Mathématiques
MS3 PC-C-STE-Bil PC-ENSI PC Université de Cergy-Pontoise
2011-2012
Examen nal Durée : 3h
• Les calculatrices et les notes du cours sont interdits. Une seule feuille antisèche est permise.
• Dans les exercices, on pourra admettre les résultats d'une question pour faire les questions suivantes.
• Le barême est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer.
Exercice 1 Soit
Ω ={(x, y)∈R2 |x≥y2, y≥x2}.
1. Dessiner Ω. (1pt)
2. Calculer l'intégrale double
ZZ
Ω
xydxdy de 3 manières :
(a) En voyantΩcomme borné par deux graphes de fonctions. (1pt) (b) En utilisant un changement de variables par la fonction
G: [0,1]×[0,1]→Ω : (u, v)→(uv2, u2v).
Vérier que les hypothèses pour la formule de changement de variables sont satisfaites.
(3pt)
(c) En vériant que
xy = ∂F2
∂x −∂F1
∂y où
F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) = (−y2x 4 ,x2y
4 ), et en utilisant le théorème de Green-Riemann.(3pt)
Exercice 2 1. Soit
F(x) = Z ∞
0
e−t−e−xt
t dt.
Montrer que l'intégrale ci-dessus est convergente pour tout x >0. (2pt) 2. Interprétons l'expression ci-dessus comme fonction
F :]0,+∞[→R:x→F(x).
Pour 0 < c <1, vérier les hypothèses du théorème `dérivation sous le signe d'intégration' pour la restriction deF à ]c,+∞[.
En déduire que la fonctionF est dérivable sur]0,+∞[, avec F0(x) = x1 pourx >0. (2pt) 3. En déduire que
F(x) = ln(x), pourx >0.
(1pt) 4. Déterminer
Z ∞
0
e−αt−e−βt
t dt
pourα, β >0.(1pt)
1
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Exercice 3
1. Calculer le rayon de convergence de la série entière
∞
X
n=1
1 n(π
2 −arctan(n))zn.
Déterminer alors la convergence ou divergence des séries suivantes : a)
∞
X
n=1
2n n(π
2 −arctan(n)), et b)
∞
X
n=1 π
2 −arctan(n)
n2n .
(2pt) 2. Montrer que
Z ∞
1
ln(x) x2 dx est une intégrale convergente. En déduire que
Z ∞
1
ln(x) x2+ 1dx est une intégrale convergente. (2pt)
3. En utilisant la comparaison série-intégrale, montrer que la série numérique
∞
X
n=1
1 n(π
2 −arctan(n)) est convergente.(2pt)
2
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Rappels de cours
Rayon de convergence R d'une série entière : pour la série entière P∞
n=0anzn, on a que, si la limite existe, le rayon de convergence est donné parR= limn→∞ |an|
|an+1|. Dériver sous le signe d'intégration :
Théorème 0.1. Soient a < b et c < d nombres réels ou ±∞. Supposons donnée une fonction continue
f :]a, b[×]c, d[→R: (t, x)→f(t, x), telle que les hypothèses suivantes sont satisfaites :
• Pour tout x∈]c, d[, la fonction
fx:]a, b[→R:t→f(t, x) admet une intégrale impropre sur]a, b[.
• La fonction
∂f
∂x :]a, b[×]c, d[→R existe et est continue.
• Il existe une fonction positive et continue par morceaux h:]a, b[→Rqui admet une intégrale impropre sur]a, b[et telle que
|∂f
∂x(t, x)| ≤ |h(t)| pour tout t∈]a, b[, x∈]c, d[.
Alors si nous dénissons
F :]c, d[→R:F(x) = Z b
a
f(t, x)dt, on a que F est dérivable avec
F0(x) = Z b
a
∂f
∂x(t, x)dt.
Théorème 0.2 (Théorème de Green-Riemann). Soit γ : [a, b] → R2 un lacet simple, continue et de classe C1 par morceaux, qui se tourne contre le sens des aiguilles d'une montre. Soit Ωγ la région bornée parγ. SoitF un champ de vecteurs de classe C1 sur un domaine ouvert qui contient Ωγ ainsi que l'image de γ. Alors
Z
γ
F(x)·dx= ZZ
Ωγ
(∂F2
∂x −∂F1
∂y )dxdy.
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