- La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

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TS - Spécialité Math – Contrôle n°1

- Laissez une marge à droite.

- La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.

- La calculatrice est autorisée, le téléphone portable et la montre connectée sont interdits.

- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.

- Si, au cours de l'épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur

d'énoncé, signalez-la sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.

- Les exercices peuvent être faits dans le désordre.

Exercice n°1 [4 pts]

n et p étant des nombres entiers relatifs, résoudre l'équation ¤n

–np=11 . (On pourra factoriser par n , et dresser la liste des diviseurs de ... )

Exercice n°2 [4 pts][Type Bac]

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 2 points sont attribués par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

/iv{ /t{3;5}} /iv{/t{7;2} }

On considère le système d'inconnue n ( n étant un entier naturel) /se{n equiv /calc{11+µ*#2} [#2];n equiv /calc{11+µ*#3} [#3]}

Affirmation 1 :

Si n est solution de ce système, alors n – 11 est divisible par #2 et par #3 . Affirmation 2 :

Pour tout entier relatif k , l'entier 11 + /calc{#2*#3}k est solution du système.

Exercice n°3 [4 pts]

On considère la suite (u

) d'entiers naturels définie par : u

=7 et, pour tout entier naturel non nul, u

=$/t{8u _n + 1;5u _n + 2;2u _n + 3}$

1) Calculer les termes u

, u

, u

, u

et u

. Émettre une conjecture sur le dernier chiffre de u

.

2) Démontrer cette conjecture.

Exercice n°4 [3 pts][Cours]

[Question de démonstration du cours]

Démontrer, en utilisant les restes de division euclidienne, que :

/t{ Si §[a equiv b [n]]§ alors §[ac equiv …….. [n]]§. ; Si §[a equiv b [n]]§ et §[b equiv c [n]]§ alors §[a equiv ...]§ ; Si §[a equiv b [n]]§ et §[a' equiv b' [n]]§ alors §[a+a'

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equiv………..[n]]§.}

Exercice n°5 [3 pts][Ex.de base]

Pour quelle valeur de n , entier naturel, ¤n

–¤ est-il un multiple de /t{3;4;5;6} ? Exercice n°6 [5 pts]

Les trois questions sont indépendantes

1)

On s'intéresse à une division euclidienne dans N. Le dividende d'une division euclidienne est inférieur à 1500. Le quotient de cette même division euclidienne est égal à 47 et le reste à 2µ. Déterminer les valeurs possibles du dividende et du diviseur.

2)

a et b sont deux entiers naturels non nuls. Dans la division euclidienne de a par

b , le reste r est supérieur ou égal au quotient q . Prouver que si l'on effectue la division euclidienne de a par b + 1 , on obtient le même quotient. Quel est alors le reste ?

3)

Effectuer la division euclidienne de 2n+/t{7;8;9} par n+3 , n étant un entier naturel non nul.

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