Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n
◦7 du 10-03-2022
— Dur´ee : 4 heures —
Calculatrice interdite
Probl` eme n
o1 – Faisceau gaussien
X MP 2020Notations, formulaire et donn´ ees num´ eriques
La grandeur complexeX(t), associ´ee `a la grandeur r´eelleX(t) =ℜ(X(t)), harmonique de pulsationωest not´ee : X(t) =Xexp(−iωt)
o`uX pourra d´ependre de la pulsation.
Pour un champX(~r, t) de l’espace et du temps, la repr´esentation complexe est not´ee :~ X(~r, t) =~ X~(~r) exp(−iωt)
o`uX~(~r) pourra d´ependre de la pulsation. Nous ne ferons pas de distinction dans l’appellation d’une fonction entre X(~r, t) et~ X(~r) pour all´eger les notations. Les arguments de la repr´esentation complexe d’un champ~ permettront de pr´eciser les d´ependances dans les variables en fonction de la situation consid´er´ee.
Pour une onde plane progressive monochromatique, on ´ecrira : X~(~r, t) =X~0exp[i(~k·~r−ωt)]
o`u~kest le vecteur de l’onde et~r le vecteur position.
D´efinition :
Dans le contexte du probl`eme, on admettra qu’une fonctionF(x, z) pourra toujours se d´ecomposer de la mani`ere suivante :
F(x, z) = Z +∞
−∞
F˜(α, z) exp(iαx)dα
2π et F˜(α, z) = Z +∞
−∞
F(x, z) exp(−iαx)dx α∈R (1) Remarque 1 :
Les fonctionsF(x, z) et ˜F(α, z) seront toujours d´efinies dans des conditions qui permettent la convergence de l’int´egrale. On ne se pr´eoccupera aucunement de la convergence des int´egrales dans le probl`eme.
Remarque 2 :
Il sera toujours permis de permuter les op´erations de d´eriv´ee par rapport `axetzet les op´erations d’int´egration.
Par exemple, on pourra ´ecrire :
∂
∂zF(x, z) = Z +∞
−∞
∂
∂zF(α, z) exp(iαx)˜ dα 2π Propri´et´e 1 :
On a la propri´et´e suivante :
∀x,
Z +∞
−∞
F˜(α, z) exp(iαx)dα
2π = 0 ⇔ ∀α, F˜(α, z) = 0 Propri´et´e 2 :
Pour une fonction gaussienneF(x) =F0exp −x2
W02
, on a : F(α) =˜ F0W0
√πexp
−W02α2 4
Constante dePlanck h= 6,6×10−34J·s = 4,1×10−15eV· s Constante deBoltzmann kB = 1,4×10−23J·K−1
C´el´erit´e de la lumi`ere dans le vide c= 3×108m·s−1 Permittivit´e di´electrique du vide ε0= 8,9×10−12F·m−1 Perm´eabilit´e magn´etique du vide µ0= 4π×10−7H·m−1 Charge ´el´ementaire e= 1,9×10−19C Masse de l’´electron me= 9,1×10−31kg
A. Propagation et d´ ecomposition en ondes planes d’un champ ´ electrique
Dans une zone de l’espace, vide de charges et de courants, on consid`ere un champ ´electromagn´etique quelconque, d´ecrit de mani`ere g´en´erale par un champ ´electriqueE(M, t) =~ E(~r, t) et un champ magn´etique~ B(M, t) =~ B(~r, t),~ o`u~r d´esigne le vecteur position du pointM par rapport `a un r´ef´erentiel galil´eenR. `A ce r´ef´erentiel est associ´e un rep`ere cart´esien (Oxyz), o`u~ex,~ey et~ez sont les vecteurs unitaires de la base orthonormale du rep`ere.
Les trois premi`eres questions de ce probl`eme ne figuraient pas dans le sujet.
