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Devoir surveillé du Vendredi 26 Mars 2010 (durée impartie = 2h00) Documents non autorisés
Calculatrice autorisée Partie 1. : Le filtrage passif (7 pts)
Soit une sonde d’atténuation (x10) reliée à l’entrée d’un oscilloscope dont le schéma équivalent est rappelé ci-dessous (Cs est une capacité réglable de 0,1 pF à 20 pF).
vo Rs=9MΩ
Co=20pF Ro=1MΩ
vs
Cs= « réglable »
Sonde passive X10 Oscilloscope
vo Rs=9MΩ
Co=20pF Ro=1MΩ
vs
Cs= « réglable »
Sonde passive X10 Oscilloscope
1.1. Déterminer la fonction de transfert T(jω)=V0/Vs. (2pts)
⎩⎨
⎧
+
= +
=
+
= +
=
) 1
/(
) /(
.
) 1
/(
) /(
.
0 0 0
0 0 0 0
0 Zc R Zc R R j R C
Zeq
C R j R
R Zc R Zc
Soit Zeqs s s s s s s s
ω
ω
) /(
/ )
(j V0 V Zeq0 Zeq Zeq0 T
Or ω = s = s +
) 1
/(
) 1
/(
) 1
) /(
( '
0 0 0
0 0 0
s s
s j RC
R C R j R
C R j j R
T où
d ω ω
ω ω
+ +
+
= +
) 1
.(
) 1
.(
) 1
.(
0 0 0
0
C R j R C R j R
C R j R
s s s
s s
ω ω
ω + +
+
= +
) .(
) 1
. (
0 0 0
0
0 R R j R R C R R C
C R R j
s s s s
s s
+ +
+
= +
ω ω
) .(
1
) 1
. (
0
0 0 0 0
0
s s s s
s s s
R R
C R R C R j R
C R j R
R R
+ + +
+
= +
ω
ω
1.2. Montrer que cette fonction de transfert peut se mettre sous la forme :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
=
=
2 2
1 1 2
1
. 1
1 1 .
. ) (
τ ω ωτ ω
T j
j T
avec T T A j
T en identifiant A, T1, T2, τ1 et τ2 (1pt)
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
= +
=
= + +
= +
s s s s
s s
s
R R
C R R C R R
C R
R R A R
j avec A j
j T
0
0 0 0
2 1
0 0
2 1
. 1 .1 ) (
τ τ τ
ω ω ωτ
Cette fonction de transfert peut donc être vue comme la mise en cascade de trois filtres...
1.3. Tracer dans un même plan de Bode les modules (réduits aux asymptotes) de A, T1 et T2.
sachant que τ2=τ1 (renseigner au maximum les tracés) (2pts)
T[db]
20db/dec 1/T1=1/T2
Log(w)[rad/s]
0
-20db/dec
T(jw) T1(jw)
T2(jw) T[db]
20db/dec 1/T1=1/T2
Log(w)[rad/s]
0
-20db/dec
T(jw) T1(jw)
T2(jw)
1.4. Tracer (sur le même plan) le module (réduit aux asymptotes) de T(1pt) 1.5. La sonde est elle compensée, surcompensée ou sous compensée ? (1pt)
La sonde est parfaitement compensée
Partie 2. : Amplificateurs opérationnels et montages usuels (6 points)
Modèle équivalent de l’aop réel
2.1. Représenter l’Ampli-op réel à l’aide d’un model équivalent en y faisant figurer les variables : u(+) ; v(-) ; s ; Ze ; Zs ; ib1 ; ib2 ; Vos ; G(f) et Rmc(f) et ce qu’elles représentent.
(1pt)
Impédance d’entrée (input impedance) Ze
Impédance de sortie (output impedance) Zs
Gain en boucle ouverte (Open-loop gain) G(f)
Taux de rejection en mode commun (Commun mode rejection ratio)
Rmc(f)
Tension de décalage d’entrée (input offset voltage)
Vos
Courants d’entrée (input current) ib1et ib2
Grandeurs Symboles
Impédance d’entrée (input impedance) Ze
Impédance de sortie (output impedance) Zs
Gain en boucle ouverte (Open-loop gain) G(f)
Taux de rejection en mode commun (Commun mode rejection ratio)
Rmc(f)
Tension de décalage d’entrée (input offset voltage)
Vos
Courants d’entrée (input current) ib1et ib2
Grandeurs Symboles
ib2
- +
v u
s Zs
G(f)(u-v) Ze
ib1
Vos (G(f)/Rmc(f))(u+v)/2
ib2
- +
v u
s Zs
G(f)(u-v) Ze
ib1
Vos (G(f)/Rmc(f))(u+v)/2
Imperfections statiques…
- + v u
s R2
e
R1 R3
- + v u
s R2
e
R1 R3
2.2. Justifier le rôle joué par la résistance R3 et à quoi elle doit être équivalente (1pt) La résistance R3 à pour fonction de compenser une partie des effets dus au courant de polarisation.
On choisi une résistance R3=R2//R1 (ie. de telle sorte que les résistances vues des bornes u et v soient identiques).
Ainsi la chute de tension « x » due au courant de polarisation moyen sera égalée aux deux entrées, si bien que ses effets sur la sortie seront parfaitement annulés (s=G(u+x-v-x)=G(u-v).
Imperfections dynamiques
On veut réaliser un système ayant une amplification de 120[dB] sur une bande passante de fréquence allant de 0 à 1k[Hz]. Pour cela on dispose d’AOPs ayant la caractéristique suivante:
G[db]
Pente= -20db/dec
10 100
f[Hz]
0
2.3. Donner le facteur de mérite F1 de cet AOP. (1pts)
Le facteur de mérite = la fréquence lorsque le gain G est unitaire (0db) soit F1=1[MHz].
