ECS2 Lycée Louis Pergaud
Devoir Surveillé du 17/11/2021
DS2
Durée : 2h
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats doivent être encadrés.
La calculatrice n’est pas autorisée.
Exercice 1
On considère les matrices suivantes de M
4( R ) :
I =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
, J =
0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
, K =
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
, L =
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 1 0 0
−1 0 0 0
.
On note E le sous-espace vectoriel de M
4( R ) engendré par (I, J, K, L), et Id l’endomorphisme identité de E. On pose A = J + K.
1. Montrer que (I, J, K, L) est une base de E et donner la dimension de E.
2. (a) Exprimer J × K et J
2en fonction de I, J, K et L.
On admettra qu’on a également les égalités suivantes :
K × L = J, L × J = K et K
2= L
2= −I.
(b) En déduire que K × J = −L, L × K = −J et J × L = −K.
(c) En déduire que E est stable pour le produit matriciel, c’est-à-dire que :
∀(M, N ) ∈ E
2, M × N ∈ E.
3. Calculer A
2. En déduire que A est inversible et exprimer A
−1en fonction de A.
4. On considère maintenant l’application ϕ
Aqui à toute matrice M de E associe : ϕ
A(M) = AM A
−1.
(a) Montrer que ϕ
Aest un endomorphisme de E.
(b) Déterminer Ker(ϕ
A), puis montrer que ϕ
Aest un automorphisme de E.
5. (a) Déterminer la matrice Φ
Ade ϕ
Adans la base (I, J, K, L).
(b) Déterminer une base des sous-espaces vectoriels Ker(ϕ
A− Id) et Ker(ϕ
A+ Id).
(c) Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de ϕ
Aest
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
.
Exercice 2
Soit N un entier supérieur ou égal à 2.
Une urne contient N boules dont N −2 sont blanches et 2 sont noires. On tire au hasard, successivement et sans remise, les N boules de cette urne.
Les tirages étant numérotés de 1 à N , on note X
1la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la première fois, une boule noire et X
2la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la deuxième fois, une boule noire.
1
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1. Soient i et j deux entiers de l’intervalle J 1, N K . Montrer qu’on a :
P ([X
1= i] ∩ [X
2= j]) =
0 si 1 ≤ j ≤ i ≤ N, 2
N (N − 1) si 1 ≤ i < j ≤ N.
2. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires X
1et X
2. Ces variables sont-elles indépendantes ?
3. (a) Montrer que la variable Y = N + 1 − X
2a même loi que X
1.
(b) Déterminer la loi de la variable Z = X
2− X
1et la comparer à celle de X
1. 4. À l’aide des résultats de la question 3 :
(a) Calculer les espérances E(X
1) et E(X
2).
(b) Montrer l’égalité des variances V (X
1) et V (X
2).
(c) Établir la relation : 2Cov(X
1, X
2) = V (X
1) où Cov(X
1, X
2) désigne la covariance des variables X
1et X
2.
(d) En déduire la valeur de ρ
X1,X2et interpréter son signe.
Exercice 3
Pour tout n ∈ N
∗, on pose u
n= Z
+∞0
e
−xx +
n1dx.
1. Montrer que la suite (u
n)
n∈N∗est bien définie.
2. Pour tout n ∈ N
∗, on pose alors v
n= Z
10
e
−xx +
1ndx et w
n= Z
+∞1
e
−xx +
n1dx.
(a) Montrer que : ∀n ∈ N
∗, 0 ≤ w
n≤ 1 e . (b) Montrer que : ∀n ∈ N
∗, v
n≥ 1
e ln(n + 1).
(c) Donner la limite de la suite (u
n).
3. On se propose de déterminer un équivalent de u
nlorsque n est au voisinage de +∞.
(a) Montrer que l’intégrale I = Z
10
1 − e
−xx dx est une intégrale convergente.
(b) Établir que : ∀n ∈ N
∗, 0 ≤ Z
10
