PCST S2 EXAMEN DE MATHEMATIQUES DU 17 /05/10 ( durée 3h)

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PCST S2 EXAMEN DE MATHEMATIQUES DU 17 /05/10 ( durée 3h)

Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation de votre copie . Les résultats doivent être soulignés .Les documents et calculatrices sont interdits.

Barème prévisionnel : 5 points par exercice.

EXERCICE 1 Les parties A et B sont totalement indépendantes A Soit la fonction ∶ , ⟼ − −

1) Déterminer les points critiques.

2) Chercher les extrema de .

B 1) Soit la fonction ∶ ⟼ + 2ℎ

Montrer que l’équation = 0 admet une solution unique sur ℝ. La préciser.

2) Soit la fonction ℎ ∶ ↦ +

a) Etablir que si + = 0 et + = 0 alors 2ℎ − + − = 0.

b) En déduire le seul point critique de ℎ. c) Montrer que,

ℎ−1 + , −1 + − ℎ−1, −1 = 2 −^!^"−^#^"$ + %‖, ‖. Le point critique est-il un extremum ?

EXERCICE 2

Soit ' un paramètre réel et soit la matrice A= (' − 1 1 −1

2 ' 1

' 1 − ' '). 1) a) Montrer que : Det A =' + '− ' − 1 .

b) Déterminer les valeurs de ' pour lesquelles A est inversible.

c) Calculer la matrice inverse de A pour ' = 0.

2) Soit le système :

* ' − 1 + − + = ' 2 + ' + + = 3 ' + 1 − ' + '+ = '

-

a) Donner un équivalent matriciel de ce système.

P1

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b) En déduire la résolution du système pour les valeurs suivantes de ' : ' = 1 puis, ' = −1 et enfin ' = 0.

c) Interpréter, en termes de géométrie dans l’espace, les résultats trouvés au b).

EXERCICE 3

On considère les suites ./ et 0/ définies, pour tout 1 ∈ ℕ, par : 4._/5 = ._/ − 0_/

0_/5 = 2._/ + 40_/- et 7.⁸ = 2 0₈ = 1- On pose : 9_/ = ._/

0_/$

1) Déterminer une matrice A carrée d’ordre 2 telle que : 9_/5 = :9_/.

2) a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. Est-elle diagonalisable ? b) Soit ; = 1 1−1 −2$ . Déterminer la matrice < = ;:;.

c) En déduire, pour tout 1 ∈ ℕ , :^/.

d) En déduire que, pour tout 1 ∈ ℕ , 9_/ = :^/9₈ .

e) Exprimer ._/et 0_/ en fonction de n. Les deux suites convergent-elles ?

EXERCICE 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormal =, > ?@, A ??@. Soit la courbe Γ définie en polaires par

CD =

_{5 EFGH}

1) a) Préciser l’ensemble de définition de C.

b) Justifier que C est périodique. Comparer C−D à CD.

c) En déduire que l’on peut faire l’étude de C sur l’intervalle [0, J[ . Par quelle symétrie obtiendra-t-on l’ensemble de la courbe Γ ? 2) a) Etudier les variations de C sur l’intervalle [0, J[ .

b) Faire l’étude de la branche infinie de Γ au voisinage de J. c) Tracer, avec soin, la courbe Γ. On précisera la tangente en 0.

P2

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3) On pose :

7 = CDK%D = CDL1D-

Déterminer une équation cartésienne de Γ ( c’est-à-dire une relation entre et ).

Reconnaître la conique considérée. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

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P3

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