1.Rappeler les ´equations deMaxwelldans le vide pour le champ ´electriqueE~ et le champ magn´etiqueB.~ 2. Montrer que ces ´equations conduisent `a l’´equation de D’Alembert traduisant la propagation des ondes
´electromagn´etiques dans le vide :
∆E~ − 1 c2
∂2E~
∂t2 =~0
Cette ´equation est ´ecrite, ici, pour le champ ´electrique. La mˆeme ´equation pr´eside `a l’´evolution du champ magn´etique. En d´eduire l’expression de la c´el´erit´ecen fonction de ε0et µ0.
3.Montrer que pour un champ harmonique (ou monochromatique), de pulsationω,E(~r, t) =~ E(~r) exp(~ −iωt), l’´equation de D’Alembert pour E(~r, t) se r´eduit `~ a l’´equation dite de Helmholtz portant sur la grandeur E(~r) :
∆E(~r) +~ ω2
c2E(~r) =~ ~0
Dans la suite et afin de simplifier les calculs, on se limitera `a l’´etude d’une composante cart´esienne du vecteur champ ´electrique, que l’on repr´esentera par la grandeur scalaireE(~r, t) selon la direction (Oy) du rep`ere cart´esien (Oxyz). Lorsque la direction de polarisation du champ ´electrique sera diff´erente de (Oy), il sera fait explicitement mention de ce changement dans l’´enonc´e.
On consid´erera ´egalement un champ ´electrique dont la d´ependance spatiale est uniquement selon les coordonn´ees xetz, comme indiqu´e par l’expression suivante :
E(~r, t) =~ E(x, z, t)~ey =E(x, z) exp(−iωt)~ey
4.En reprenant l’´equation deHelmholtzportant sur ˜E(x, z), et en utilisant les formules de (1), montrer que la fonction ˜E(α, z) v´erifie l’´equation diff´erentielle suivante :
∂2
∂z2E(α, z) +˜ γ2E(α, z) = 0˜ avecγ2= ω2
c2 −α2,γpouvant ˆetre complexe.
5.A quelle condition sur` α, γ est-il r´eel ? On ´ecrit alors γ =γ avec γ >0. Donner l’expression g´en´erale de E(α, z). Dans quel cas,˜ γ est-il imaginaire pur ? On pose alorsγ=iδ avecδ >0. Donner l’expression g´en´erale de ˜E(α, z) dans ce cas.
On admet dans toute la suite du probl`eme que les conditions aux limites des diff´erentes situations physiques rencontr´ees permettront d’´ecrire : ˜E(α, z) =A(α) exp(iγz). Nous supposerons ´egalement que toutes les int´egrales de fonctions sont convergentes.
6.On suppose dans cette question que pour |α| ≥ω/c,A(α) = 0. Le champ ´electriqueE(x, z, t) s’´ecrit alors sous la forme int´egrale suivante :
E(x, z, t) = exp(−iωt) Z +ω/c
−ω/c
A(α) exp[i(αx+γz)]dα 2π (2)
Interpr´etez physiquement la d´ecomposition du champ ´electriqueE(x, z, t). On s’attachera en particulier `a donner un sens physique au vecteurα~ex+γ~ez et `a la grandeur A(α).
7.Proposer une interpr´etation dans le cas o`uγ est imaginaire pur.
8.Dans le cas o`uγ est r´eel, montrer que : A(α) =
Z +∞
−∞
E(x, z= 0) exp(−iαx)dx
Dans la suite du probl`eme, on consid´erera γ r´eel et les bornes d’int´egration de l’int´egrale intervenant dans l’expression (2) pourront ˆetre prolong´ees en−∞et +∞.
B. ´ Etude de la limitation transversale d’un faisceau lumineux
Le formalisme pr´esent´e et ´etudi´e dans la partie pr´ec´edente est parfaitement adapt´e `a l’´etude d’un faisceau lumineux ou d’une onde ´electromagn´etique dont l’extension spatiale transversale `a la propagation est limit´ee.
Ce formalisme permet ´egalement de d´ecrire les modifications de la structure d’un faisceau ou les ph´enom`enes physiques apparaissant lorsqu’une onde ´electromagn´etique rencontre un obstacle au cours de sa propagation.
