TS 8 DS 1 : Suites, R´ecurrence, limite 24 septembre 2016 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (15 minutes) (3 points) Pr´erequis :Pour tout r´eela >0 et toutn∈N, (1 +a)n>1 +na.
Si lim
n→+∞un= +∞, alors lim
n→+∞
1 un = 0.
1. D´emontrer que si q∈]1; +∞[, alors lim
n→+∞qn= +∞
2. En d´eduire lim
n→+∞qn lorsqueq ∈]0; 1[.
Exercice 2 : Quelques limites (20 minutes) (3 points)
Calculer les limites des suites suivantes, d´efinies pour tout entiern, lorsqu’elles existent : 1. un= 4n2−3n+ 1
n3+ 3n−2
2. vn= 8n−6n 3. wn= 3n−2 sin(n)
Exercice 3 : Une petite r´ecurrence (15 minutes) (3 points)
Montrer que, pour tout entier naturel n>1,
n
X
k=1
k2= n(n+ 1)(2n+ 1) 6
Exercice 4 : Un petit probl`eme (50 minutes) (9 points)
Soit la suite (un) d´efinie sur Nparu0 = 2 et, pour tout entier natureln,un+1= 23un+13n+ 1.
1. (a) Compl´eter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rangnde la suite (un) o`un est un entier naturel saisi en entr´ee par l’utilisateur.
1 Variables : ietnsont des entiers naturels
2 u est un r´eel
3 Entr´ee : Saisir n
4 Initialisation : Affecter `au la valeur . . . 5 Traitement : Pour ivariant de 1 `a . . . 6 |Affecter `a u la valeur . . .
7 Fin de Pour
8 Sortie : Afficher u
(b) Modifier cet algorithme pour afficher tous les termes u0,u1,. . .,un (on pourra indiquer les lignes) (c) Calculer u1,u2,u3 etu4. On pourra en donner des valeurs approch´ees `a 10−2 pr`es.
(d) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. (a) Montrer par r´ecurrence que, pour toutn∈N,un6n+ 3.
(b) Montrer que, pour tout n∈N,un+1−un= 13(n+ 3−un).
(c) En d´eduire une validation de la conjecture pr´ec´edente.
3. On d´esigne par (vn) la suite d´efinie surNparvn=un−n.
(a) Montrer que (vn) est g´eom´etrique de raison 23. (b) En d´eduire que, pour toutn∈N,un= 2 23n
+n.
(c) D´eterminer la limite de la suite (un).
4. Pour tout entier naturel non nuln, on pose : Sn=
n
X
k=0
uk etTn= Sn n2. (a) Exprimer Sn en fonction de n.
(b) D´eterminer la limite de la suite (Tn).
Exercice 5 : Prise d’initiative (15 minutes) (2 points)
On consid`ere un carr´e de cˆot´e 1. On colorie successivement les carr´es construits sur la diagonale de fa¸con `a ce que la diagonale de chaque carr´e soit ´egale `a la moiti´e de la diagonale du carr´e pr´ec´edent.
Pour tout entier naturelnnon nul, on note (un) l’aide de la surface colori´ee de l’´etape 1 `a l’´etapen.
Quelle est la limite de la suite (un) ?
