Page 1/2
Les résultats doivent être encadrés ou soulignés. Soignez la rédaction.
Exercice 1 (à rédiger) Fonctions monotones - Théorème de la bijection
On donne ici une démonstration (plus simple) du théorème de la bijection, en n'utilisant que le théorème de Bolzano. Soit𝑓 une fonction monotone d'un intervalle𝐼 quelconque deRà valeurs réelles.
Soit𝑎∈𝐼, on rappelle que𝑓 admet une limite à gauche (respectivement à droite) en 𝑎si la restriction de𝑓 à 𝐼∩]− ∞;𝑎[(resp. à𝐼∩]𝑎; +∞[) admet un prolongement par continuité à𝐼∩]− ∞;𝑎](resp. à𝐼∩[𝑎; +∞[).
1. Montrer que𝑓 admet une limite à gauche en𝑎si et seulement si :∃ℓ∈R,∀𝜀 >0,∃𝜂 >0,∀𝑥∈𝐼, (𝑎−𝜂 < 𝑥 < 𝑎⇒ ∣𝑓(𝑥)−ℓ∣< 𝜀). On note alorslim𝑥→𝑎
𝑥<𝑎 𝑓(𝑥) =ℓ.
2. On suppose𝑓 croissante et𝑎distinct de inf𝐼. Montrer que𝑋 ={𝑓(𝑥)∣𝑥∈𝐼 et 𝑥 < 𝑎} est non vide et majoré par 𝑓(𝑎), puis quelim𝑥→𝑎
𝑥<𝑎 𝑓(𝑥)existe et vautsup𝑋.
3. Indiquer sans démonstration quels ensembles et quelles bornes considérer pour démontrer que toute fonction monotone admet des limites à gauche et à droite en tout point.
4. Soit 𝑓 ∈ 𝐶0(𝐼) et 𝐽 l'intervalle 𝑓(𝐼). On suppose de plus que 𝑓 est strictement monotone. Elle réalise donc une bijection de 𝐼 sur𝐽 et on note𝑔 sa bijection réciproque. Montrer que𝑔 est une application strictement monotone de𝐽 dans𝐼.
5. On garde les hypothèses et notations de la question précédente. Soit𝑎un point de𝐽, montrer que si𝑔n'est pas continue en𝑎, alors𝑔(𝑎)est distinct d'au moins l'une des limites à gauche ou à droite de 𝑔 en 𝑎, puis que 𝑔 n'atteint aucune des valeurs situées dans l'intervalle ouvert compris entre 𝑔(𝑎)et l'une des limites précédentes.
6. En déduire le théorème de la bijection.
Exercice 2 (à chercher) Lemme de Riemann-Lebesgue
On se donne𝜃une fonction continue deRdansRet 𝑇-périodique, avec𝑇 >0, et telle que∫
[0;𝑇]
𝜃= 0. Pour un intervalle compact 𝐼, 𝑓 ∈ 𝐶𝑚𝑐𝑥0 (𝐼) et 𝜆 réel, on s'intéresse à 𝐿𝑓,𝐼(𝜆) =
∫
𝐼
𝑓(𝑡)𝜃(𝜆𝑡)𝑑𝑡. On rappelle que, par changement de variables, on a, pour toute fonction continue par morceaux sur[𝑎;𝑏]et tout(𝛼, 𝛽)∈R∗×R,∫ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑡)𝑑𝑡=𝛼
∫ −𝛽+𝑏/𝛼
−𝛽+𝑎/𝛼
𝑓(𝛼𝑡+𝛽)𝑑𝑡. 1. Montrer que𝜃 est bornée surR. On notera𝑀 = supR∣𝜃∣.
2. Montrer, en utilisant relation de Chasles et périodicité, que pour tout réel𝑎,∫
[𝑎;𝑎+𝑇]
𝜃= 0. 3. On suppose 𝐼 = [𝑎;𝑏], 𝑓 = 1𝐼 et 𝜆 > 0. En notant 𝑛 la partie entière de 𝜆(𝑏−𝑎)/𝑇, montrer
∣𝐿𝑓,𝐼(𝜆)∣= 1 𝜆
∫ 𝜆𝑏
𝜆𝑎+𝑛𝑇
𝜃(𝑡)𝑑𝑡
≤𝑀 𝑇
𝜆 et en déduire lim
𝜆→+∞𝐿𝑓,𝐼(𝜆) = 0. 4. On suppose𝑓 en escalier sur 𝐼, montrer lim
𝜆→+∞𝐿𝑓,𝐼(𝜆) = 0.
5. On suppose𝑓 ∈𝐶0(𝐼). Soit𝜀un réel strictement positif. En utilisant l'uniforme continuité de 𝑓, montrer qu'il existe 𝑔, une fonction en escalier sur 𝐼, telle que sup𝐼∣𝑓 −𝑔∣ ≤ 𝜀 et en déduire :
∀𝜆∈R,∣𝐿𝑓,𝐼(𝜆)−𝐿𝑔,𝐼(𝜆)∣ ≤𝑀 𝜖(𝑏−𝑎). 6. En déduire, dans le cas général, qu'on a lim
𝜆→+∞𝐿𝑓,𝐼(𝜆) = 0et en particulier lim
𝑛→+∞
∫
𝐼
𝑓(𝑡) sin(𝑛𝑡)𝑑𝑡=
𝑛→+∞lim
∫
𝐼
𝑓(𝑡) cos(𝑛𝑡)𝑑𝑡= 0.