On consid`ere, dans cette partie, un ´ecran opaque plac´e dans le planz= 0 dans lequel une ouverture rectangulaire (O) a ´et´e r´ealis´ee. cette ouverture (O) est de grande dimension dans la direction (Oy), centr´ee enx= 0 et de largeur W0 dans la direction (Ox). On pourra consid´erer dans la suite que cette ouverture est assimilable `a une fente infinie selon (Oy) et de largeurW0 selon (Ox). L’ouverture (O) est ´eclair´ee en totalit´e par une onde incidente plane progressive monochromatique d’amplitudeE0, provenant de la r´egion de l’espace situ´ee dans le demi-espacez <0 (voir la figure 1) :
E(z, t) =~ E(z, t)~ey=E0exp[i(kiz−ωt)]~ey
avec ~ki = ω/c ~ez = 2π/λ ~ez le vecteur d’onde de l’onde incidente. La longueur d’onde utilis´ee pour l’onde incidente estλ= 600 nm. La largeurW0 de l’ouverture est de quelques microm`etres.
z
b
O
opaque´ Ecran b
~ez
~ex
~ey
W0
b ~ki
E~ =E(z, t)~ey
Figure1 – Onde incidente sur l’ouverture (O)
9.Rappeler quel crit`ere quantitatif permet de se placer dans le cadre de l’approximation de l’optique g´eom´e- trique. En raisonnant sur des grandeurs caract´eristiques, cette approximation est-elle applicable dans la situation physique ´enonc´ee ci-dessus ? Quel ph´enom`ene physique pourrait ˆetre mis en ´evidence par le dispositif sch´ematis´e sur la figure 1 ?
Dans le demi-espacez >0, situ´e en aval de l’ouverture O, le champ ´electrique en un pointM de coordonn´ees (x,0z), not´eE(x, z, t), est de mˆeme pulsationω que l’onde incidente. La repr´esentation complexe de ce champ E(x, z, t) peut s’´ecrire comme une superposition d’ondes planes progressives harmoniques d’amplitude A(α), conform´ement `a l’expression (2). On limite notre ´etude au plany= 0 au regard de l’invariance de l’ouverture (O) par rapport `a l’axe (Oy).
10.D´eterminer l’expression deA(α) en fonction deE0,αetW0. Repr´esenter graphiquementA(α) en fonction deα.
11. A partir de l’expression du vecteur d’onde` ~k d’une onde ´el´ementaire dans le rep`ere (Oxyz) et de la repr´esentation graphique deA(α), identifier les directions dans lesquelles on observe un extremum deA(α) et des annulations deA(α). On pourra introduire l’angleθd´efini par tanθ=α/γ. ´Etablir la relation entre sinθ,λ
et W0 pour la premi`ere annulation. Par souci de simplicit´e, on supposera par la suite que|θ|est suffisamment petit pour avoir tanθ≃sinθ≃θ.
12.En consid´erant des rayons lumineux parall`eles `a l’axe (Oz) et des rayons parall`eles entre eux, inclin´es d’un angle quelconque par rapport `a ce mˆeme axe, pr´eciser comment une lentille convergente transforme une onde plane incidente dans son plan focal image. En d´eduire ce que l’on observe avec un capteur optique dans le plan focal image d’une lentille mince convergente (L) de distance focale imagef′, plac´ee apr`es l’ouverture (O).
13.Dans la configuration de la question pr´ec´edente, d´eterminer la distance ∆xentre l’image correspondant au maximum global et l’image correspondant au premier z´ero de A(α), dans le plan focal image de la lentille (L). Commenter l’´evolution de la tache lumineuse de largeur 2∆xsitu´ee au voisinage du point focal image de (L) lorsqu’on fait varier la largeurW0 de l’ouverture (O). D´eterminer la valeur num´erique de 2∆xde la tache lumineuse pourW0= 10µm etf′ = 200 mm.
