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Probl` eme n

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n

7 du 10-03-2022

— Dur´ee : 4 heures —

Calculatrice interdite

Probl` eme n

o

1 – Faisceau gaussien

X MP 2020

Notations, formulaire et donn´ ees num´ eriques

La grandeur complexeX(t), associ´ee `a la grandeur r´eelleX(t) =ℜ(X(t)), harmonique de pulsationωest not´ee : X(t) =Xexp(−iωt)

o`uX pourra d´ependre de la pulsation.

Pour un champX(~r, t) de l’espace et du temps, la repr´esentation complexe est not´ee :~ X(~r, t) =~ X~(~r) exp(−iωt)

o`uX~(~r) pourra d´ependre de la pulsation. Nous ne ferons pas de distinction dans l’appellation d’une fonction entre X(~r, t) et~ X(~r) pour all´eger les notations. Les arguments de la repr´esentation complexe d’un champ~ permettront de pr´eciser les d´ependances dans les variables en fonction de la situation consid´er´ee.

Pour une onde plane progressive monochromatique, on ´ecrira : X~(~r, t) =X~0exp[i(~k·~r−ωt)]

o`u~kest le vecteur de l’onde et~r le vecteur position.

D´efinition :

Dans le contexte du probl`eme, on admettra qu’une fonctionF(x, z) pourra toujours se d´ecomposer de la mani`ere suivante :

F(x, z) = Z +∞

−∞

F˜(α, z) exp(iαx)dα

2π et F˜(α, z) = Z +∞

−∞

F(x, z) exp(−iαx)dx α∈R (1) Remarque 1 :

Les fonctionsF(x, z) et ˜F(α, z) seront toujours d´efinies dans des conditions qui permettent la convergence de l’int´egrale. On ne se pr´eoccupera aucunement de la convergence des int´egrales dans le probl`eme.

Remarque 2 :

Il sera toujours permis de permuter les op´erations de d´eriv´ee par rapport `axetzet les op´erations d’int´egration.

Par exemple, on pourra ´ecrire :

∂zF(x, z) = Z +∞

−∞

∂zF(α, z) exp(iαx)˜ dα 2π Propri´et´e 1 :

On a la propri´et´e suivante :

∀x,

Z +∞

−∞

F˜(α, z) exp(iαx)dα

2π = 0 ⇔ ∀α, F˜(α, z) = 0 Propri´et´e 2 :

Pour une fonction gaussienneF(x) =F0exp −x2

W02

, on a : F(α) =˜ F0W0

√πexp

−W02α2 4

(2)

Constante dePlanck h= 6,6×10−34J·s = 4,1×10−15eV· s Constante deBoltzmann kB = 1,4×10−23J·K−1

C´el´erit´e de la lumi`ere dans le vide c= 3×108m·s−1 Permittivit´e di´electrique du vide ε0= 8,9×10−12F·m−1 Perm´eabilit´e magn´etique du vide µ0= 4π×10−7H·m−1 Charge ´el´ementaire e= 1,9×10−19C Masse de l’´electron me= 9,1×10−31kg

A. Propagation et d´ ecomposition en ondes planes d’un champ ´ electrique

Dans une zone de l’espace, vide de charges et de courants, on consid`ere un champ ´electromagn´etique quelconque, d´ecrit de mani`ere g´en´erale par un champ ´electriqueE(M, t) =~ E(~r, t) et un champ magn´etique~ B(M, t) =~ B(~r, t),~ o`u~r d´esigne le vecteur position du pointM par rapport `a un r´ef´erentiel galil´eenR. `A ce r´ef´erentiel est associ´e un rep`ere cart´esien (Oxyz), o`u~ex,~ey et~ez sont les vecteurs unitaires de la base orthonormale du rep`ere.

Les trois premi`eres questions de ce probl`eme ne figuraient pas dans le sujet.

