Puis en d´eduire la valeur de l’int´egraleR+∞ 3 1 x2+x−6dx

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Universit´e de Cergy-Pontoise Janvier 2017

Math´ematiques-MS3

Dur´ee 2 heures, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Questions de cours :

(1) Justifier que la s´erie P∞ n=0 n²

3ⁿ converge.

(2) On consid`ere la s´erie enti`ereP∞ n=1

(−1)ⁿ

n! xⁿ. Calculer son rayon de con- vergence.

Exercice 1:

On consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞

3

1 x²+x−6dx.

(1) Justifier la convergence de cette int´egrale g´en´eralis´ee.

(2) D´eterminer deux constantesα etβ telles que pour tout x∈[3,+∞[, 1

x²+x−6 = α

x+ 3+ β x−2. (3) SoitA >1, calculer la valeur de l’int´egraleRA

3 1

x²+x−6dx. Puis en d´eduire la valeur de l’int´egraleR+∞

3

1 x²+x−6dx.

Exercice 2:

Soitf(x) une fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur Rtelle que f(x) =−2x, ∀x∈]−π;π].

(1) Tracer le graphique def(x) sur l’intervalle [−3π; 3π], et ´etudier la parit´e de f(x).

(2) En utilisant l’int´egration par parties, calculer les coefficients de Fourier de f(x).

(On remarque que cos(nπ) = (−1)ⁿ.)

(3) Justifier la convergance de la s´erie P+∞

n=1 (−1)ⁿ

n . Puis en appliquant le th´eor`eme de Dirichlet la s´erie de Fourier def(x), calculer la valeur de cette s´erie num´erique.

Exercice 3:

Soit Ω le domaine d´efini par Ω = {(x;y) | ^x₄² + ^y₉² ≤ 1}. On consid`ere le changement de coordonn´ees suivant:

x= 2rcosθ, y= 3rsinθ.

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(1) Calculer le Jacobien de ce changement de coordonn´ees.

(2) Soit Ω⁰ le domaine des nouvelles coordonn´ees, c`ad que (x;y)∈Ω si et seulement si (r;θ)∈Ω⁰.

On admet que Ω⁰ = {(r;θ) |0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤θ ≤ 2π}. Calculer l’int´egrale doubleR R

Ωxy²dxdy.

(3) Soitγ : [0; 2π]→R² la courbe param´etr´ee d´efinie par γ(t) = (2 cost; 3 sint).

On admet que γ est la courbe fronti`ere du domaine Ω. Calculer l’int´egrale curviligneR

γydx−xdy.

(4) En utilisant le th´eor`eme de Green-Riemann, transformer cette int´egrale curviligne en une int´egrale double sur Ω. Puis en d´eduire l’aire du domaine Ω.