De plus : |un|= Z (n+1)π nπ f(t)|sin(t)|dt≤f(nπ) Z π 0 |sin(t)|dt→n→+∞0 Puisquef a pour limite 0 en

Universit´e Pierre et Marie Curie-Paris 06 LM 260 Corrig´e du Partiel, 2012-2013

Exercice 1

1) La fonction sin(t) est positive sur tout intervalle [2nπ,(2n+ 1)π] et n´egative sur tout intervalle [(2n+ 1)π,(2n+ 2]π]. Il en est de mˆeme pour la fonction f(t) sin(t). D’apr`es les propri´et´es de l’int´egrale de Riemann, on en d´eduit que

Z (2n+1)π

2nπ

f(t) sin(t)dt est positive et

Z (2n+2)π

(2n+1)π

f(t) sin(t)dtest n´egative, ce qui implique bien que pour toutn∈N,u_n est positif si nest pair et n´egatif sinest impair.

2)Puisque la fonctionf(t) sin(t) garde un signe constant sur tout intervalle [nπ,(n+ 1)π], on a :

|un|=

Z (n+1)π

nπ

f(t)|sin(t)|dt

Or, puisquef est d´ecroissante, on a aussi, en effectuant le changement de variablet=s+π:

|un+1|=

Z (n+2)π

(n+1)π

f(t)|sin(t)|dt=

Z (n+1)π

nπ

f(s+π)|sin(s)|ds≤

Z (n+1)π

nπ

f(s)|sin(s)|ds=|un| La suite (|un|)_n∈N est donc bien d´ecroissante.

De plus :

|un|=

Z (n+1)π

nπ

f(t)|sin(t)|dt≤f(nπ) Z π

0

|sin(t)|dt→n→+∞0 Puisquef a pour limite 0 en +∞, la suite (|u_n|)_n∈N tend bien vers 0 lorsquen +∞.

3)D’apr`es le crit`ere des s´eries altern´ees, la s´erie num´erique de terme g´en´eralun converge.

4)Si sn est la somme partielle d’ordrende la s´erie num´erique de terme g´en´eralun, on a:

s_n=

Z (n+1)π

0

f(t) sin(t)dt

et donc la suite Z nπ

0

f(t) sin(t)dt

n∈N

est convergente.

Comme de plus on a d’apr`es la question 2) pournπ≤x≤(n+ 1)π:

Z nπ

0

f(t) sin(t)dt− Z x

0

f(t) sin(t)dt

=

Z x

nπ

f(t) sin(t)dt

≤

Z (n+1)π

nπ

f(t)|sin(t)|dt→_n→+∞0

l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

0

f(t) sin(t)dtest bien convergente.

4)Si f(t)≥1

t pourt >0, on peut ´ecrire:

Z (n+1)π

nπ

f(t)|sin(t)|dt≥f((n+ 1)π) Z π

0

|sin(t)|dt≥ 1 (n+ 1)π

Z π

0

|sin(t)|dt D’o`u

Z (n+1)π

π

f(t)|sin(t)|dt≥

n+1

X

k=1

1 kπ

Z π

0

|sin(t)|dt→n→+∞+∞

1

Donc l’int´egrale Z +∞

0

f(t) sin(t)dtn’est pas absolument convergente.

Exercice 2 1) a)Si t∈[k, k+ 1], alors 1

t^α ≤ 1 k^α d’o`u

Z k+1

k

dt t^α ≤ 1

k^α. De mˆeme, si t∈[k−1, k], alors 1 t^α ≥ 1

k^α d’o`u Z k

k−1

dt t^α ≥ 1

k^α. Donc:

Z k+1

k

dt t^α ≤ 1

k^α ≤ Z k

k−1

dt t^α

b)En sommant membre `a membre dek=n k=N et en faisant ensuite tendreN vers +∞, on obtient :

