1.2 - Appliquer le r´esultat de la question pr´ec´edente au probl`eme de minimisation de J(v) =1 2 Z Ω |∇v|2dx− Z Ω f vdx

TD12 Analyse Num´erique et Optimisation H.Haddar, O.Pantz

Conditions d’optimalit´e

Exercice 1. Probl`emes variationnels

Soit V un espace de Hilbert. Soit a une forme bi- lin´eaire continue surV×V. SoitLune forme lin´eaire et continue surV. On pose

J(u) = 1

2a(u, u)−L(u).

1.1 - Montrer queJ est d´erivable surV au sens de Fr´echet et que

hJ⁰(u), wi=1

2(a(u, w) +a(w, u))−L(w).

En d´eduire queJ estα-convexe ssiaest α-coercive.

1.2 - Appliquer le r´esultat de la question pr´ec´edente au probl`eme de minimisation de

J(v) =1 2

Z

Ω

|∇v|²dx− Z

Ω

f vdx.

surH₀¹(Ω), o`u Ω est born´e. Prouver que ce probl`eme de minimisation poss`ede une solution unique et mon- trer que le minimiseur u de J est solution d’un probl`eme aux limites.

1.3 - On munitH₀¹(Ω) du produit scalaire (u, v) = Z

Ω

∇u· ∇v+u v dx.Montrer que si on identifieV `a (son dual)V<sup>0</sup> `a l’aide de ce produit scalaire,J⁰(u)≡ u₀ o`u u<sub>0</sub> ∈ H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) est la solution du probl`eme aux limites

−∆(u0−u) +u0=−f dans Ω,

u₀= 0 sur∂Ω.

Exercice 2. Splines cubiques

Un moyen d’interpoler des donn´ees (xi, yi)i=1,...,n

(n ≥ 3) o`u 0 = x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = 1 et yi ∈ R par une fonction [0,1] 3 x → v(x) assez r´eguli`ere est de r´esoudre infJ(v) o`u

J(v) = 1 2

Z 1

0

(v⁰⁰(x))²dx+1 2

n

X

i=1

(v(xi)−yi)².

2.1 - A quoi servent intuitivement les deux termes` d´efinissant J ? Montrer qu’un espace adapt´e au probl`eme est v ∈ H²(0,1) muni de sa norme natu- rellekvk²_H2=kvk²_L2+kv⁰k²_L2+kv⁰⁰k²_L2. EcrireJ sous la forme ¹₂a(u, u)−L(u) +c o`u aest une forme bi- lin´eaire,L une forme lin´eaire et cune constante que l’on explicitera.

2.2 - Montrer que J est d´erivable au sens de Fr´echet.

2.3 - Montrer que J est strictement convexe.

2.4 - Montrer que J est “infinie `a l’infini” (indi- cation : on utilisera le fait que pour une fonction v ∈ H¹(0,1), on a v(t) = v(0) + Rt

0v⁰(s)ds). En d´eduire que J admet un minimum u ∈ H²(0,1) unique.

2.5 - Ecrire les conditions d’Euler pour u. En d´eduire queuest cubique par morceaux.

2.6 - Ecrire les conditions que doit v´erifier u aux pointsx_i.

Exercice 3. Moindres carr´es et p´enalisation SoitAune matricem×netbun vecteur deR^m. On consid`ere le probl`eme suivant :

(P) : inf

v∈Rⁿ

1

2kAv−bk²_Rm

o`uk k_R^m d´esigne la norme euclidienne surR^m.

3.1 - Donner une interpr´etation g´eometrique du probl`eme (P). En d´eduire que (P) admet au moins une solution dansRⁿ. Discuter de son unicit´e en fonc- tion du rang de A.

1

3.2 - On poseJ(v) =¹₂kAv−bk²_Rm. Montrer queu est solution de (P) si, et seulement si,

A^tAu=A^tb.

Retrouver en fonction du rang deA, les r´esultats de la question pr´ec´edente sur l’unicit´e.

3.3 - Pourε >0, on pose

Jε(v) =J(v) +ε 2 kvk²_Rn

Montrer qu’il existe un unique u_ε ∈ Rⁿ tel que J_ε(u_ε) = inf_v∈RnJ_ε(v). Ecrire l’´equation d’Euler sa- tisfaite par u_ε. Montrer queku_εk ≤ kuk pour toutu solution de P. En d´eduire que uε converge, lorsque ε7→0⁺, vers la solution de (P) de norme minimale.

Exercice 4. In´egalit´e de Kantorovitch

Soit A une matrice carr´ee n × n, sym´etrique d´efinie positive dont les valeurs propres sont {λ1≤λ2≤...≤λn}. On d´esignera par {e1, e2, ..., en} une base orthonorm´ee de vecteurs propres (Aek =λkek). On souhaite montrer que

x∈minRⁿ

(Ax, x)(A⁻¹x, x)

||x||⁴ = 1 (1)

x∈Rmaxⁿ

(Ax, x)(A⁻¹x, x)

||x||⁴ = 1 4

rλ₁ λn

+ rλ_n

λ1

!² (2)

4.1 - Calculer le gradient de la fonction J de Rⁿ dansRd´efinie par :

J(x) = (Ax, x)(A⁻¹x, x)

4.2 - Montrer, en se restreignant au plan{e1, en}, queJ n’est pas convexe d`es que ^λ_λⁿ

1 est assez grand.

(Indication : on ´evalueraJ ene1, en et (e1+en)/2)

4.3 - Transformer les probl`emes (1) et (2) sous forme de probl`emes d’optimisation avec contrainte d’´egalit´e, not´es (1)’ et (2)’ pos´es sur la boule unit´e.

Ecrire les conditions n´´ ecessaires d’optimalit´e as- soci´ees `a ces deux probl`emes.

4.4 - On note {µ1 < µ2 < ... < µm}, m ≤ n, les valeurs propres distinctes de A(µ1=λ1, µm=λn).

On note E_j le sous-espace propre associ´e `a la valeur propre µ_j. Montrer que si x satisfait les conditions d’optimalit´e, il a une projection non nulle sur au plus deux des espaces E_j.

4.5 - D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la r´esolution des probl`emes (1)’ et (2)’ se ram`ene `a l’´etude d’un nombre fini de cas. En d´eduire les r´esultats (1) et (2).

Montrer que la solution de (1)’ n’est jamais unique et que celle du probl`eme (2)’ est unique au signe pr`es si et seulement si les deux valeurs propresλ1etλn sont simples.

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