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Universit´e de Cergy-Pontoise Date: janvier 2018
Examen L1-S1-PCST
Dur´ee: 3h , les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Exercice 1.
(a) Montrer que pour toutn∈N∗,
n
X
k=1
k2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
(b) Calculer les limites suivantes:
(i) limx→+∞ 2x3−2x2+7
4x3+−3x2+7x−2. (ii) limx→+∞(lnx)2 x . (iii) limx→0 ex−sin(x)−1
x2 .
(c) Lin´eariser la fonction (sin(x))3. Puis en d´eduire la valeur de l’int´egrale Z π
2
0
(sin(x))3dx.
(d) Calculer les deux int´egrales suivantes:
Rπ2
0
sin(x) 2+cos(x)dx;
R2
1 x2ln(x)dx.
Exercice 2.
On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie par
f(x) = 4xex2−2sin(x) + 2cos(x)−2.
(i) Justifier bri`evement quef est continue et d´erivable.
(ii) Calculer f0(x) et v´erifier que f0(x)>0,∀x∈R. (iii) Montrer quef est une bijection deRdans R.
(iv) Soitf−1 la fonction r´eciproque def, calculerf−1(0) et (f−1)0(0).
Exercice 3.
On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie par f(x) =cos(x)−x.
(i) Etudier la variation de la fonction f. Puis en d´eduire qu’il existe un
2
uniquel∈Rtel quecos(l) =l.
(ii) Justifier que l∈[0; 1].
Soit (un)n∈N la suite d´efinie paru0= 0 et pour tout n∈N,un+1=cos(un) (iii) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈N, 0≤un≤1.
(iv) D´emontrer que pour toutn∈N,
|un+1−1|≤(sin(1))|un−1|. En d´eduire que ∀n∈N,
|un−1|≤(sin(1))n|u0−1|.
(v) Est ce que la suite (un)n∈N converge? Si oui, quelle est sa limite?
Exercice 4.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y0(t) +y(t) =t2+t−2, o`uy(t) est une fonction d´erivable de la variable t.
(i) D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle homog`ene y0(t) +y(t) = 0.
(ii) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation initiale sous la forme y(t) =t2+bt+c,
o`ub etc sont deux nombres r´eels `a d´eterminer.
(iii) D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation initiale. En d´eduire la solution de l’´equation v´erifiant la condition y(0) = 2.
Exercice 5.
Soitθ∈]0;π2[ une constante (i) R´esoudre dans Cl’´equation
z2−2cosθz+ 1 = 0.
(ii) En d´eduire les solutions de l’´equation z6−2cosθz3+ 1 = 0.