2.4. Justifier combien d’AOPs il est nécessaire d’utiliser (1pt)
Si l'on veut que le système ait une bande passante de 1k, chaque montage doit donc avoir une bande passante de 1k. Compte tenu de la caractéristique des AOPs cela revient à dire que chaque montage doit avoir un gain de 60db. Or si l'on veut atteindre un gain de 120db cela revient à mettre en cascade 2 amplificateurs non inverseur, donc 2 AOPs sont nécessaires à cette réalisation.
2.5. Dessiner le schéma du montage (1pt)
- +
v u
R1 e1
R2 G1 s1
- +
v u
R2 R1 G2 s2
Avec 20log(1+R1/R2)=60db
Ceci étant dit, la sortie peut être distordue si l’amplitude du signal d’entrée dépasse une certaine valeur…c’est l’éffet du Slew Rate (Sr=0,5V/µs). On rappel que :
. max
. 2 .
max AE
f
Sr = π avec A le gain du montage
2.6. Calculer l’amplitude maximale de ce signal. On prendra Adb=120db et fmax=1k[Hz].
(1pt)
Emax=0,5.106/(2π.106.1.103)=80µV
Partie 3. : Amplificateur différentiel (7 points)
…en considérant l’AOP idéal
- + v u
s R4
i1 e1
R1
i2 e2
R3 R2
- + v u
s R4
i1 e1
R1
i2 e2
R3 R2
3.1. Quelle est l’impédance d’entrée vue par e1 ? (0.5pt) Ze1=R1+R2
3.2. Que faudrait il modifier pour que la sonde présente une impédance d’entrée infini sans pour autant modifier l’amplification ? (0.5pt)
Rajouter un suiveur à chaque entrée.
3.3. Dans quel circonstance à t’on plus intérêt à utiliser une sonde différentiel qu’une sonde d’atténuation ? (1pt)
Lorsque l’on souhaite réaliser une mesure à l’oscilloscope sans imposer de masse supplémentaire…
3.4. Retrouver l’expression: s =e1.a−e2.ben identifiant a et b. (2pts)
) 4 )( 1 2 ( 3
) 3 4 ( 1 2 3 /
4 R3.
1 2 R2.e1 )
3 ( ) 1 (
) 3 3( 4 R3.
4 / 1 3 / 1
4 3 0 v 1 :
2 R2.e1 2
/ 1 1 / 1
2 0 1 e1 u
: 0
2
) 2 3( 2 4
4 / 3 0 e2 0 v 4 r / 1 3 / 1
4 3 e2 v : 0
1
) 1 ( v u 0 / s/G v) - (u ) .
( G / v
- u : Hypothèse
0 2 0 2
0 2 0
2 0 1 0 1 0
1
0 0
R R R
R R e R
R s R
s R
et R
R R
s R
R R s Millman R
R et R R R
R Millman R
e qd
R e R R s
s o R
R R
R s Millman R
e qd
s linaire
régime ie
Vsat
e e
e e
e e
e
+
= + + ⇒
+ =
⇒
= + +
+ + =
+ = +
=
⇒
=
−
=
⇒ +
=
⇒ + =
+
=
⇒
=
=
⇒
=
∞
=
=
⇒
<
= =
=
=
= =
=
Par application du théorème de superposition on trouve:
3e2 1 4 ) 1 2 ( 3
) 3 4 ( ) 2
4 ( ) 2
( 1 0 2 0
R e R R R R
R R s R
s s
et e e −
+
= + +
=
⇒ = =
3 ( 4 3
) 2 1 2
3 ( 4
. 2 .
1 R
b R R et R R R
R a R
avec b e a e
s =
+
= +
−
=
On montre que s peut s'écrire sous la forme:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+
−
= 2
2 . 1 ' 2 1
1 e e
mc e R
e Ad
s ]
2 ) (
) .(
2 ).[
( a b
b Umc a b Ud
a
+ + −
= +
3.5. Quelle condition les résistances doivent elles remplir pour que la rejection en mode commun soit infinie ? (1pt)
b a ssi mc
b R a
b mc a
R ⇒ =∞ =
−
= + '
) ( ' 2
1 . 4 2 . 4 2 . 3 2 . 4
) 1 2 ( 4 2 ) 3 4 (
3 4 3 ) 2 1 2
3 ( 4
R R R R R R R R
R R R R R R
R R R R R R
R R
+
= +
⇒
+
= +
⇒ + =
⇒ +
2 1 4 3
1 . 4 2 . 3
R R R ou R
R R R R
=
=
⇒
…en considérant l’AOP non idéal
En considérant à présent que le gain de l’AOP
ωθ j G G
= + 1
0 avec G0>>1+Ad, on
montre que l’amplification différentiel θ θ
ωθ ).
( 1 ' ' '
1 ' '
0 0
0
G et Ad
Ad Ad
j avec
Ad Ad = = +
= +
3.6. Quelle est l’expression de la fréquence de coupure de l’amplificateur différentiel ? (1pt)
) 1 . (
2 /
1 0
= +
Ad fc G
π θ
3.7. Calculer la bande passante du montage sachant que le facteur de mérite de l’AOP est F1=1M[Hz] et que le gain différentiel est Ad=9. (1pt)
) 1 ( . ' 2 2 / 1 2
/ 0
= +
=
= Ad
c G
fc ω π πθ πθ
1 . .
0 2 F
G
or = πθ
) 1 (
1
= +
=
⇒ Ad
fc F BP
] [ 10 . ) 1 1 9 (
10 .
: 1 5
6
Hz fc
BP
AN =
= +
=