C. Source laser et faisceau gaussien
Dans cette partie, on ´etudie la propagation dans le sens deszcroissants d’un faisceau lumineux issu d’une source laser. Le champ ´electrique mod´elisant ce faisceau est not´eE~L(x, z, t) = EL(x, z, t)~ey. En raison du caract`ere quasi-monochromatique d’une source laser, la d´ependance temporelle du champEL(x, z, t) est harmonique, de pulsation ω. On a doncEL(x, z, t) = EL(x, z) exp(−iωt). Le champ ´electrique d´ecrivant l’onde lumineuse est caract´eris´e dans le planz= 0 par une r´epartition gaussienne de son amplitude selon l’axe (Ox). On a ainsi :
EL(x, z= 0) =E0exp −x2
W02
Le faisceau lumineux d´ecrit par cette r´epartition d’amplitude de champ ´electrique poss`ede une extension lat´erale caract´eristiqueW0 tr`es grande devant la longueur d’onde r´eduite : W0 ≫ λ/2π. Ce faisceau est invariant par translation selonOy, il a donc la forme d’une nappe laser. Dans la suite de cette partie, on se placera dans le plany= 0.
14.A partir des r´esultats g´en´eraux ´etablis dans la premi`ere partie, concernant la propagation d’un paquet` d’ondes planes progressives et harmoniques, ´etablir l’expression int´egrale deE(x, z) dans le demi-espacez >0.
En d´eduire l’expression de A(α) dans ce cas. On rappelle que les grandeursαet γ sont reli´ees `a la norme du vecteur d’ondek de la mani`ere suivante :k2=α2+γ2.
L’expression deA(α) permet d’obtenir, dans l’approximation paraxiale, la d´ependance spatiale du champ ´elec- trique d´ecrivant le faisceau. On admettra que l’amplitude du champ ´electrique EL(x, z) se met sous la forme suivante :
EL(x, z) =K(z) exp −x2
W2(z)
exp
ik x2 2R(z)
Les fonctions r´eelles,W(z) etR(z), et la fonction complexeK(z) ont pour expression :
W(z) =W0
s 1 + z2
zR2 R(z) =z
1 + zR2 z2
K(z) =E02√
πexp(ikz) v u u u t
1 2π
1 +i z
zR
La distancezR=πW02
λ = kW02
2 est appel´ee distance deRayleigh.
15. D´eterminer l’expression approch´ee de W(z) dans les limites z ≪ zR et z ≫ zR et tracer la courbe repr´esentant W en fonction de z. D´efinir et exprimer l’angle θ de divergence du faisceau laser. `A partir de cette expression, justifier que l’´evolution spatiale du faisceau laser met en ´evidence un ph´enom`ene physique d´ej`a rencontr´e pr´ec´edemment que l’on rappellera.
16.Donner `a une constante multiplicative pr`es l’expression de l’intensit´eIL(x, z) et en d´eduire que le faisceau a toujours un profil gaussien dans un planz= Cte. Tracer la r´epartition spatiale d’intensit´eIL(x, z) enz= 0 etz=zR.
17.Dans le cas o`uz v´erifie conjointement les conditionsz≫zR et z≫ |x|, montrer que le terme : exp(ikz) exp[ikx2/(2R(z))]
s’identifie au terme de la phase caract´eristique d’une onde sph´erique, dans le plany= 0 (en toute rigueur et au regard de l’invariance suivant (Oy) de la nappe laser, il s’agit d’une onde cylindrique). Que dire de la surface d’onde pourz≪zR? ´Evaluer num´eriquementzR pourW0= 100µm et pourW0= 1 mm.
