Doc généré n° 1 : TS - Contrôle n°2 (1h) • La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. •

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Doc généré n° 1 : TS - Contrôle n°2 (1h)

• La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

• Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.

• La calculatrice est autorisée.

• Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.

• Si, au cours de l'épreuve, vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, signalez-la sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.

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Exercice n°1 (20 pts)

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.

On admet que :

• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,2 ;

• s’il gagne,la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;

• s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,1.

On note, pour tout entier naturel non nul :

• G n l’événement "le joueur gagne la n -ième partie" ;

• p n la probabilité de l’événement G n . On a donc p 1 = 0,2

1. [3] Construire l'arbre pondéré schématisant les deux premières parties successives, avec toutes les probabilités de toutes les branches.

2. ^[2] Montrer que p 2 = 0,24 .

3. [2] Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.

4. ^[2] Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.

5. [3] En faisant l’arbre au rang n et n+1 , montrer que pour tout entier naturel n strictement plus grand que 1, p n+1 = 0,7p n + 0,1

6. ^[3] On pose, pour tout n strictement plus grand que 1 , q n = p n - ¹

3 . Montrer que (q n )

est géométrique. Déterminer sa raison.

7. [2] En déduire, pour tout n strictement plus grand que 1 , l'expression de p n en fonction de n .

8. ^[3] Déterminer la limite de la suite (p n ) quand n tend vers +∞. Interpréter ce résultat.

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