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(c) Montrer par l’absurde qu’il n’existe pas de permutationσtelle queσ2=σ1

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Université de Rouen L2 Math/Info Année 2014-2015

Algèbre

Examen du 24 juin 2015, durée 2h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT.

IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.

Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.

Exercice 1. Soientσ1etσ2les permutations suivantes : σ1=

µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 9 6 1 3 8 2 5 7

, σ2=

µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 9 4 1 2 7 5 8 6

(a) Décomposerσ1, σ2 etσ3=σ1σ2en produit de cycles à supports disjoints. Calculer alors leurs signatures.

(b) Calculerσ20172 ainsi que (σ1σ2)−1.

(c) Montrer par l’absurde qu’il n’existe pas de permutationσtelle queσ2=σ1. Pour cela soitσune permutation telle queσ2=σ1.

-i- Soienti=σ(1) et j =σ(4). Que valentσ(i) et σ(j) ? -ii- Peut-on avoiri,j∈{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} ? [justifier]

-iii- Conclure.

(d) Trouver au moins une permutationσtelle queσ2=σ2. Pour cela on pourra remarquer –et démontrer– que sis est un cycle de longueur 2p+1 (avecp≥2) alorssp+1sp+1=s. Exercice 2. On rappelle que l’ensemble des matrices carrées de taille 2, notéM2(R) est un anneau unitaire non commutatif pour la somme et le produit usuels : (M2(R),+,·).

Pour a∈Q on définit l’ensembleK par K = nµ

x a y y x

; (x,y)∈Q2o

. K est donc un sous- ensemble deM2(R), dont les éléments sont les matrices particulières s’écrivant sous la forme µx a y

y x

avecxet y dansQ.

(a) Montrer queK est un sous anneau de (Mn(R),+,·).K est-il commutatif ?

(b) On prend a= 2516. Trouver un élément non nul A de K tel que det(A)=0. En déduire queK n’est pas un corps.

(c) On prenda=7 et on rappelle quep

7∉Q. Montrer queK est un corps.

–Question bonus– Montrer queK est un corps si et seulement sip a∉Q.

Exercice 3. Décomposer en éléments simples dansC[X] la fraction rationnelle F =6X3−14X2+6X+6

(X−2)2(X2+2) . En déduire sa décomposition en éléments simples dansR[X].

Exercice 4. Factoriser dansC[X] puis dansR[X] les polynômes suivants X5−1, (X2+2)2+4.

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