La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Lycée Carnot Epreuve commune de mathématiques n˚1-Terminales S 13 Janvier 2009 Calculatrice autorisée S p ecialit ´ e ´ P hysique ou S.V.T. Durée : 4 heures

La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E xercice 1 6 points Partie A

On note P(z) = z ³ − (4 + 3i)z ² + (5 + 12i)z − 15i, où z est un nombre complexe.

1. Calculer P(3i).

2. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que P(z) = (z − 3i)(z ² + az + b). Calculer a et b.

3. Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.

Partie B

On pose z _A = 3i et z _B = 2 − i et on munit le plan complexe d’un repère (O, ~ u,~ v) orthonormal.

On considère l’application f qui à tout point M du plan d’a ffi xe z, di ff érent du point B associe le point M ⁰ d’a ffi xe z ⁰ telle que z ⁰ = i(z − 3i)

z − 2 + i .

1. Déterminer tous les points M dont l’image par f est le point d’abscisse 3i.

2. Démontrer ( à l’aide d’une méthode de votre choix, algébrique, géométrique, autre...) que l’ensemble des points M différents de B tels que M’ est sur l’axe des ordonnées est la droite (AB) privée de B.

3. (a) Montrer que, pour z , z B , on a z ⁰ − i = 4 + 2i z − 2 + i . (b) Montrer que |z ⁰ − i| × |z − 2 + i| = 2 √

5.

(c) En déduire que si M appartient au cercle Γ de centre B de rayon √

5 alors M ⁰ appartient à un cercle Γ ⁰ dont on déterminera le centre et le rayon.

(d) Tracer dans le repère (O, ~ u,~ v) les points A, B et les cercles Γ et Γ ⁰ . 4. Soit J le milieu du segment [AB].

(a) Montrer que J est sur le cercle Γ .

(b) A l’aide des questions précédentes, déterminer l’image de J par f sans calculer cette image par la formule de f .

E xercice 2 6 points

Soit la fonction f définie sur R par f ( x) = (1 − x)e ^x

On note C f la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé O,~ı, ~

1. (a) Donner les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

(b) En déduire que C _f admet une asymptote ∆ au voisinage de −∞ dont on donnera une équation.

2. (a) Déterminer f ⁰ ( x), où f ⁰ est la dérivée de f.

(b) Construire le tableau de variations de f

3. (a) Déterminer une équation de la tangente T ₁ au point A d’abscisse 1 de la courbe C f et une équation de la tangente T − 1 au point B d’abscisse −1.

(b) Expliquer pourquoi l’on peut affirmer que les tangentes T ₁ et T ₋₁ sont perpendiculaires.

4. On se propose d’étudier la position de C f par rapport à T ₋₁ . Pour cela, on considère la fonction g définie sur R par :

g(x) = (1 − x)e ^x − x + 3 e

!

(a) Déterminer g ⁰ ( x) et g ⁰⁰ (x), où g ⁰ sont les dérivées première et seconde de g.

(b) Etudier le signe de g ⁰⁰ et le sens de variation de de g ⁰ . Préciser la valeur de g( − 1).

Donner le signe de g.

(c) Indiquer alors la position de la courbe C f par rapport à la tangente T ₋₁

E xercice 3 5 points

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e ^x − x − 1 et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

1. (a) Etudier les variations de f sur R. En déduire que, pour tout x dans R, f (x) > 0.

(b) A l’aide de la question précédente, démontrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a e

> 1 + 1 n (c) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, 1 + 1

n

! n

6 e

2. Soit x un réel positif. Démontrer, par récurrence, que pour tout n entier positif, 1 + nx 6 (1 + x) ⁿ 3. Déduire des questions précédentes que 2 6 1 + 1

n

! n

6 e 4. On pose u n = 1 + 1

n

! n

.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si les questions précédentes permettent de répondre "oui", "non", ou

"on ne peut pas savoir", et justifier votre réponse : a) lim

n→ + ∞ u _n = 1 b) lim

n→ + ∞ u _n = + ∞ c) lim

n→ + ∞ u _n = e

E xercice 4 3 points

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, il y a une seule réponse exacte. Dire laquelle en justifiant votre réponse.

On peut justifier en démontrant que la proposition choisie est vraie ou bien en démontrant que les deux autres sont fausses.

Question 1

Si ABC est un triangle isocèle en B alors : a z _C − z _B = z _A − z _B b z _C − z _B

z _A − z _B ∈ R c

z _C − z _B z _A − z _B = 1 Question 2

a Si une suite n’est pas minorée, alors elle a une limite réelle.

b Si une suite est croissante et à valeurs positive à partir d’un certain rang, alors elle tend vers + ∞ b Si une suite est géométrique et croissante alors elle n’a pas de limite réelle.

Question 3

Soit la suite (u n ) définie par u _n = 1 n ² + 2

n ² + · · · + n

n ² pour tout n entier naturel non nul.

a lim

n→ + ∞ u n = + ∞ b lim

n→ + ∞ u n = 0 c lim

n→ + ∞ u n = 1

2

Lycée Carnot Epreuve commune de mathématiques n˚1-Terminales S 13 Janvier 2009 Calculatrice autorisée S p´ ecialit´ e M ath´ ematiques Durée : 4 heures

La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E xercice 1 6 points Partie A

On note P(z) = z ³ − (4 + 3i)z ² + (5 + 12i)z − 15i, où z est un nombre complexe.

