Correction de l’examen LM346 ”Processus et simulations”, 2013-14, 1`ere session.
1. On doit avoir C= (R01cos(πx/2)dx)−1= (2/π)−1=π/2.
2. FX(x) = 0 pour x ≤0, FX(x) =π/2R0xcos(πt/2)dt = sin(πx/2) pour x ∈ [0,1], et FX(x) = 1 pour x≥1.
3. On simule U une v.a. de loi uniforme sur [0,1] et on calcule X= (2/π)arcsinU =FX−1(U)
4. On simule des v.a. U1, . . . , UN ind´ep., de loi uniforme sur [0,1]. On pose Yi = p1 + (2/π)arcsinUi, i = 1, . . . , N. Alors EYi = (π/2)R01√
1 +xcos(πx/2)dx. On peut donc approcher l’int´egrale par
2 π
Y1+···+YN
N par la m´ethode de Mont´e-Carlo.
!! Beaucoup d’´etudiants ont oubli´e la constanteπ2, qui vient du fait que la densit´e est (π/2) cos(πx/2)1[0,1](x).
5. On calcule (2/π)
Z Z
v<(π/2) cos(πu/2)
1[0,1]1[0,π/2]dudv = (2/π) Z 1
0
(
Z (π/2) cos(πu/2) 0
dv)du= 2/π
6. P(N =k) = (1−p)k−1p avec p= 2/π.
7. Par le m´ethode de rejet (Thm du cours), la densit´e de cette v.a. est (π/2) cos(πx/2)1[0,1](x).
8. Ces probabilit´es sont ´egales, carUν et (2/π)arcsinU1sont de mˆeme loi qui est `a densit´e (π/2) cos(πx/2)1[0,1](x).
9.
P|X1+· · ·+XN| pNvar(X1) > t
=P(X1+· · ·+XN)2
NVarX1 > t2≤ E(X1+· · ·+XN)2 (NVarX1)t2 . o`u on a appliqu´e l’in´egalit´e de Markov. Par le fait queEXi = 0, on a
E(X1+· · ·+XN)2 =E(X1−EX1+· · ·+XN −EXN)2=V ar(X1+· · ·+XN).
Comme les v.a. X1, . . . , XN sont ind´ependantes et elles sont de mˆeme loi : V ar(X1+· · ·+XN) =V arX1+· · ·+V arXN =N V arX1. Donc E(X1+· · ·+XN)2/((NVarX1)t2) = 1/t2.
10. On a X1 +· · ·XN = −5. On choisit t tel que 1/t2 ≤ 0.1, donc t2 = 10. Alors VarX1 < (X1 +
· · ·XN)2/(t2N) avec probabilit´e < 1/t2. Donc VarX1 ∈ [ 25/(1000 ×10),∞[ avec probabilit´e ≥ 1−1/t2= 0.9. L’intervale de confiance est [1/400,∞[.
11.
P|X1+· · ·+XN|
pNVar(X1) > t→2(1−φ(t))
quand n→ ∞. On choisit t pour 2(1−φ(t)) = 0.1. Donc φ(t) = 0.95. Doncon prend t= 1.65 Alors VarX1 ∈[25/(1000×1.652),∞[ avec probabilit´e asymptotique ≥ 0.9. Donc l’intervale asymptotique est [1/(40×1.652),∞[.
12. {1,7},{2,6},{3,5} sont les classes ferm´ees, donc r´ecurrentes, {4} est une classe non ferm´ee, donc transiente.
1
13. Comme 4 est transient, le nombre de visites dans cet ´etat 4 `a partir de 4 est fini p.s. La variable al´eatoireR4(ω) =P∞k=01{4}(Xk) est le nombre de visites dans l’´etat 4 `a partir de 4 (siX0 = 4), il est fini p.s. Alors R4n(ω) est le reste de la s´erie convergente p.s., donc R4n(ω) → 0 p.s.(!) pour n → ∞ comme le reste de la s´erie convergente.
14. Comme{1,7} est une classe ferm´ee, on peut consid´erer une CM de deux ´etats 1,7 de matrice P˜ = 1/2 1/2
1/4 3/4
!
AlorsP(X4 = 7|X0 = 1) = ˜P1,7(4) = (( ˜P(2))(2))1,7 = 85/128.
15. Il faut r´esoudre π=πP. Comme 4 est transient,π4= 0. Le syst`eme de 7 ´equations se divise en trois syst`emes ind´ependantes (pour les trois classes r´ecurrentes), chacune de 2 ´equations avec 2 inconnues.
On obtient la famille de mesures inavariantes π = (c11/3, c215/31, c35/11,0, c36/11, c216/31, c12/3) avec c1, c2, c3 ≥0, pour les mesures de probabilit´e n impose c1+c2+c3 = 1.
