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Universit´e de Cergy-Pontoise Janvier 2020
Math´ematiques-MS3, session 1
Dur´ee 2 heures, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Questions de cours :
(1) On consid`ere la s´erie enti`ere P∞ n=0
2nxn
n! , o`u n! = 1×2× · · · ×n. Cal- culer son rayon de convergence. On remarque que 2nxn= (2x)n, en d´eduire l’expression de la fonction qui est la somme de cette s´erie enti`ere.
(2) Etudier la nature de la s´erie num´erique P∞ n=0
(−1)n
√2n+1. (3) Etudier la nature de l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
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cosx x2 dx.
(4) Soit Ω = {(x;y) |x ≥0, y ≥0, y ≤1−x}. Calculer l’int´egrale double R R
Ω(2x+y)dxdy.
Exercice 1:
Soitf(x) une fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur Rtelle que f(x) =x2+ 1, ∀x∈[−π;π].
(1) Tracer le graphique def sur l’intervalle [−3π,3π], puis ´etudier la parit´e et la continuit´e def.
(2) Calculer les coefficients de Fourier de f.
(On remarque que cos(nπ) = (−1)n.) (3) En d´eduire les valeurs de P+∞
n=1 (−1)n
n2 ,P+∞
n=1 1
n2 etP+∞
n=1 1 n4. Exercice 2:
Soit Ω le domaine d´efini par Ω ={(x;y) | 14 ≤x2+y92 ≤1}. On consid`ere le changement de variables:
x=rcosθ, y = 3rsinθ.
(1) Soitγ1 : [0,2π]→R2 la courbe param´etr´ee d´efinie par γ1(t) = (1
2cost; 3 2sint);
Soitγ2: [0; 2π]→R2 la courbe param´etr´ee d´efinie par γ2(t) = (cost; 3 sint).
Justifier que γ1 param`etre la courbe C1 d’´equation x2+ y92 = 14 et que γ2
param`etre la courbeC2 d’´equation x2+y92 = 1.
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(2) Dans un plan muni d’un rep`ere orthonorm´e, tracer les courbesC1 etC2. (On constate que ces deux courbes constituent la fronti`ere du domaine Ω.) (3) Calculer le Jacobien du changement de variables ci-dessus.
(4) D´eterminer le nouveau domaine Ω0 en coordonn´ees (r, θ).
(5) En utilisant ce changement de variables, calculer l’int´egrale double Z Z
Ω
e−9x2−y2dxdy.
(6) Calculer les int´egrales curvilignesI1 =R
γ1xdy etI2 =R
γ2xdy
(7) En utilisant le th´eor`eme de Green-Riemann, justifier que pouri∈ {1,2}, Ii est ´egale `a l’aire du domaine entour´e par la courbe param´etr´ee γi. En d´eduire l’aire du domaine Ω.
