Sup PCSI2 — Devoir 2002/04
◮Pourn∈N∗, nous noteronsfn : x∈R7→x2n−xn−x−3.
Q1 R´esolvez dansRl’´equationf1(x) = 0.
Q2 Quelles sont les valeurs denpour lesquelles−1 est solution de l’´equationfn(x) = 0 ?
Q3 ⋆⋆ Montrez que, dans l’intervalle [0,+∞[, l’´equation fn(x) = 0 poss`ede une et une seule solution, qui sera d´esormais not´eexn.
Q4 Pourn>2, prouvez l’encadrement 1< xn <2.
Q5 Quel est le sens de variation de la suite de terme g´en´eralxn?
Q6 Montrez que cette suite converge. Pour l’instant, que pouvez-vous dire de sa limite ℓ? Q7 Soit α >1. Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralfn(α) ?
Q8 En d´eduire la valeur de ℓ.
◮Nous nous proposons de montrer que 1 + 1
2n < xn<1 + 1
n APCR.
Q9 Le nombree est la limite de la suite de terme g´en´eralSn = X
06k6n
1
k!. Utilisez cette d´efinition pour ´etablir l’encadrement 8
3 < e <3.
Q10 Utilisez cet encadrement pour d´eterminer le signe dee2−e−4.
Q11 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eral³ 1 + 1
n
´n
? Q12 En d´eduire que la suite de terme g´en´eralfn
³1 + 1 n
´converge verse2−e−4.
Q13 Montrez alors quefn
³ 1 + 1
n
´
est strictement positif APCR.
Q14 En d´eduire la majorationxn<1 + 1
n APCR.
Q15 En suivant la mˆeme d´emarche, montrez que l’on a 1 + 1
2n < xn APCR.
◮Soitϕ: t∈R7→e2t−et−4. Nous allons ´etablirxn−1n→∞g λ
n, o`uλest la solution de l’´equationϕ(t) = 0.
Q16 D´eterminezλ.
Q17 Soitk >0. Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eral³ 1 + k
n
´n
? Q18 En d´eduire la limite de la suite de terme g´en´eralfn³
1 + k n
´.
Q19 Supposonsk > λ. Montrez quefn
³ 1 + k
n
´
>0 APCR ; en d´eduirexn<1 + k
n APCR.
Q20 Supposons maintenantk < λ. Montrez de la mˆeme fa¸con quexn>1 + k
n APCR.
Q21 Concluez !
[Devoir 2002/04] Compos´e le 11 juin 2008
