La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats doivent être encadrés.

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ECS2 Lycée Louis Pergaud

Devoir Surveillé du 03/12/2021

DS3

Durée : 4h

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats doivent être encadrés.

La calculatrice n’est pas autorisée.

Problème 1

Dans ce problème, n est un entier naturel non nul et R

n

[X] est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.

On note B = (e

₀

, e

₁

, . . . , e

_n

) la base canonique de R

n

[X]. On rappelle que e

₀

= 1 et que

∀k ∈ J 1, n K , e

_k

= X

^k

.

Partie I : Étude d’une application définie sur R

ⁿ

[X ].

On considère l’application ϕ qui à tout polynôme P de R

n

[X] associe ϕ(P ) =

n

X

k=0

P

^(k)

, où P

^(k)

désigne la dérivée d’ordre k de P , avec la convention P

⁽⁰⁾

= P .

1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de R

n

[X].

2. (a) Calculer ϕ(e

₀

) et en déduire une valeur propre de ϕ.

(b) Montrer que : ∀j ∈ J 1, n K , ϕ(e

_j

) − e

j

∈ R

^j−1

[X].

(c) En déduire que la matrice de ϕ dans la base B est triangulaire et que la seule valeur propre de ϕ est celle trouvée à la question précédente.

(d) Montrer que ϕ est un automorphisme de R

ⁿ

[X].

3. (a) Pour tout polynôme P de R

n

[X], calculer ϕ(P − P

⁰

).

(b) Déterminer ϕ

⁻¹

, puis écrire la matrice de ϕ

⁻¹

dans la base B . (c) On donne le script Scilab suivant :

1

n = input('entrez la valeur de n : ')

2

M = eye(n+1,n+1)

3

for k = 1:n

4

M(k,k+1) = -k

5

end

6

A = ---

7

disp(A)

Compléter la sixième ligne de ce script pour qu’il affiche la matrice A de ϕ dans la base B lorsque la valeur de n est entrée par l’utilisateur.

Partie II : Étude d’une autre application définie sur R

ⁿ

[X ].

On désigne par x un réel quelconque.

4. (a) Montrer que, pour tout entier naturel k, l’intégrale

Z +∞

x

t

^k

e

^−t

dt est convergente.

1

(2)

(b) En déduire que, si P est un polynôme de R

n

[X], alors l’intégrale

Z +∞

x

P (t)e

^−t

dt est convergente.

5. (a) Donner la valeur de l’intégrale

Z +∞

x

e

^−t

dt.

(b) Établir que pour tout entier naturel k, on a :

Z +∞

x

t

^k

e

^−t

dt = k!

k

X

i=0

x

ⁱ

i ! e

^−x

. 6. Informatique.

On admet que si u est un vecteur, la commande Scilab prod(u) renvoie le produit des éléments de u et la commande cumprod(u) renvoie un vecteur de même format que u dont le k

^ème

élément est le produit des k premiers éléments de u. Utiliser l’égalité obtenue à la question 5.(b) pour compléter le script Scilab suivant afin qu’il calcule et qu’il affiche la variable s contenant la valeur de l’intégrale

Z +∞

x

t

^k

e

^−t

dt, les valeurs de x et de k étant entrées par l’utilisateur.

1

k = input('entrez la valeur de k : ')

2

x = input('entrez la valeur de x : ')

3

p = prod(1:k)

4

u = ---./---

5

s = p---exp(-x)

6

disp(s)

On considère maintenant l’application qui, à tout polynôme P de R

ⁿ

[X], associe la fonc- tion F = ψ (P ) définie par :

∀x ∈ R , F (x) = e

^x

Z +∞

x

P (t) e

^−t

dt 7. (a) Montrer que ψ est un endomorphisme de R

n

[X].

(b) Justifier que F est de classe C

¹

sur R et donner une relation entre F , F

⁰

et P . (c) Montrer que ψ est un automorphisme de R

ⁿ

[X].

8. On considère un polynôme P non nul, vecteur propre de ψ pour une valeur propre λ non nulle.

(a) Utiliser la relation obtenue à la question 7.(b) pour établir que P

⁰

= λ − 1 λ P . (b) En déduire, en considérant les degrés, que λ = 1 est la seule valeur propre possible

de ψ.

