Université de Rouen L2 Math/Info Année 2015-2016
Algèbre
Examen du 7 janvier 2016, durée 3h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT.
IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Questions de cours.
(a) Soit (G,∗) un groupe etH1,H2deux sous groupes deG. Montrer queH1∩H2est un sous groupe deG.
(b) Dans le groupe (Z,+) donner un exemple de deux sous groupesH1etH2tels queH1∪H2n’est pas un sous groupe deZ.
(c) SoitPun polynôme à coefficients réels. Montrer queaest racine dePsi et seulement si (X−a) diviseP.
Exercice 1. Soita=1 111 111 111 etb=123 456 789.
(a) Établir la division euclidienne deaparb (on déterminera donc le reste et le quotient).
(b) Calculer PGCD(a,b).
(c) Détermineru etvtel queau+bv=PGCD(a,b).
Exercice 2. SoitHetJ5les sous-ensembles deQdéfinis par H=na
b
¯
¯(a,b)∈Z×Z∗, 5 ne divise pasbo , J1=
na b
¯
¯(a,b)∈Z×Z∗, 5 divisea, 5 ne divise pasbo .
(a) Montrer queJ1⊂Het exhiber au moins un élément appartenant àH mais n’appartenant pas àJ1.
(b) Montrer queH est un sous anneau unitaire deQ. (c) Montrer queH n’est pas un corps.
(d) Montrer queJ1est un idéal deH.
(e) SoitI un idéal deHet supposons queI n’est pas inclus dansJ1. Soit a
b ∈I tel que a b ∉J1. -i- Montrer que b
a ∈H.
-ii- Montrer queI=H.
-iii- En déduire que tout idéal deHest inclus dansJ1ou égal àH.
(f ) On cherche à déterminer tous les idéaux deH. Pour toutk∈Non définitJk par Jk=na
b
¯
¯(a,b)∈Z×Z∗, 5k divisea, 5 ne divise pasbo
. (on remarquera queJ0=H) -i- Montrer que pour toutk∈NJk est un idéal deH.
-ii- SoitI un idéal deHet notonsS l’ensemble défini par S=n
l∈N¯
¯∀x∈I,∃(a,b)∈Z×Z∗ vérifiantx=a
b, 5l divisea, 5 ne divise pasbo .
1 Tournez la page S.V.P.
-iii- Montrer queS est une partie non vide majorée de N. En déduire que S admet un plus grand élément, notép.
-iv- Montrer queI⊂Jp. -v- Montrer qu’il existex=a
b ∈I tel que 5p divisea, 5p+1ne divise pasa et 5 ne divise pasb.
En déduire qu’il existex∈I s’écrivantx=5pa0
b avec 5 ne divisant nia0 nib. Montrer que a0
b est inversible dansHet en déduire queJ5p⊂I. -vi- Conclure queI=Jp.
Exercice 3. Soitσla permutation deS11définie par σ=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 8 1 7 6 10 9 2 4 11 5
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(a) Déterminerσ−1.
(b) Décomposerσen produit de cycles à supports disjoints.
(c) Décomposerσen produit de transpositions.
(d) Calculer la signature deσet son ordre.
(e) Calculerσ2017. Exercice 4.
(a) Sachant queP=X4−2X3+2X2−2X+1 et son polynôme dérivéP0possèdent une racine com- mune réelle évidente, décomposerP en produit de facteurs irréductibles dansR[X].
(b) Décomposer dansR[X] la fraction rationnelle
F= X4−X3+X+1 X4−2X3+2X2−2X+1.
Exercice 5. Déterminerλpour queP=X3−3X+λait un zéro double. Quelle est alors l’autre racine ?
Exercice 6. Déterminer le degré du polynômeP=(X2+1)n−2X2n+(X2−1)n en fonction den (on fera attention aux casn=0 etn=1).
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