1.Rappeler les ´equations deMaxwelldans le vide pour le champ ´electriqueE~ et le champ magn´etiqueB.~ 2. Montrer que ces ´equations conduisent `a l’´equation de D’Alembert traduisant la propagation des ondes

´electromagn´etiques dans le vide :

∆E~ − 1 c2

2E~

∂t2 =~0

Cette ´equation est ´ecrite, ici, pour le champ ´electrique. La mˆeme ´equation pr´eside `a l’´evolution du champ magn´etique. En d´eduire l’expression de la c´el´erit´ecen fonction de ε0et µ0.

3.Montrer que pour un champ harmonique (ou monochromatique), de pulsationω,E(~r, t) =~ E(~r) exp(~ −iωt), l’´equation de D’Alembert pour E(~r, t) se r´eduit `~ a l’´equation dite de Helmholtz portant sur la grandeur E(~r) :

∆E(~r) +~ ω2

c2E(~r) =~ ~0

Dans la suite et afin de simplifier les calculs, on se limitera `a l’´etude d’une composante cart´esienne du vecteur champ ´electrique, que l’on repr´esentera par la grandeur scalaireE(~r, t) selon la direction (Oy) du rep`ere cart´esien (Oxyz). Lorsque la direction de polarisation du champ ´electrique sera diff´erente de (Oy), il sera fait explicitement mention de ce changement dans l’´enonc´e.

On consid´erera ´egalement un champ ´electrique dont la d´ependance spatiale est uniquement selon les coordonn´ees xetz, comme indiqu´e par l’expression suivante :

E(~r, t) =~ E(x, z, t)~ey =E(x, z) exp(−iωt)~ey

4.En reprenant l’´equation deHelmholtzportant sur ˜E(x, z), et en utilisant les formules de (1), montrer que la fonction ˜E(α, z) v´erifie l’´equation diff´erentielle suivante :

2

∂z2E(α, z) +˜ γ2E(α, z) = 0˜ avecγ2= ω2

c2 −α2,γpouvant ˆetre complexe.

5.A quelle condition sur` α, γ est-il r´eel ? On ´ecrit alors γ =γ avec γ >0. Donner l’expression g´en´erale de E(α, z). Dans quel cas,˜ γ est-il imaginaire pur ? On pose alorsγ=iδ avecδ >0. Donner l’expression g´en´erale de ˜E(α, z) dans ce cas.

On admet dans toute la suite du probl`eme que les conditions aux limites des diff´erentes situations physiques rencontr´ees permettront d’´ecrire : ˜E(α, z) =A(α) exp(iγz). Nous supposerons ´egalement que toutes les int´egrales de fonctions sont convergentes.

6.On suppose dans cette question que pour |α| ≥ω/c,A(α) = 0. Le champ ´electriqueE(x, z, t) s’´ecrit alors sous la forme int´egrale suivante :

E(x, z, t) = exp(−iωt) Z +ω/c

ω/c

A(α) exp[i(αx+γz)]dα 2π (2)

(3)

Interpr´etez physiquement la d´ecomposition du champ ´electriqueE(x, z, t). On s’attachera en particulier `a donner un sens physique au vecteurα~ex+γ~ez et `a la grandeur A(α).

7.Proposer une interpr´etation dans le cas o`uγ est imaginaire pur.

8.Dans le cas o`uγ est r´eel, montrer que : A(α) =

Z +∞

−∞

E(x, z= 0) exp(−iαx)dx

Dans la suite du probl`eme, on consid´erera γ r´eel et les bornes d’int´egration de l’int´egrale intervenant dans l’expression (2) pourront ˆetre prolong´ees en−∞et +∞.

B. ´ Etude de la limitation transversale d’un faisceau lumineux

Le formalisme pr´esent´e et ´etudi´e dans la partie pr´ec´edente est parfaitement adapt´e `a l’´etude d’un faisceau lumineux ou d’une onde ´electromagn´etique dont l’extension spatiale transversale `a la propagation est limit´ee.