1. Calculer P(3i).

2. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que P(z) = (z − 3i)(z ² + az + b). Calculer a et b.

3. Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.

Partie B

On pose z _A = 3i et z _B = 2 − i et on munit le plan complexe d’un repère (O, ~ u,~ v) orthonormal.

On considère l’application f qui à tout point M du plan d’a ffi xe z, di ff érent du point B associe le point M ⁰ d’a ffi xe z ⁰ telle que z ⁰ = i(z − 3i)

z − 2 + i .

1. Déterminer tous les points M dont l’image par f est le point d’abscisse 3i.

2. Démontrer ( à l’aide d’une méthode de votre choix, algébrique, géométrique, autre...) que l’ensemble des points M différents de B tels que M’ est sur l’axe des ordonnées est la droite (AB) privée de B.

3. (a) Montrer que, pour z , z B , on a z ⁰ − i = 4 + 2i z − 2 + i . (b) Montrer que |z ⁰ − i| × |z − 2 + i| = 2 √

5.

(c) En déduire que si M appartient au cercle Γ de centre B de rayon √

5 alors M ⁰ appartient à un cercle Γ ⁰ dont on déterminera le centre et le rayon.

(d) Tracer dans le repère (O, ~ u,~ v) les points A, B et les cercles Γ et Γ ⁰ . 4. Soit J le milieu du segment [AB].

(a) Montrer que J est sur le cercle Γ.

(b) A l’aide des questions précédentes, déterminer l’image de J par f sans calculer cette image par la formule de f .

E xercice 2 5 points

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e ^x − x − 1 et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

1. (a) Etudier les variations de f sur R . En déduire que, pour tout x dans R , f (x) > 0.

(b) A l’aide de la question précédente, démontrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a e

> 1 + 1 n (c) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, 1 + 1

n

! n

6 e

2. Soit x un réel positif. Démontrer, par récurrence, que pour tout n entier positif, 1 + nx 6 (1 + x) ⁿ 3. Déduire des questions précédentes que 2 6 1 + 1

n

! n

6 e 4. On pose u n = 1 + 1

n

! n

.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si les questions précédentes permettent de répondre "oui", "non", ou

"on ne peut pas savoir", et justifier votre réponse : a) lim

n→ + ∞ u n = 1 b) lim

n→ + ∞ u n = + ∞ c) lim

n→ + ∞ u n = e

E xercice 3 6 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On se propose de déterminer l’ensemble des entiers relatifs n solutions du système (S ) ( n ≡ 1 [5]

n ≡ 5 [7]

1. a, b et c sont trois entiers naturels avec a et b premiers entre eux.

(a) Démontrer qu’il existe au moins deux entiers u et v tels que a.u.c + b.v.c = c (b) En déduire que : si a et b divisent c, alors a × b divise c.

2. (a) Démontrer que si n est solution de (S ), alors ( 4n + 1 ≡ 0 [5]

4n + 1 ≡ 0 [7]

(b) En déduire que, pour tout entier n solution de (S ) il existe un entier k tel que 35k − 4n = 1 3. Déterminer les solutions de (S )

Partie B

1. (a) Montrer que : 2 ²⁰¹⁰ − 1 = (2 ²⁰⁰⁰ − 1) × 2 ¹⁰ + 2 ¹⁰ − 1.

En déduire le reste et le quotient de la division de 2 ²⁰¹⁰ − 1 par 2 ¹⁰⁰⁰ − 1 (b) Montrer alors que PGCD(2 ²⁰¹⁰ − 1, 2 ¹⁰⁰⁰ − 1) = PGCD(2 ¹⁰⁰⁰ − 1, 2 ¹⁰ − 1) 2. On admettra sans démonstration que, pour tout réel x et tout entier naturel non nul n :

x ⁿ − 1 = (x − 1)(1 + x + x ² + · · · + x ⁿ⁻¹ ).

En déduire que que 2 ¹⁰⁰⁰ − 1 est un multiple de 2 ¹⁰ − 1.

Déterminer alors PGCD(2 ²⁰¹⁰ − 1, 2 ¹⁰⁰⁰ − 1)

E xercice 4 3 points

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, il y a une seule réponse exacte. Dire laquelle en justifiant votre réponse.

On peut justifier en démontrant que la proposition choisie est vraie ou bien en démontrant que les deux autres sont fausses.

Question 1

Si ABC est un triangle isocèle en B alors : a z _C − z _B = z _A − z _B b z _C − z _B

z _A − z _B ∈ R c

z _C − z _B z _A − z _B = 1 Question 2

a Si une suite n’est pas minorée, alors elle a une limite réelle.

b Si une suite est croissante et à valeurs positive à partir d’un certain rang, alors elle tend vers + ∞ b Si une suite est géométrique et croissante alors elle n’a pas de limite réelle.

Question 3

Soit la suite (u n ) définie par u _n = 1 n ² + 2

n ² + · · · + n

n ² pour tout n entier naturel non nul.

a lim

n→ + ∞ u n = + ∞ b lim

n→ + ∞ u n = 0 c lim

n→ + ∞ u n = 1

2