(c) Montrer enfin que λ = 1 est bien la seule valeur propre de ψ. (On ne demande pas le sous-espace propre associé).

9. (a) Montrer que les endomorphismes ϕ et ψ sont égaux.

(b) En déduire que, si P est un polynôme de R

ⁿ

[X] et s’il existe un réel a tel que pour tout réel x supérieur ou égal à a, on a P (x) ≥ 0 , alors : ∀x ≥ a ,

n

X

i=0

P

⁽ⁱ⁾

(x) ≥ 0.

2

(3)

Problème 2

Partie I : Un calcul d’intégrales

1. Déterminer pour quelles valeurs du réel α l’intégrale J

_α

converge, où : J

_α

=

Z +∞

0

dt (1 + t

²

)

^α

.

2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout réel α supérieur ou égal à 1, on a :

Z +∞

0

t

²

(1 + t

²

)

^α+1

dt = 1 2α J

_α

. En déduire que pour tout réel α supérieur ou égal à 1, on a :

J

_α+1

= 2α − 1 2α J

_α

.

3. Calculer J

₁

. Pour n entier supérieur ou égal à 1, calculer J

_n

.

Partie II : Loi de Student à n degrés de liberté

Pour n ∈ N

^∗

, on définit sur R la fonction g

n

par :

∀t ∈ R , g

n

(t) = 1 + t

²

n

!−ⁿ⁺¹₂

.

4. Justifier que pour tout n ∈ N

^∗

, il existe un réel k

_n

tel que la fonction f

_n

= 1 k

n

g

_n

soit une densité de probabilité.

Exprimer k

_n

à l’aide de J

ⁿ⁺¹

2

(on pourra à cet effet utiliser le changement de variable y =

^√^t_n

).

5. Soit (Ω, A , P ) un espace probabilisé et X une variable aléatoire définie sur (Ω, A , P ) de densité f

_n

.

On dit alors que X suit une loi de Student à n degrés de liberté.

(a) Montrer que X admet une espérance si et seulement si n > 1. Déterminer E(X) dans ce cas.

(b) Montrer que X admet une variance si et seulement si n > 2. Exprimer alors V (X) en fonction de k

_n

, n et J

ⁿ⁺¹

2

, puis vérifier que : V (X) = n

n − 2 .

Lorsque n = 1, la loi de Student à 1 degré de liberté s’appelle loi de Cauchy, et une densité sur R est donc :

f

₁

: t 7→ 1 π

1 1 + t

²

.

3

(4)

Partie III : Simulation d’une loi

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O,~i,~j), un rayon lumineux part de l’origine O et frappe un écran représenté par la droite d’équation x = 1, en un point M . On suppose que Θ, mesure de l’angle ( ~i, −−→

OM), est une variable aléatoire de loi uniforme sur ]−

^π₂

,

^π₂

[.

On note Y la variable aléatoire égale à l’ordonnée du point M .

6. Rappeler l’expression de la fonction de répartition de la variable Θ.

7. (a) Justifier que Y = tan(Θ).

(b) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y .

(c) En déduire que Y est une variable aléatoire à densité, dont on précisera une densité.

Reconnaitre la loi de Y .

8. On rappelle qu’en langage Scilab , la fonction rand() simule une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0, 1[. On considère le programme informatique suivant.

1

function Y=simu()

2

theta = %pi*rand()-%pi/2

3

Y = tan(theta)

4

endfunction

Quelle loi de probabilité ce programme permet-il de simuler ? Expliquer.

Partie IV : Simulation d’une autre loi

10. Pour tout x ∈ R , on pose h(x) = 2 π

e

^x

e

^2x

+ 1 . Montrer que h est une densité.

On pourra utiliser le changement de variable t = e

^x

après l’avoir justifié.

11. Soit (Ω, A , P ) un espace probabilisé et Z une variable aléatoire à densité, de densité h.

On pose T = e

^Z

.

Montrer que T est une variable à densité, et déterminer une densité de T . 12. Soit Y une variable aléatoire suivant une loi de Cauchy, et soit U = |Y |.

Montrer que U est une variable à densité suivant la même loi que T .

13. Écrire une (ou des) commande(s) Scilab utilisant la fonction simu() de la partie III et permettant de simuler la variable Z .

4