Ce formalisme permet ´egalement de d´ecrire les modifications de la structure d’un faisceau ou les ph´enom`enes physiques apparaissant lorsqu’une onde ´electromagn´etique rencontre un obstacle au cours de sa propagation.

On consid`ere, dans cette partie, un ´ecran opaque plac´e dans le planz= 0 dans lequel une ouverture rectangulaire (O) a ´et´e r´ealis´ee. cette ouverture (O) est de grande dimension dans la direction (Oy), centr´ee enx= 0 et de largeur W0 dans la direction (Ox). On pourra consid´erer dans la suite que cette ouverture est assimilable `a une fente infinie selon (Oy) et de largeurW0 selon (Ox). L’ouverture (O) est ´eclair´ee en totalit´e par une onde incidente plane progressive monochromatique d’amplitudeE0, provenant de la r´egion de l’espace situ´ee dans le demi-espacez <0 (voir la figure 1) :

E(z, t) =~ E(z, t)~ey=E0exp[i(kiz−ωt)]~ey

avec ~ki = ω/c ~ez = 2π/λ ~ez le vecteur d’onde de l’onde incidente. La longueur d’onde utilis´ee pour l’onde incidente estλ= 600 nm. La largeurW0 de l’ouverture est de quelques microm`etres.

z

b

O

opaque´ Ecran b

~ez

~ex

~ey

W0

b ~ki

E~ =E(z, t)~ey

Figure1 – Onde incidente sur l’ouverture (O)

9.Rappeler quel crit`ere quantitatif permet de se placer dans le cadre de l’approximation de l’optique g´eom´e- trique. En raisonnant sur des grandeurs caract´eristiques, cette approximation est-elle applicable dans la situation physique ´enonc´ee ci-dessus ? Quel ph´enom`ene physique pourrait ˆetre mis en ´evidence par le dispositif sch´ematis´e sur la figure 1 ?

Dans le demi-espacez >0, situ´e en aval de l’ouverture O, le champ ´electrique en un pointM de coordonn´ees (x,0z), not´eE(x, z, t), est de mˆeme pulsationω que l’onde incidente. La repr´esentation complexe de ce champ E(x, z, t) peut s’´ecrire comme une superposition d’ondes planes progressives harmoniques d’amplitude A(α), conform´ement `a l’expression (2). On limite notre ´etude au plany= 0 au regard de l’invariance de l’ouverture (O) par rapport `a l’axe (Oy).

10.D´eterminer l’expression deA(α) en fonction deE0,αetW0. Repr´esenter graphiquementA(α) en fonction deα.

11. A partir de l’expression du vecteur d’onde` ~k d’une onde ´el´ementaire dans le rep`ere (Oxyz) et de la repr´esentation graphique deA(α), identifier les directions dans lesquelles on observe un extremum deA(α) et des annulations deA(α). On pourra introduire l’angleθd´efini par tanθ=α/γ. ´Etablir la relation entre sinθ,λ

(4)

et W0 pour la premi`ere annulation. Par souci de simplicit´e, on supposera par la suite que|θ|est suffisamment petit pour avoir tanθ≃sinθ≃θ.

12.En consid´erant des rayons lumineux parall`eles `a l’axe (Oz) et des rayons parall`eles entre eux, inclin´es d’un angle quelconque par rapport `a ce mˆeme axe, pr´eciser comment une lentille convergente transforme une onde plane incidente dans son plan focal image. En d´eduire ce que l’on observe avec un capteur optique dans le plan focal image d’une lentille mince convergente (L) de distance focale imagef, plac´ee apr`es l’ouverture (O).

13.Dans la configuration de la question pr´ec´edente, d´eterminer la distance ∆xentre l’image correspondant au maximum global et l’image correspondant au premier z´ero de A(α), dans le plan focal image de la lentille (L). Commenter l’´evolution de la tache lumineuse de largeur 2∆xsitu´ee au voisinage du point focal image de (L) lorsqu’on fait varier la largeurW0 de l’ouverture (O). D´eterminer la valeur num´erique de 2∆xde la tache lumineuse pourW0= 10µm etf = 200 mm.

