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Terminale Spé math – Contrôle n°2
•
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.•
Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.•
Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.•
Si, au cours de l'épreuve, vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, signalez-la sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.•
Les exercices peuvent être faits dans le désordre. Pas les questions.•
Le barème total est volontairement sur plus de 20 pour laisser un peu de choix entre les exercices (une note supérieure à 20 donnera 20/20).Exercice n°1 (4 pts)
/iv{/al{-9;9;0}} /iv{/al{-9;9;0}} /iv{/al{-9;9;0}} /iv{/al{-9;9;0}}
Résoudre le système d’équations suivant (la calculatrice est autorisée - mais expliquez votre démarche) :
/se{/t{-¤;¤}x/t{-¤;+¤}y/t{-¤;+¤}z/t{-¤;+¤}t=/
calc{#7*#1+#10*#2+#13*#3+#16*#4};/t{-¤;¤}x/t{-¤;+¤}y/t{-¤;+¤}z/t{-¤;+¤}t=/
calc{#20*#1+#23*#2+#26*#3+#29*#4};/t{-¤;¤}x/t{-¤;+¤}y/t{-¤;+¤}z/t{-¤;+
¤}t=/calc{#33*#1+#36*#2+#39*#3+#42*#4};/t{-¤;¤}x/t{-¤;+¤}y/t{-¤;+¤}z/t{-¤;
+¤}t=/calc{#46*#1+#49*#2+#52*#3+#55*#4}}
Exercice n°2 (3 pts)
Déterminer les entiers
x
tels que $µ +/t{3;4;5;8;9}
x$ $x + µ$[6]
Exercice n°3 (3 pts)
Déterminer les entiers
x
tels que $/t{3;4;5;6;7;8;9}x + µ | x – µ$ .
Exercice n°5 (4 pts)
/iv{/al{-9;9;0}} /iv{/al{-9;9;0}} /iv{/al{-9;9;0}}
On donne les trois suites suivantes :
/se{a_{n+1}=/fs{#59+2*#60;3}a_n+/fs{#59-2*#60+#61;3}b_n+/fs{#59-
#61;3}c_n;b_{n+1}=/fs{#59-#60;3}a_n+/fs{#59+#60+#61;3}b_n+/fs{#59-
#61;3}c_n;c_{n+1}=/fs{#59-#60;3}a_n+/fs{#59+#60-2*#61;3}b_n+/
fs{#59+2*#61;3}c_n}
et $a_0=1$, $b_0=0$ et $c_0=0$.
1. Montrer que ce système peut se traduire par une relation matricielle du type
X
n+1= X
nT
oùX
n+1= /mat{a_{n+1};b_{n+1};c_{n+1}}
,X
n= /mat{a_{n};b_{n};c_{n}}
etT
une matrice carrée d’ordre3
que l’on déterminera.2. Soit la matrice
P = /mat{1;-1;0;;1;1;1;;1;0;-1}
. a. Déterminer la matrice inverse deP
.b. Montrer que
P
-1TP
est une matrice diagonale.1/4
2/4 -
c. Soit
D
la matrice diagonale ainsi obtenue. Montrer queT = PDP
-1. d. Montrer queT
n= PD
nP
-1.e. Donner sans justification la matrice
D
n. f. En déduireT
n.g. En déduire
X
nen fonction den
.3. Déduire de ce qui précède les expressions des suites en fonction de
n
, puis le comportant de chaque suite quandn
tend vers l’infini.2/4
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Résultats :
Ex.1 : $x=#1$, $y=#2$, $z=#3$, $t=#4$
Ex.2 : 2.a. Matrice $P^{-1} =
/mat{/f{1;3};/f{1;3};/f{1;3};;/f{-2;3};/f{1;3};/f{1;3};;/f{1;3};/f{1;3};/
f{-2;3}}$.
b. Matrice diagonale : $D=/mat{#63;0;0;;0;#64;0;;0;0;#65}$.
c. Réponse donnée.
d. Réponse donnée.
e. $D^n=/mat{(#63)^n;0;0;;0;(#64)^n;0;;0;0;(#65)^n}$.
f. $/mat{/f{1;3}((#63)^n+2×(#64)^n);/f{1;3}((#63)^n-
(#64)^n);/f{1;3}((#63)^n+(#64)^n);;/f{1;3}((#63)^n-2×(#64)^n+
(#65)^n);/f{1;3}((#63)^n+(#64)^n+(#65)^n);/f{1;3}((#63)^n- 2×(#64)^n-2×(#65)^n);;/f{1;3}((#63)^n-(#65)^n);/f{1;3}((#63)^n- (#65)^n);/f{1;3}((#63)^n+2×(#65)^n)}$.
g. $x_{11} = /f{1;3}((#63)^n+2×(#64)^n) $.
$x_{12} =/f{1;3}((#63)^n-(#64)^n) $.
$x_{13} = /f{1;3}((#63)^n+(#64)^n) $.
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4/4 -
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