1

(α−1)n^α−1 = Z +∞

n

dt t^α ≤

+∞

X

k=n

1 k^α ≤

Z +∞

n−1

dt

t^α = 1

(α−1)(n−1)^α−1 D’o`u, puisque le quotient des termes extrˆemes tend vers 1:

+∞

X

k=n

1

k^α ∼_n→+∞ 1 (α−1)n^α−1 2)Par une int´egration par parties, on peut ´ecrire

Z π

0

f(t) sin ((2n+ 1)t/2)dt=

− 2

2n+ 1f(t) cos((2n+ 1)t/2) ^π

0

+ 2

2n+ 1 Z π

0

f⁰(t) cos((2n+ 1)t/2)dt

≤ 2

2n+ 1|f(0)|+ 2π 2n+ 1 sup

t∈[0,π]

|f⁰(t)| →n→+∞0 3)En utilisant l’identit´e

n

X

k=0

e^ikt=1−e^i(n+1)t

1−e^it = e^i(n+1)t/2 e^it/2

sin((n+ 1)t/2)

sin(t/2) =e^int/2sin((n+ 1)t/2) sin(t/2) et en prenant sa partie r´eelle, on obtient:

An(t) =−1 2 +

n

X

k=1

cos(kt) =−1

2 +cos(nt/2) sin((n+ 1)t/2) sin(t/2)

puis par une formule trigonom´etrique classique : An(t) =−1

2 +sin((2n+ 1)t/2) + sin(t/2)

2 sin(t/2) = sin((2n+ 1)t/2) 2 sin(t/2) 4)Effectuons deux int´egrations par parties :

Z π

0

(at²+bt) cos(nt)dt=

(at²+bt)sin(nt) n

π

0

− Z π

0

(2at+b)sin(nt) n dt

= 0−

(2at+b)−cos(nt) n²

π

0

− Z π

0

2acos(nt) n² dt

=−−(2πa+b)(−1)ⁿ+b

n² −0 = 1

n² 2

pour ces valeurs deaetb.

En utilisant la d´efinition deAn(t) == 1 2+

n

X

k=1

cos(kt), on obtient alors:

Z π

0

(t²

2π−t)An(t)dt=1 2

Z π

0

(t²

2π−t)dt+

n

X

k=1

1

k² =Sn−π² 6

5)On applique la question 2) avec la fonctionf(t) = (t²

2π−t) 1

sin(t/2) de classeC¹ sur [0, π], soit Z π

0

(t²

2π−t)sin((2n+ 1)t/2) 2 sin(t/2) dt=

Z π

0

(t²

2π−t)An(t)dt→n→+∞0

Donc, en comparant avec le r´esultat de la question 4), la suite (S_n)_n∈N converge bien vers π² 6 . Exercice 3

1) La fonction g est continue et tend vers 0 lorsque x → 0 et lorsque x→ +∞. Comme g n’est pas la fonction nulle, on en d´eduit que sup{|g(x)|/ x≥0}>0.

2)Pour toutn∈N, on a : fn(x) =g(nx).

Pourx= 0,fn(0) = 0 et la suite (fn(0))n∈N converge vers 0.

Pourx >0,nx→+∞lorsquen→+∞. Donc la suite (fn(x))_n∈N converge vers 0 La suite de fonction (f_n)_n∈N converge bien simplement vers la fonction nulle sur [0,+∞[.

3)Soita >0. Alors, on a, pout toutx≥0 : |fn(x)| ≤e^−nx≤e^−na→0 lorsquen→+∞.

On en d´eduit que la suite de fonction (fn)_n∈N converge uniform´ement vers la fonction nulle sur [a,+∞[.

4)D’apr`es la question 1), on a:

sup{|fn(x)|/ x≥0}= sup{|g(x)|/ x≥0}>0

Donc la suite de fonction (fn)_n∈N ne converge pas uniform´ement vers la fonction nulle sur [0,+∞[.

3