C. Source laser et faisceau gaussien

Dans cette partie, on ´etudie la propagation dans le sens deszcroissants d’un faisceau lumineux issu d’une source laser. Le champ ´electrique mod´elisant ce faisceau est not´eE~L(x, z, t) = EL(x, z, t)~ey. En raison du caract`ere quasi-monochromatique d’une source laser, la d´ependance temporelle du champEL(x, z, t) est harmonique, de pulsation ω. On a doncEL(x, z, t) = EL(x, z) exp(−iωt). Le champ ´electrique d´ecrivant l’onde lumineuse est caract´eris´e dans le planz= 0 par une r´epartition gaussienne de son amplitude selon l’axe (Ox). On a ainsi :

EL(x, z= 0) =E0exp −x2

W02

Le faisceau lumineux d´ecrit par cette r´epartition d’amplitude de champ ´electrique poss`ede une extension lat´erale caract´eristiqueW0 tr`es grande devant la longueur d’onde r´eduite : W0 ≫ λ/2π. Ce faisceau est invariant par translation selonOy, il a donc la forme d’une nappe laser. Dans la suite de cette partie, on se placera dans le plany= 0.

14.A partir des r´esultats g´en´eraux ´etablis dans la premi`ere partie, concernant la propagation d’un paquet` d’ondes planes progressives et harmoniques, ´etablir l’expression int´egrale deE(x, z) dans le demi-espacez >0.

En d´eduire l’expression de A(α) dans ce cas. On rappelle que les grandeursαet γ sont reli´ees `a la norme du vecteur d’ondek de la mani`ere suivante :k222.

L’expression deA(α) permet d’obtenir, dans l’approximation paraxiale, la d´ependance spatiale du champ ´elec- trique d´ecrivant le faisceau. On admettra que l’amplitude du champ ´electrique EL(x, z) se met sous la forme suivante :

EL(x, z) =K(z) exp −x2

W2(z)

exp

ik x2 2R(z)

Les fonctions r´eelles,W(z) etR(z), et la fonction complexeK(z) ont pour expression :

W(z) =W0

s 1 + z2

zR2 R(z) =z

1 + zR2 z2

K(z) =E02√

πexp(ikz) v u u u t

1 2π

1 +i z

zR

La distancezR=πW02

λ = kW02

2 est appel´ee distance deRayleigh.

15. D´eterminer l’expression approch´ee de W(z) dans les limites z ≪ zR et z ≫ zR et tracer la courbe repr´esentant W en fonction de z. D´efinir et exprimer l’angle θ de divergence du faisceau laser. `A partir de cette expression, justifier que l’´evolution spatiale du faisceau laser met en ´evidence un ph´enom`ene physique d´ej`a rencontr´e pr´ec´edemment que l’on rappellera.

16.Donner `a une constante multiplicative pr`es l’expression de l’intensit´eIL(x, z) et en d´eduire que le faisceau a toujours un profil gaussien dans un planz= Cte. Tracer la r´epartition spatiale d’intensit´eIL(x, z) enz= 0 etz=zR.

17.Dans le cas o`uz v´erifie conjointement les conditionsz≫zR et z≫ |x|, montrer que le terme : exp(ikz) exp[ikx2/(2R(z))]

s’identifie au terme de la phase caract´eristique d’une onde sph´erique, dans le plany= 0 (en toute rigueur et au regard de l’invariance suivant (Oy) de la nappe laser, il s’agit d’une onde cylindrique). Que dire de la surface d’onde pourz≪zR? ´Evaluer num´eriquementzR pourW0= 100µm et pourW0= 1 mm.

