´e ABCD et on note I,J, K et L les milieux respectifs des cˆot´es [AB], [BC], [CD] et [AD]. On appelleP le point d’intersection des droites (CI) et (DJ),Qle point d’intersection des droites (DJ) et (AK),R le point d’intersection des droites (AK) et (BL) et S le point d’intersection des droites (BL) et (CI).
Le but de ce probl`eme est de d´emontrer que le quadrilat`ere P QRS est un carr´e dont l’aire est ´egale au cinqui`eme de celle du carr´e ABCD.
Dans tout le probl`eme, le plan est muni du rep`ere orthonormal (A,−−→
AB,−−→
AD).
1. Faire une figure.
2. D´eterminer les coordonn´ees des points A,B,C,D,I,J,K etL.
3. D´eterminer une ´equation de chacune des droites (AK), (BL), (CI) et (DJ).
4. En d´eduire les coordonn´ees des pointsP,Q,R etS.
5. Calculer les coordonn´ees des vecteurs −→
P S,−−→
QR et−−→
P Q.
6. En d´eduire la nature du quadrilat`ere P QRS et calculer son aire.
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