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ASI - M´ethodes num´eriques - Correction de l’examen m´edian - Novembre 2000
Exercice 1 Complexit´e 7 points
1. Quelle est la complexit´e du probl`eme du calcul du produit de deux matrices carr´ee de dimensionn.
O(n2)≤C≤ O(n2log7)
2. Quelle est la complexit´e du probl`eme du calcul du d´eterminant d’une matrice carr´ee de dimensionn.
O(n3)
3. Quelle est la complexit´e du probl`eme du calcul de l’inverse d’une ma- trice carr´ee de dimensionn. Pour calculerA−1l’inverse d’une matrice A, on d´ecompose A suivant la proc´edure LU pour ensuite calculer chaque colonnea−1i de la matrice en r´esolvant les deux syst`emes tri- angulaires :
Ly=eiU a−1i =y
la complexit´e est donc toujoursO(n3). C’est celle de la d´ecomposition LU puis la r´esolution de 2nsys`emes triangulaires.
4.
T(carree(n)) = 2T
carreen 2
+ 2
n
X
i=1
(2)
= 2T
carreen 2
+ 4n
= 4T
carreen 4
+ 4n+ 4n
= 4
log2n
X
k=1
n
= 4nlog2n
Exercice 2 Presque bon 5 points
1. La matrice A=
0 1 1 1 1 1 1 0 0
n’est pas inversible car ses lignes ne sont pas lin´eairement ind´ependantes (sa derni`ere ligne est egale `a la diff´erence des deux premi`eres lignes).
2.
0 1 1 | a
1 1 1 | b
1 0 ε | c
2
1 1 1 | b
0 1 1 | a
1 0 ε | c
1 1 1 | b
0 1 1 | a
0 1 1−ε | b−c
1 1 1 | b
0 1 1 | a
0 0 ε | a−b+c
la solution est donc, siε6= 0 :
x=b−a
y=a−a−b+c ε z=a−b+c
ε
Lorsque ε tend vers 0, la solution est z = 0, y = a, x = b−a, si a−b+c= 0.
3. z= 0, y= 1, x= 1, et ce pour toutε.
Exercice 3 les moindres carr´es 8 points
1.
J(a) = (y−Xa)0W(y−Xa)
X =
1 x1 ... xp−11 ... ...
1 xi ... xp−1i ... ... ... ...
1 xn ... xp−1n
dite matrice de “vandermonde”
y= (y1, y2, ..., yn)>
W est la matrice diagonale suivante :
W =
w1 0 0 0 ... 0 0 w2 0 0 ... 0 0 ... ... 0 ... 0 0 ... 0 wi ... 0 0 ... ... 0 ... 0
0 0 ... 0 0 wn
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2. La minimisation du cout J(A) est r´alis´e lorsque le gradient du cout s’annule, soit lorque :
∇J(a) = 0⇔ −X>W Y +X>W Xa= 0 d’ou :
B=X>W X
c=X>W y 3. function [a] = mmc(x,y,w,p)
%
W=diag(w);
X = [ ones(length(x),1)]
for j=1:p-1 X = [X x.^j];
end
B = X’*W*X;
c=X’*W*y;
a=B\c;