(5)

D. Moment dipolaire d’un atome

Mod`ele d’atome : l’´electron ´elastiquement li´e

On s’int´eresse dans cette partie `a un ´electron dans un atome. Le mod`ele utilis´e date du tout d´ebut du XXe,

`a une ´epoque o`u l’´electron ´etait identifi´e comme un corpuscule mais o`u les noyaux atomiques n’avaient pas encore ´et´e mis en ´evidence. L’´electron est suppos´e ˆetre une particule ponctuelle de charge−e, situ´e dans une sph`ere de rayonR0, uniform´ement charg´ee positivement en volume et e charge totale +e. Le syst`eme compos´e de l’´electron associ´e `a la sph`ere constitue un mod`ele simplifi´e d’atome, repr´esent´e `a la figure 2. On consid´erera que le diam`etre 2R0de la sph`ere a pour valeur typique 2R0= 0,1 nm.

Bien que ce mod`ele classique puisse sembler `a l’heure actuelle tr`es na¨ıf, les r´esultats auxquels il m`ene se re- trouvent bien dans un traitement quantique de la mati`ere dans des conditions exp´erimentales usuelles, que nous supposerons respect´ees ici.

b b

O R0

+e

−e

~re

Figure2 – Mod`ele simplifi´e d’atome. La partie gris´ee repr´esente la charge +ed´elocalis´ee dans toute la sph`ere de rayonR0. L’´electron est repr´esent´e par une charge−eponctuelle, de vecteur position~re.

On appelle~rele vecteur position de l’´electron, d´efini par rapport au centreOde la sph`ere charg´ee positivement, dans le rep`ere cart´esien (Oxyz).

18.Montrer que la force ´electriqueF~el exerc´ee sur l’´electron peut s’´ecrire comme une force ´elastique lin´eaire, c’est-`a-dire F~el = −kel~re, avec kel la constante e raideur associ´ee. Introduire dans l’expression de kel une pulsation caract´eristiqueω0 dont on pr´ecisera l’expression en fonction des param`etres du mod`ele et dont on calculera un ordre de grandeur.

Etablissement du moment dipolaire de l’atome´

L’atome, d´ecrit par le mod`ele simplifi´e pr´esent´e pr´ec´edemment, est ´eclair´e par une onde plane monochromatique, repr´esent´ee par les champs ´electrique et magn´etique suivants, en un pointM quelconque de vecteur position~r: E(~r, t) =~ E(~r) exp(~ −iωt) =E~0expi(~k·~r−ωt) etB(~r, t) =~ B(~r) exp(~ −iωt) =B~0expi(~k·~r−ωt). La pulsationω de l’onde appartient `a la gamme visible du spectre ´electromagn´etique. On consid`ere que les amplitudesE(~r) et~ B(~r) de l’onde ´electromagn´etique peuvent ˆetre consid´er´ees comme uniformes `a l’´echelle de l’atome. On consid`ere~

´egalement que le d´eplacement du noyau soumis `a cette onde est n´egligeable par rapport `a celui de l’´electron.

Enfin, on suppose que l’´electron sollicit´e par l’onde ne peut atteindre des vitesse qui n´ecessiteraient de prendre en compte des effets relativistes.

Lorsque l’´electron est excit´e par l’onde ´electromagn´etique, celui-ci perd de l’´energie au cours de son d´eplacement sous forme de rayonnement. Nous mod´elisons ces pertes par une force de frottement visqueuxF~v =−meΓ ˙~re, o`u ˙~re d´esigne la d´eriv´ee par rapport au temps du vecteur position~re de l’´electron. On a de plus Γ≪ω0.

19. Justifier que les amplitudes E(~r) et~ B(~r) peuvent ˆetre effectivement consid´er´ees comme uniformes `~ a l’´echelle de l’atome.

20.Donner un argument pour justifier que le mouvement du noyau peut ˆetre n´eglig´e devant celui de l’´electron.

21.L’influence du champ magn´etique de l’onde sur l’´electron peut-elle ˆetre n´eglig´ee ?

(6)

22.Etablir l’´equation diff´erentielle `´ a laquelle ob´eit le vecteur position~re(t) de l’´electron.

