Universit´e de Lille Master 1 Math´ematiques
M402 Analyse 7 septembre 2018
Feuille 1
Exercice 1
1. Soit ϕ : [0; 1] → R une fonction continue strictement monotone.
Montrer queA={P◦ϕ|P polynomiale}est dense dans C([0; 1],R) pourk · k∞. En d´eduire que l’ensemble
{f : [0; 1]→R|f(x) =
n
X
k=0
aksink(x), ak ∈R, n∈N} est dense dansC([0; 1],R) pourk · k∞.
2. Soit P la sous-alg`ebre engendr´ee par les deux ´el´ements f0 et f2, o`u f0(x) = 1 etf2(x) = x2. Montrer que P est dense dans C([0; 1],R), mais pas dansC([−1; 1],R).
Exercice 2
Soita < b etf : [a;b]→R une fonction continue telle que
∀n∈N, Z b
a
f(t)tndt= 0 Montrer quef = 0.
Exercice 3
Soit (K, d) un espace m´etrique compact, et{f1, . . . , fd}une famille deC(K,R) qui s´epare les points deK.
1. Montrer qu’une application continue bijective de K dans un espace m´etrique est un hom´eomorphisme.
2. Montrer que φ = (f1, . . . , fd) est continue et injective sur K. En d´eduire queK est hom´eomorphe `a une partie de Rd.
Exercice 4
Soit (K, d) un espace m´etrique compact, etA l’ensemble des fonctions lip- schitziennes deK dansR.
1. Montrer queAest dense dans C(K,R) muni de la norme uniforme.
2. Pour f ∈ C(K,R) et λ >0, on pose fλ(x) = inf
y∈K{f(y) +λd(x, y)}
Montrer quefλ est lipschitzienne.
1
3. Montrer que kf − fλk∞ −−−−→
λ→+∞ 0 et retrouver le r´esultat de la premi`ere question.
Exercice 5
On noteQ∩[0; 1] ={a1, . . . , an, . . .}et on posef0(x) = 1 etfn(x) =|x−an|.
1. Montrer que la sous-alg`ebre A engendr´ee par les fn (n ∈ N) est s´eparante. En d´eduire que A dense dans C([0; 1],R) pour la norme uniforme.
2. Montrer que tout ´el´ement de A est limite uniforme de combinaisons lin´eaires `a coefficients rationnels de fonctions du type fi1× · · · ×fis. 3. En d´eduire que C([0; 1],R) est s´eparable.
Exercice 6
Montrer que les deux premi`eres familles suivantes sont ´equicontinues, mais pas la troisi`eme :
1. `a k >0 fix´e, l’ensemble des fonctions diff´erentiables de [a;b] dans R telles que∀t∈]a;b[,|f0(t)| ≤k;
2. l’ensemble des fn :t 7→ sin(p
t+ 4(nπ)2) (n∈ N) sur [0; +∞[ (vers quoi cette suite de fonctions converge-t-elle simplement ?) ;
3. l’ensemble des fn:t7→tn (n∈N) sur [0; 1].
Exercice 7
SoitE un sous-espace vectoriel deC1([0; 1],R), muni de la norme uniforme.
On suppose qu’il existem∈Rtel que∀f ∈E, kf0k∞≤mkfk∞.
1. Montrer que la boule unit´e ferm´ee de E est compacte. D’apr`es le th´eor`eme de Riesz, cela implique queE est de dimension finied.
2. Trouver s ∈ N et x1, . . . , xs ∈ [0; 1] en fonction de m tels que f 7→ (f(x1), . . . , f(xs)) soit injective sur E. En d´eduire qu’on peut contrˆolerd`a l’aide dem.
Exercice 8
Soit K une partie compacte de Rn. On munit les trois espaces C(K,Rn), C(K, K) et
G(K) ={f ∈ C(K, K) | ∀x, y, kx−yk=kf(x)−f(y)k}
de la norme uniforme. Montrer que G(K) est ferm´e dans C(K, K), que C(K, K) est ferm´e dansC(K,Rn) et que G(K) est compact.
Exercice 9
Soit (K, d) un espace m´etrique compact. Montrer le sens “facile” du th´eor`eme d’Ascoli, `a savoir qu’une partie compacte de (C(K,K),k·k∞) est n´ecessairement ferm´ee, born´ee et ´equicontinue.
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