Montrer qu’il existe une forme linéaire f continue surE vérifiant f(x)= kxk, f(y)=0

Université de Rouen Master 1 MFA Année 2016-2017

Analyse Fonctionnelle

Examen du 28 juin 2017, durée 2h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE(ET ENCORE)EST INTERDIT.

IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.

Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.

Questions de cours.Donner l’énoncé du théorème de l’application ouverte.

Exercice 1. SoitE un espace vectoriel normé et x, y deux éléments non nuls deE. On suppose de plus quexety ne sont pas colinéaires (µx+λy=0 entraîneµ=λ=0). Montrer qu’il existe une forme linéaire f continue surE vérifiant

f(x)= kxk, f(y)=0.

Exercice 2. Les espaces`<sup>1</sup>(N) et`^∞(N) désignent les espaces usuels de suites :

`¹(N)=©

u=(u_k)_k∈N∈R^N: X

k∈N|u_k| < ∞ª

`^∞(N)=©

u=(uk)k∈N∈R^N: sup

k∈N|uk| < +∞ª . On définit respectivement les normes

∀u∈`¹(N), kuk1= X

k∈N|uk|, ∀u∈`^∞(N), kuk∞=sup

k∈N|uk| et on rappelle que (`<sup>1</sup>(N),k · k1) et (`^∞(N),k · k∞) sont des espaces de Banach.

On définit dans cet exercice l’espaceE, l’ensemble des suites dont les sommes partielles sont (uni- formément) bornées :

E=©

u=(u_k)_k∈N∈R^N: sup

n∈N|

n

X

k=0

u_k| < ∞ª . Pour toute suiteu=(uk)k∈N∈R^Non noteraSn(u)=Pn

k=0uk la somme partielle de rangnassociée àu et on définit pour tout élémentudeE

N(u)=sup

n∈N|S_n(u)|.

(a) Exhiber un élément deEqui n’est pas dans`¹(N).

(b) Montrer queN(·) est une norme surE.

(c) On considère l’applicationϕdéfinie deE dans`^∞(N) par

∀u∈E,ϕ(u)=(Sn(u))n∈N.

-i- Montrer queϕest une application linéaire isométrique (kϕ(u)k∞=N(u) pour toutu∈E) et queϕest surjective.

-ii- En déduire que (E,N) est un espace de Banach.

Pour une suite réellea=(an)n∈Non veut démontrer que les deux assertions suivantes sont équiva- lentes

(1) P

n∈N|a_n| < +∞

(2) pour toutb=(bn)_n∈N∈E, la suitec=(cn)_n∈Naveccn=Pn

k=0akbn−k appartient àE.

(c) Soita=(an)n∈Netb=(bn)n∈Ndeux suites réelles etc=(cn)n∈Ndéfinie parcn=Pn

k=0akbn−k. Établir l’égalité

N

X

n=0

cn=a0SN(b)+a1SN−1(b)+ · · · +aNS0(b)=

N

X

n=0

anSN−n(b) (d) Montrer que (1) implique (2).

1 Tournez la page S.V.P.

(e) Soit a =(a_n)_n∈N une suite réelle vérifiant l’assertion (2). Pour tout n∈N on définit la forme linéaireTnsurE par

Tn(b)=a0SN(b)+a1SN−1(b)+ · · · +aNS0(b).

-i- Montrer queTnest une forme linéaire continue surE et quekTnk =Pn

k=0|a_k|. [on pourra aussi utiliser la question (b)]

-ii- Montrer que sup_n∈NkTnk < +∞(on pourra utiliser un théorème du cours : énoncer correc- tement et vérifier qu’il s’applique dans la situation présente).

-iii- En déduire que l’assertion (1) est vraie.

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