ℳ𝒫𝒮ℐ 2 DL 7 à rendre le 26/04/10
Page 2/2
Ce dernier exercice est à chercher si vous êtes intéressé(e) par une classe *.
Exercice 3 Fonctions continues et topologie
On rappelle (cf. devoir surveillé n7) qu'un intervalle compact𝐼satisfait à la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de𝐼 par des intervalles ouverts, on peut extraire un recouvrement ni.
Ceci amène les dénitions suivantes, pour𝑋 une partie deR.
1. On dit que𝑋 est un voisinage de𝑎si𝑋 contient un intervalle ouvert contenant𝑎. 2. On dit qu'un réel 𝑎est adhérent à𝑋 si tout voisinage de𝑎contient un point de𝑋. 3. On dit que𝑋 est fermé si tout point adhérent à𝑋 appartient à𝑋.
4. On dit 𝑋 est ouvert si, pour tout point𝑎de𝑋,𝑋 est un voisinage de𝑎.
5. On dit que𝑋 est compact si pour toute famille (𝑈𝑖)𝑖∈𝐼 d'ouverts telle que𝑋 ⊂∪
𝑖∈𝐼𝑈𝑖, on peut trouver un sous-ensemble ni𝐽 de𝐼 tel que𝑋 ⊂∪
𝑗∈𝐽𝑈𝑗.
6. On dit que𝑋 est connexe s'il n'est pas recouvert par deux ouverts disjoints le rencontrant : on ne peut trouver𝑈 et𝑉 ouverts tels que𝑈∩𝑉 =∅,𝑈∩𝑋∕=∅,𝑉 ∩𝑋 ∕=∅et 𝑋⊂𝑈∪𝑉.
Avec ces dénitions un intervalle ouvert est ouvert, un intervalle fermé est fermé et un intervalle compact est compact ! On rappelle que l'image directe de𝑋par une fonction est l'ensemble𝑓(𝑋) ={𝑦∈R∣ ∃𝑥∈ 𝑋,𝑦=𝑓(𝑥)}et que l'image réciproque de𝑋 est l'ensemble𝑓−1(𝑋) ={𝑥∈R∣𝑓(𝑥)∈𝑋}.
1. Montrer qu'une union quelconque d'ouverts est ouverte et qu'une intersection quelconque de fermés est fermée.
2. Montrer que le complémentaire R∖𝑋 de𝑋 est fermé si et seulement si𝑋 est ouvert.
3. En déduire que si𝑋⊂𝑌 avec𝑋 fermé et𝑌 compact, alors𝑋 est compact. (On pourra considérer un recouvrement ouvert de𝑋 et lui adjoindreR∖𝑋 an de recouvrir𝑌.)
4. Réciproquement, montrer qu'un compact est fermé. On montrera que son complémentaire est ouvert en prenant𝑎dansR∖𝑋 et, pour tout𝑥dans𝑋 deux intervalles ouverts disjoints𝑈𝑥et𝑉𝑥
contenant respectivement𝑥et𝑎. On montrera qu'une intersection nie de𝑉𝑥constitue un voisinage de𝑎ne rencontrant pas𝑋.
5. Montrer qu'une fonction𝑓 de𝑋 dansRest continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert (resp. fermé) est un ouvert (resp. fermé).
6. Montrer que l'image directe par une fonction continue d'un compact est compacte. En déduire le théorème de Weierstrass.
7. En déduire qu'une bijection continue d'un compact𝑋 (à valeurs réelles) est un homéomorphisme.
Puis en déduire le théorème de la bijection. (Utiliser les questions 3 et 5.)
8. Montrer que𝑋est connexe si et seulement s'il n'existe pas de fonction continue de𝑋dans{−1; +1}. 9. En déduire que l'image directe par une fonction continue d'un connexe est connexe. En déduire le
théorème de Bolzano.
10. Soit (𝐾𝑖)𝑖∈𝐼 une famille de compacts telle que, pour tout sous-ensemble ni𝐽 de𝐼,∩
𝑗∈𝐽𝐾𝑗 est non vide. Montrer que∩
𝑖∈𝐼𝐾𝑖est non vide. En déduire que𝐾= {+∞
∑
𝑛=0
𝑎𝑛3−𝑛∣𝑎𝑛 = 0ou𝑎𝑛 = 2 }
(ensemble tri-adique de Cantor) est compact.
11. En déduire le théorème de Bolzano-Weierstrass : tout sous-ensemble inni d'un compact 𝑋 admet un point adhérent dans𝑋.
12. En déduire que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i)𝑋 est compact, (ii)𝑋 est fermé et borné, (iii) tout sous-ensemble inni de 𝑋 admet un point adhérent dans𝑋.
ℳ𝒫𝒮ℐ 2 DL 7 à rendre le 26/04/10