23.On cherche la solution de cette ´equation en r´egime ´etabli (r´egime sinuso¨ıdal forc´e) sous la forme~re(t) =

~re,0exp(−iωt). D´eterminer l’expression de~re,0. En d´eduire l’expression du moment dipolaire d~at(t) =−e~re(t) associ´e `a l’atome soumis `a l’influence de l’onde ´electromagn´etique.

On notera que dans l’´etude de la diffusion de la lumi`ere du Soleil par l’atmosph`ere, c’est-`a-dire par les atomes et mol´ecules qui la composent, on utilise le mod`ele du rayonnement par un dipˆole ´electrique oscillant appartenant aux atomes ou aux mol´ecules qui constituent l’atmosph`ere. Cette th´eorie du rayonnement permet, entre autre, de comprendre l’origine de la couleur bleu du ciel.

Probl` eme n

o

2 – Traitement de surfaces par faisceau laser

Centrale PSI 2012

Le traitement de surfaces par faisceau laser s’est consid´erablement d´evelopp´e ces derni`eres d´ecennies et les applications de cette technique sont nombreuses et vari´ees. On peut citer par exemple le traitement de surface des m´etaux, le d´ecapage de peintures, de pierres, les applications li´ees au domaine m´edical (ophtalmologie, dermatologie). . . Le sujet propose une mod´elisation simplifi´ee des ph´enom`enes physiques mis en jeu.

Donn´ees : Formulaire

−→rot−→rot ~E=−−→graddivE~ −∆E~

Caract´eristiques de l’acier ´etudi´e

Temps moyen entre deux collisions des porteurs de charge τc = 8,00×10−15s Conductivit´e ´electrique statique γ0= 2,00×106S·m−1 Caract´eristiques du laser `a CO2

Longueur d’onde λ= 1,06×10−5m Intensit´e I0= 1,00×109W·m−2 Section du faisceau laser S= 10,0 mm2

Quelques constantes

Charge d’un ´electron −e=−1,6×10−19C

Permittivit´e du vide ε0= 1

36π109F·m−1 Vitesse de la lumi`ere dans le vide c= 3,00×108m·s−1

On consid`ere un milieu m´etallique conducteur lin´eaire isotrope homog`ene, non magn´etique. La conduction est assur´ee par des ´electrons, de massemet de charge−e. On notenla densit´e particulaire des ´electrons.

A. Conductivit´ e complexe du milieu m´ etallique

1.Les ´electrons mobiles, de vitesse~vsont soumis au champ ´electromagn´etique (E, ~~ B) issu du laser ainsi qu’`a une force d’amortissement visqueux f~v = −(m/τc)~v traduisant l’interaction des ´electrons avec le milieu. τc

correspond `a la dur´ee moyenne entre deux collisions de porteurs de charge. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique `a un ´electron dont on n´egligera le poids.

2.Simplifier, en le justifiant, cette relation dans le cas d’´electrons non relativistes. On fera l’hypoth`ese que la norme maximale du champ magn´etique dans le m´etal est peu diff´erente de celle dans le vide.

3.En d´eduire que la conductivit´e complexeγ du conducteur v´erifiant~j=γ ~E s’´ecrit γ=γ0/(1 +iωτc) o`uω repr´esente la pulsation du champ ´electromagn´etique et o`u~jest le vecteur complexe densit´e de courant volumique de courant. Exprimerγ0 en fonction den, e,metτc.

4.Dans le cas d’un laser `aCO2, montrer que l’on peut pas assimiler la conductivit´e complexe du conducteur

`

a sa conductivit´e statiqueγ0. ´Ecrireγsous la formeγ=γ−iγ′′et exprimerγ etγ′′en fonction deγ0,ωetτc. 5.D´eterminer l’´equation diff´erentielle complexe v´erifi´ee par la densit´e volumique de chargeρ.

6.Int´egrer l’´equation en prenant comme condition initialeρ=ρ0 `a t= 0 et montrer que la solution r´eelle se met sous la formeρ=ρ0exp−t/τd cosωdt. Exprimerτd etωd en fonction de γ0c,ω etε0.

