La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Page 1 / 3 Lycée Carnot Epreuve commune de mathématiques n˚1-Terminales S 15 Décembre 2010

Calculatrice autorisée S p ´ ecialit ´ e M ath ematiques ´ Durée : 4 heures

La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E xercice 1 5 points

On rappelle que si u est dérivable sur I et f dérivable sur J ⊂ f (I) alors f ◦ u est dérivable sur I et

∀x ∈ I, ( f ◦ u)

(x) = u

(x). f

(u(x)) On admet l’existence d’une fonction f définie et dérivable sur ] − 1; 1[ telle que

f(0) = 0 et ∀x ∈] − 1; 1[, f

(x) = 1

√ 1 − x

1. Donner le sens de variations de f et dresser son tableau de variations.

2. Soit la fonction g définie sur ] − 1; 1[ par g(x) = f (x) + f (−x)

(a) Montrer que la fonction g est constante. (Indication : on pourra calculer g

(x)) (b) En déduire que f est impaire

3. Le but de cette question est de construire une courbe approchée de C

sur

"

− 9 10 ; 9

10

#

en utilisant la méthode d’Euler. Pour cela, on considère la suite des 10 points M

( x

, y

) où :

la suite (x

) est définie par :

( x

= x

+ 0, 1 pour n = 0, 1, 2, . . . 8 x

= 0

la suite (y

) est définie par :



 

 



 

 



y

= 0, 1

p 1 − x

+ y

pour n = 0, 1, 2, . . . 8 y

= 0

(a) Justifier que le point M

est le point d’abscisse 0, 1 de la tangente à C

en O(0, 0)

(b) Compléter, sur la feuille annexe, le tableau des coordonnées des points M

donné ci-dessous.

(On calculera une valeur approchée à 10

près de chacune des trois valeurs y

manquantes.) x

0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9

y

0 0, 100 0, 201 0, 303 0, 407 ... ... 0, 757 ... 1, 064

Quelle est la valeur approchée de f (1/2) donnée par la méthode d’Euler ? Pouvez vous évaluer l’erreur com- mise en prenant cette valeur approchée pour f (1/2) ?

(c) Tracer sur

"

− 9 10 ; 9

10

#

une courbe approchée de celle de f en complétant le graphique donné en annexe.

4. Soit la fonction h définie sur

− π 2 ; π

2

par h( x) = f (sin(x)) − x (a) Montrer que h est dérivable sur

− π 2 ; π

2

et déterminer la fonction h

(b) En déduire que ∀x ∈

− π 2 ; π

2

f (sin x) = x (c) Calculer les valeurs exactes de f 1

2

! , f



 

 



√ 2 2



 

 

 , f



 

 



√ 3 2



 

 

 , à partir de ces valeurs exactes, donner des valeurs approchées à 10

près de ces trois nombres.

(d) La valeur approchée de f (1/2) obtenue par la méthode d’Euler est-elle une valeur approchée de f (1/2) à 10

près ? (Justifiez)

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E xercice 2 5 points

−5 −4 −3 −2 −1 1 2

−2

−1 1 2 3 4

0

C

C

On considère la fonction g définie sur R par g(x) = ae

+ be

+ c où a, b et c sont trois réels à déterminer. La courbe de la fonction g est donnée ci-dessus.

On suppose que la courbe de g possède comme asymptote horizontale la droite d’équation y = −1 et qu’elle possède au point A(0; − 2) une tangente horizontale.

Partie A

1. Déterminer la limite de g en −∞ et en déduire la valeur de c 2. Donner l’expression de g

(x) en fonction x , a et b.

3. Quelle est la valeur de g(0) et de g

(0) ? En déduire les valeurs de a et b Partie B

On suppose désormais que g(x) = e

− 2e

− 1 1. Calculer la limite de g en + ∞

2. Etudier les variations de g

3. On admet que l’équation g(x) = 0 possède une unique solution α sur R (a) Donner, à l’aide dela calculatrice, un encadrement de α à 10

près (b) Déterminer le signe de g sur R

Partie C

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = e

+ e

− 2x. La courbe de la fonction f est donnée ci-dessus.

1. Déterminer les limites de f en −∞ et en + ∞

2. Calculer f

( x) et montrer que f

( x) a le signe de g(x) 3. Déterminer les variations de f

4. Calculer une équation de la tangente T à C

au point d’abscisse 0 et étudier les positions relatives de C

et de T

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E xercice 3 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O, ~ u,~ v

, on considère les points A, B, C, D et E d’a ffi xes respectives

z

= 1 − i, z

= 1 + i, z

= i, et z

= 1 et z

= 2

On considère l’application f qui, à tout point M di ff érent de D associe le point M

d’a ffi xe z

= z − 2 z − 1 1. (a) Résoudre dans C l’équation z − 2

z − 1 = z

(b) En déduire les points associés à A et B par l’application f .

2. Déterminer le point F dont le point associé par l’application f est le point C.

3. (a) Écrire le nombre complexe z

− z

z

− z

sous forme exponentielle (b) En déduire la nature du triangle AEB

4. (a) Déterminer l’ensemble des points M dont le point associé M

appartient au cercle de centre O et de rayon 1.

(b) Soit n un entier naturel non nul. On considère l’équation d’inconnue z dans C : z − 2 z − 1

!

= i

Démontrer, à l’aide d’une interprétation géométrique, que toute solution de cette équation a pour partie réelle 3

2

5. On se propose de construire géométriquement les points dont l’affixe z vérifie équation : z − 2 z − 1

!

= i.

(a) Démontrer l’équivalence suivante :

Dire qu’un point est solution équivaut à dire que l’a ffi xe de son point associé par f est e

ou e

(b) Énoncer une construction géométrique des solutions et réaliser cette construction sur la feuille annexe en laissant apparents les traits de construction. On prendra une unité graphique de 4 cm.

E xercice 4 5 points

L’exercice comporte 5 questions indépendantes de type vrai/faux. A chaque question, on énonce une proposition, et on demande de dire si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant chaque réponse.

1. L’équation x

= 4y

+ 20 admet exactement 3 couples (x, y) d’entiers naturels solutions.

2. Soit x un entier relatif

x

+ x + 3 est divisible par 5 si et seulement si le reste de la division euclidienne de x par 5 est égal à 1.

3. 17

≡ 1 [15]

4. Il existe un entier naturel non nul n tel que le reste dans la division euclidienne de 3n + 2 par 2n − 1 soit égal à 7.

5. Soit x et y deux entiers naturels.

Dire que 11 divise x et y équivaut à dire que 11 divise 3x + y et 5x − 2y