D. Moment dipolaire d’un atome
Mod`ele d’atome : l’´electron ´elastiquement li´e
On s’int´eresse dans cette partie `a un ´electron dans un atome. Le mod`ele utilis´e date du tout d´ebut du XXe,
`a une ´epoque o`u l’´electron ´etait identifi´e comme un corpuscule mais o`u les noyaux atomiques n’avaient pas encore ´et´e mis en ´evidence. L’´electron est suppos´e ˆetre une particule ponctuelle de charge−e, situ´e dans une sph`ere de rayonR0, uniform´ement charg´ee positivement en volume et e charge totale +e. Le syst`eme compos´e de l’´electron associ´e `a la sph`ere constitue un mod`ele simplifi´e d’atome, repr´esent´e `a la figure 2. On consid´erera que le diam`etre 2R0de la sph`ere a pour valeur typique 2R0= 0,1 nm.
Bien que ce mod`ele classique puisse sembler `a l’heure actuelle tr`es na¨ıf, les r´esultats auxquels il m`ene se re- trouvent bien dans un traitement quantique de la mati`ere dans des conditions exp´erimentales usuelles, que nous supposerons respect´ees ici.
b b
O R0
+e
−e
~re
Figure2 – Mod`ele simplifi´e d’atome. La partie gris´ee repr´esente la charge +ed´elocalis´ee dans toute la sph`ere de rayonR0. L’´electron est repr´esent´e par une charge−eponctuelle, de vecteur position~re.
On appelle~rele vecteur position de l’´electron, d´efini par rapport au centreOde la sph`ere charg´ee positivement, dans le rep`ere cart´esien (Oxyz).
18.Montrer que la force ´electriqueF~el exerc´ee sur l’´electron peut s’´ecrire comme une force ´elastique lin´eaire, c’est-`a-dire F~el = −kel~re, avec kel la constante e raideur associ´ee. Introduire dans l’expression de kel une pulsation caract´eristiqueω0 dont on pr´ecisera l’expression en fonction des param`etres du mod`ele et dont on calculera un ordre de grandeur.
Etablissement du moment dipolaire de l’atome´
L’atome, d´ecrit par le mod`ele simplifi´e pr´esent´e pr´ec´edemment, est ´eclair´e par une onde plane monochromatique, repr´esent´ee par les champs ´electrique et magn´etique suivants, en un pointM quelconque de vecteur position~r: E(~r, t) =~ E(~r) exp(~ −iωt) =E~0expi(~k·~r−ωt) etB(~r, t) =~ B(~r) exp(~ −iωt) =B~0expi(~k·~r−ωt). La pulsationω de l’onde appartient `a la gamme visible du spectre ´electromagn´etique. On consid`ere que les amplitudesE(~r) et~ B(~r) de l’onde ´electromagn´etique peuvent ˆetre consid´er´ees comme uniformes `a l’´echelle de l’atome. On consid`ere~
´egalement que le d´eplacement du noyau soumis `a cette onde est n´egligeable par rapport `a celui de l’´electron.
Enfin, on suppose que l’´electron sollicit´e par l’onde ne peut atteindre des vitesse qui n´ecessiteraient de prendre en compte des effets relativistes.
Lorsque l’´electron est excit´e par l’onde ´electromagn´etique, celui-ci perd de l’´energie au cours de son d´eplacement sous forme de rayonnement. Nous mod´elisons ces pertes par une force de frottement visqueuxF~v =−meΓ ˙~re, o`u ˙~re d´esigne la d´eriv´ee par rapport au temps du vecteur position~re de l’´electron. On a de plus Γ≪ω0.
19. Justifier que les amplitudes E(~r) et~ B(~r) peuvent ˆetre effectivement consid´er´ees comme uniformes `~ a l’´echelle de l’atome.
20.Donner un argument pour justifier que le mouvement du noyau peut ˆetre n´eglig´e devant celui de l’´electron.
21.L’influence du champ magn´etique de l’onde sur l’´electron peut-elle ˆetre n´eglig´ee ?
22.Etablir l’´equation diff´erentielle `´ a laquelle ob´eit le vecteur position~re(t) de l’´electron.
23.On cherche la solution de cette ´equation en r´egime ´etabli (r´egime sinuso¨ıdal forc´e) sous la forme~re(t) =
~re,0exp(−iωt). D´eterminer l’expression de~re,0. En d´eduire l’expression du moment dipolaire d~at(t) =−e~re(t) associ´e `a l’atome soumis `a l’influence de l’onde ´electromagn´etique.
