Doc généré n° 1 :
TS – Contrôle n°4
•
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.•
Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.•
La calculatrice est autorisée.•
Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.•
Si, au cours de l'épreuve, vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, signalez-la sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.•
Faites une marge à gauche.• Les exercices peuvent être faits dans le désordre.
Exercice n°1 (14 pts)
1. On considère la fonction g définie sur [ 1 ; + ∞ [ par : g(x) = ln(2x) + 4 – x. a.[3] Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution nommée α . b.[1] Démontrer que ln(2α) + 4 = α .
2. Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n : un+1 = ln(2un) + 4
a.[1] Calculer, au centième près, u1et u2.
b.[2] Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4 un un+1 12 .
c.[1] Démontrer que la suite (un) converge vers α .
3. On considère la fonction f définie sur [ 1 ; + ∞ [ par : f(x) = (x –1)e4– x .
On désigne par c la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal . Cette courbe est donnée en annexe.
a.[2] Soit F la fonction définie par F(x) = −xe4– x+4. Montrer que F est une primitive de f , qui s’annule en 4 .
b.[2] Démontrer que, sur [ 1 ; + ∞ [, l’équation F(x)=7
2 est équivalente à l’équation
ln(2x) + 4 = x .
c.[2]Soit a un nombre réel supérieur ou égal à 4. On considère la partie da du plan limitée par la courbe c, et les droites d’équation x = 4 et x = a.
- A quoi doit être égal a pour que l’aire de da soit égale à 7 2 - Donner une valeur approchée de a.
- Dessiner ce domaine sur l’annexe.
• Si un sondage est négatif , le suivant a la probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif (c’est à dire p1 = 1).
1.[2] Calculer les probabilités des évènement suivants : a. A : « Les 2e et et 3e sondages sont positifs. » b. B : « Les 2e et et 3e sondages sont négatifs. » 2.[1] Calculer la probabilité p3.
3.[1]n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé :
4.[1] Pour tout entier naturel n non nul, établir que :
pn+1 = 0,5pn + 0,1.
5.[1] On pose, pour tout entier naturel non nul, un=pn - 1
5. Montrer que (un) est une suite géométrique, et en déduire pnen fonction de n.
6.[1] Déduire de ce qui précède la limite, quand n tend vers l’infini, de la probabilité
pn.
2/5
Annexe
ff
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
-1
-2
4/5