16. La mesure λ est UNE des mesures invaraintes, celle avec c1 = 1/2, c2 = 1/3, c3 = 1/6. Donc cette probabilit´e vaut λ7 = 1/3 (et nonλ5 !).
17. Il faut appliquer le Thm sur la convergence vers la mesure invariante pour une CM irr´eductible, ap´eriodique, r´ecurrente.
Trop peu d’´etudiants ont assimil´e ce Thm fondamental !
Comme p11 > 0, la classe {1,7} est ap´eriodique. Comme X0 = 1, la CM est restreinte `a la classe r´ecurrente ap´eriodique{1,7}, elle ne sort jamais de cette classe. Donc pour i= 1 (resp. i= 7), cette limite vaut alors la mesure de probabilit´e invariante de l’´etat 1 (resp. 7) pour la CM irr´eductible, ap´eriodique, r´ecurrente `a DEUX ´etats, c’est celle qui est restreinte `a {1,7}. Sa (unique) mesure de probabilit´e invariante est{1/3,2/3}. Donc pouri= 1 (resp. i= 7) cette limite vaut 1/3 (resp. 2/3).
Comme la classe {1,7}st ferm´ee, cette limite vaut 0 pouri= 2,3,4,6.
La mesure invariante de la Q16, qui est une des (nombreuses) mesures invariantes de la CM sur {1, . . . ,7} (qui n’est pas du tout irr´eductible) n’a rien a voir avec cette question ni les suivantes ! 18. Pour i= 1,7 par le Thm ´ergodique cette limite vaut la mesure de probabilit´e invariante de l’´etat 1
(resp. 7) pour la CM irr´eductible, ap´eriodique, r´ecurrente `a deux ´etats, c’est celle qui est restreinte `a {1,7}. Donc la limite vaut 1/3 pour i= 1 et 2/3 pour i= 7 respectivement. Pour i= 2, . . . ,6 cette suite vaut 0. La limite est au sens p.s.
On a
n−1
n
X
k=1
Xk=n−1
n
X
k=1 7
X
i=1
i1i(Xk) =
7
X
i=1
in−1
n
X
k=1
1i(Xk) ce qui par le pr´ec´edent converge p.s. vers 1×(1/3) + 7(2/3) = 5.
19. L’´etat 4 est transient.
On calcule h14 = 1/7 + 2/7×0 + 1/7×0 + 1/7h14+ 1/7×0 + 1/7×0, donch14 = 1/6,
Comme{1,7}sont dans la mˆeme classe r´ecurrente, on d´eduith71= 1 ({1,7}est une classe r´ecurrente, dans une classe r´ecurente – au d´epart d’un ´etat de cette classe– chaque(!) ´etat est visit´e p.s.), donc h74= 1/6.
De mˆemeh24= 1/7×0 + 2/7×1 + 1/7×0 + 1/7×h24+ 1/7×0 + 1/7×h62,h62= 1 car{2,6} est une classe r´ecurrente. Alorsh24= 1/2 =h64.
De mˆeme h34 =h54 = 1/3.
2
Finalement, pour cette(!) CMh44 = 1/7 car tous les autres ´etats sont r´ecurrents et donc appartiennent
`
a des classes ferm´ees.
20. Peu d’´etudiants ont r´eussi cette question, pourtant facile.
limn→∞P(Xn= 4|X0= 4) = 0 par un Thm du cours car 4 est tansient.
Au d´epart de l’´etat 4, la CM va se retouver dans une classe r´ecurrente aperiodique `a un instant al´eatoire qui est un temps d’arrˆet. Cette classe sera{1,7}avec probah14=h74 =h{1,7}4 = 1/6, elle sera {2,6}avec proba 1/2, et{3,5}avec proba 1/3. On applique la propri´et´e de Markov forte par rapport
`
a ce temps d’arrˆet et le Thm sur la convergence vers la mesure invariante pour une CM irr´eductible, ap´eriodique, r´ecurrente de la classe corr´espondante.
Par exemple limn→∞P(Xn = 1 | X0 = 4) = h{1,7}4 ×1/3 = 1/18, limn→∞P(Xn = 1 | X0 = 4) = h{1,7}4 ×2/3 = 2/18 o`u 1/3 est la mesure de proba invariante de l’´etat 1 et 2/3 – celle de l’´etat 7, pour la CM restreite `a la classe {1,7}.
De mˆeme, pouri= 2,3,5,6 cette limite vaut 1/2×15/31,1/3×5/11,1/3×6/11,1/2×16/31 respec- tivement.
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