On notera que dans l’´etude de la diffusion de la lumi`ere du Soleil par l’atmosph`ere, c’est-`a-dire par les atomes et mol´ecules qui la composent, on utilise le mod`ele du rayonnement par un dipˆole ´electrique oscillant appartenant aux atomes ou aux mol´ecules qui constituent l’atmosph`ere. Cette th´eorie du rayonnement permet, entre autre, de comprendre l’origine de la couleur bleu du ciel.
Probl` eme n
o2 – Traitement de surfaces par faisceau laser
Centrale PSI 2012Le traitement de surfaces par faisceau laser s’est consid´erablement d´evelopp´e ces derni`eres d´ecennies et les applications de cette technique sont nombreuses et vari´ees. On peut citer par exemple le traitement de surface des m´etaux, le d´ecapage de peintures, de pierres, les applications li´ees au domaine m´edical (ophtalmologie, dermatologie). . . Le sujet propose une mod´elisation simplifi´ee des ph´enom`enes physiques mis en jeu.
Donn´ees : Formulaire
−→rot−→rot ~E=−−→graddivE~ −∆E~
Caract´eristiques de l’acier ´etudi´e
Temps moyen entre deux collisions des porteurs de charge τc = 8,00×10−15s Conductivit´e ´electrique statique γ0= 2,00×106S·m−1 Caract´eristiques du laser `a CO2
Longueur d’onde λ= 1,06×10−5m Intensit´e I0= 1,00×109W·m−2 Section du faisceau laser S= 10,0 mm2
Quelques constantes
Charge d’un ´electron −e=−1,6×10−19C
Permittivit´e du vide ε0= 1
36π109F·m−1 Vitesse de la lumi`ere dans le vide c= 3,00×108m·s−1
On consid`ere un milieu m´etallique conducteur lin´eaire isotrope homog`ene, non magn´etique. La conduction est assur´ee par des ´electrons, de massemet de charge−e. On notenla densit´e particulaire des ´electrons.
A. Conductivit´ e complexe du milieu m´ etallique
1.Les ´electrons mobiles, de vitesse~vsont soumis au champ ´electromagn´etique (E, ~~ B) issu du laser ainsi qu’`a une force d’amortissement visqueux f~v = −(m/τc)~v traduisant l’interaction des ´electrons avec le milieu. τc
correspond `a la dur´ee moyenne entre deux collisions de porteurs de charge. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique `a un ´electron dont on n´egligera le poids.
2.Simplifier, en le justifiant, cette relation dans le cas d’´electrons non relativistes. On fera l’hypoth`ese que la norme maximale du champ magn´etique dans le m´etal est peu diff´erente de celle dans le vide.
3.En d´eduire que la conductivit´e complexeγ du conducteur v´erifiant~j=γ ~E s’´ecrit γ=γ0/(1 +iωτc) o`uω repr´esente la pulsation du champ ´electromagn´etique et o`u~jest le vecteur complexe densit´e de courant volumique de courant. Exprimerγ0 en fonction den, e,metτc.
4.Dans le cas d’un laser `aCO2, montrer que l’on peut pas assimiler la conductivit´e complexe du conducteur
`
a sa conductivit´e statiqueγ0. ´Ecrireγsous la formeγ=γ′−iγ′′et exprimerγ′ etγ′′en fonction deγ0,ωetτc. 5.D´eterminer l’´equation diff´erentielle complexe v´erifi´ee par la densit´e volumique de chargeρ.
6.Int´egrer l’´equation en prenant comme condition initialeρ=ρ0 `a t= 0 et montrer que la solution r´eelle se met sous la formeρ=ρ0exp−t/τd cosωdt. Exprimerτd etωd en fonction de γ0,τc,ω etε0.
7.Calculerτd et en d´eduire que l’on peut consid´erer le conducteur comme neutre ´electriquement dans le cas
du laser `aCO2.