7.Calculerτd et en d´eduire que l’on peut consid´erer le conducteur comme neutre ´electriquement dans le cas

(7)

du laser `aCO2.

8.Donner les ´equations deMaxwellen tenant compte de l’approximation pr´ec´edente.

9. Montrer, `a l’aide d’un calcul num´erique, qu’un terme peut ˆetre n´eglig´e dans l’´equation de Maxwell- Amp`ere.

10.D´eterminer l’´equation de propagation satisfaite par E.~

11. On recherche le champE~ sous la forme E~ = E~0expi(ωt−kz) = E0expi(ωt−kz+ϕ0)~ex o`u k est a priori complexe et o`u~ex est un vecteur unitaire dans une base cart´esienne. ´Etablir la relation de dispersion en fonction deγnotamment.

12.On note k=k−ik′′. Donner, en fonction dek et k′′, l’expression du champ ´electrique r´eel.

13.Quelle in´egalit´e doit v´erifier le produitkk′′pour que le milieu soit absorbant ? Montrer, en s’aidant de la relation de dispersion, que cette condition est satisfaite.

B. Aspect ´ energ´ etique

La r´esolution des ´equations deMaxwell donne le champ ´electromagn´etique suivant :





E~ =E0exp−k′′z cos(ωt−kz+ϕ0)~ex

B~ =E0

ω exp−k′′z (kcos(ωt−kz+ϕ0) +k′′sin(ωt−kz+ϕ0))~ey

On note par la suite n = n −in′′ l’indice complexe du milieu v´erifiant k = k0n = ω

cn, avec n l’indice de r´efraction du milieu etn′′l’indice d’extinction.

14.D´eterminer l’expression de l’intensit´e||< ~Π>t|| o`u<·>t d´esigne l’op´erateur moyenne temporelle et~Π le vecteur dePoynting. On noteraI0 l’intensit´e en z= 0.

15.En d´eduire que l’on peut faire intervenir une longueur caract´eristique d’absorption en intensit´eLa dont on donnera l’expression en fonction deω,cet n′′.

16.En faisant un bilan de puissance sur une tranche de conducteur comprise entre z et z+ dz, ´etablir en fonction deLa,I0 et z, l’expressionPv(z) de la puissance volumique absorb´ee par le conducteur.

On ´etudie le comportement de l’onde ´electromagn´etique ´emise par le laser `a l’interface air/milieu repr´esent´e

`a la figure 3. On note 1 le milieu air dont l’indice optique est assimil´e `a celui du vide : n1 = 1. Le milieu conducteur, not´e 2, a pour indice complexe n2 = n2−in′′2. On se limite au cas d’une onde incidente plane progressive monochromatique se propageant normalement `a la surface de discontinuit´e de milieuz= 0 : Ei= E0expi(ωt−k0z)~ex.

~k E~

z

b

x

milieu 2 milieu 1

y O

Figure 3 – R´eflexion d’une onde sous incidence normale

17.Rappeler les lois deDescartespour la r´eflexion et pour la transmission en pr´ecisant sur un sch´ema les notations utilis´ees. On tracera les rayons dans le cas d’un milieu 2 plus r´efringent que le milieu 1.

18.Dans le cas d’une incidence normale, comme ici, quelle est la cons´equence sur les directions de polarisation des ondes r´efl´echies et transmises ?

On peut montrer que le coefficient de r´eflexion en intensit´e :

R= ||< ~Πr(z= 0, t)>t||

||< ~Πi(z= 0, t)>t||

o`u||< ~Πr(z= 0, t)>t|| et ||< ~Πi(z= 0, t)>t|| sont respectivement les vecteurs dePoyntingdes ondes r´e- fl´echie et incidente vaut :

(8)

R= (1−n2)2+n′′22

(1 +n2)2+n′′22

19.En d´eduire l’expressionPv(z) de la puissance volumique absorb´ee par le conducteur, en fonction deLa, R, zet I0 intensit´e du laser.

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