8.Donner les ´equations deMaxwellen tenant compte de l’approximation pr´ec´edente.
9. Montrer, `a l’aide d’un calcul num´erique, qu’un terme peut ˆetre n´eglig´e dans l’´equation de Maxwell- Amp`ere.
10.D´eterminer l’´equation de propagation satisfaite par E.~
11. On recherche le champE~ sous la forme E~ = E~0expi(ωt−kz) = E0expi(ωt−kz+ϕ0)~ex o`u k est a priori complexe et o`u~ex est un vecteur unitaire dans une base cart´esienne. ´Etablir la relation de dispersion en fonction deγnotamment.
12.On note k=k′−ik′′. Donner, en fonction dek′ et k′′, l’expression du champ ´electrique r´eel.
13.Quelle in´egalit´e doit v´erifier le produitk′k′′pour que le milieu soit absorbant ? Montrer, en s’aidant de la relation de dispersion, que cette condition est satisfaite.
B. Aspect ´ energ´ etique
La r´esolution des ´equations deMaxwell donne le champ ´electromagn´etique suivant :
E~ =E0exp−k′′z cos(ωt−k′z+ϕ0)~ex
B~ =E0
ω exp−k′′z (k′cos(ωt−k′z+ϕ0) +k′′sin(ωt−k′z+ϕ0))~ey
On note par la suite n = n′ −in′′ l’indice complexe du milieu v´erifiant k = k0n = ω
cn, avec n′ l’indice de r´efraction du milieu etn′′l’indice d’extinction.
14.D´eterminer l’expression de l’intensit´e||< ~Π>t|| o`u<·>t d´esigne l’op´erateur moyenne temporelle et~Π le vecteur dePoynting. On noteraI0′ l’intensit´e en z= 0.
15.En d´eduire que l’on peut faire intervenir une longueur caract´eristique d’absorption en intensit´eLa dont on donnera l’expression en fonction deω,cet n′′.
16.En faisant un bilan de puissance sur une tranche de conducteur comprise entre z et z+ dz, ´etablir en fonction deLa,I0′ et z, l’expressionPv(z) de la puissance volumique absorb´ee par le conducteur.
On ´etudie le comportement de l’onde ´electromagn´etique ´emise par le laser `a l’interface air/milieu repr´esent´e
`a la figure 3. On note 1 le milieu air dont l’indice optique est assimil´e `a celui du vide : n1 = 1. Le milieu conducteur, not´e 2, a pour indice complexe n2 = n′2−in′′2. On se limite au cas d’une onde incidente plane progressive monochromatique se propageant normalement `a la surface de discontinuit´e de milieuz= 0 : Ei= E0expi(ωt−k0z)~ex.
~k E~
z
b
x
milieu 2 milieu 1
y O
Figure 3 – R´eflexion d’une onde sous incidence normale
17.Rappeler les lois deDescartespour la r´eflexion et pour la transmission en pr´ecisant sur un sch´ema les notations utilis´ees. On tracera les rayons dans le cas d’un milieu 2 plus r´efringent que le milieu 1.
18.Dans le cas d’une incidence normale, comme ici, quelle est la cons´equence sur les directions de polarisation des ondes r´efl´echies et transmises ?
On peut montrer que le coefficient de r´eflexion en intensit´e :
R= ||< ~Πr(z= 0, t)>t||
||< ~Πi(z= 0, t)>t||
o`u||< ~Πr(z= 0, t)>t|| et ||< ~Πi(z= 0, t)>t|| sont respectivement les vecteurs dePoyntingdes ondes r´e- fl´echie et incidente vaut :
R= (1−n′2)2+n′′22
(1 +n′2)2+n′′22
19.En d´eduire l’expressionPv(z) de la puissance volumique absorb´ee par le conducteur, en fonction deLa, R, zet I0 intensit´e du laser.
20.On donne, pour le laser `a CO2 n′2= 4,0 etn′′2 = 12,8. En d´eduire la valeur deR et commenter.