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IPSA | Partiel de transfert thermique du 24 janvier 2018

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PAGE DE GARDE – SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2017-2018 Classe : Aéro-3

Type d’examen : PARTIEL Matière : Transfert thermique Code matière : En 31 tc Date : 24 janvier 2018 Horaire :

Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui

Documents autorisés : NON, Formulaire fourni à la fin du sujet.

Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses.

Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, la note attribuée sera égale à zéro.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /10 Exercice 2 : /6 Exercice 3 : /4 Exercice 4 : /4

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

Corrigé

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Exercice 1 : Voiture noire ou blanche au soleil (10 points)

Une voiture, de couleur noire, est exposée au soleil un jour d’été. La température extérieure est Te.

Cette voiture considérée comme un corps noir reçoit à la fois :

✓ Du rayonnement solaire arrivant perpendiculairement avec une densité de flux solaire φs = 700 W/m².

✓ Du rayonnement de l’atmosphère que l’on peut assimiler à un corps noir de température Te = 28°C (301 K).

Elle se refroidit :

➢ Par convection naturelle avec un coefficient de convection : 𝒉 = 𝟐, 𝟒(𝑻_𝑽− 𝑻_𝒆)^𝟏/𝟒

où TV est la température de la voiture à l’équilibre thermique.

➢ Par émission d’un rayonnement.

On considère le régime stationnaire. On néglige les échanges thermiques par conduction en général, notamment entre la voiture et le sol.

On appellera S la surface totale de la voiture. Seule la moitié de la surface est exposée au rayonnement solaire. La convection naturelle et le rayonnement de l’atmosphère se font sur toute la surface de la voiture. La donnée numérique de S n’est pas nécessaire pour la résolution de l’exercice.

A. Première partie : voiture de couleur noire.

1) Donner l’expression du flux thermique solaire reçu par la voiture.

2) Donner l’expression générale (aucune donnée numérique) du flux thermique rayonné par l’atmosphère sur la voiture.

3) Donner l’expression générale (aucune donnée numérique) du flux thermique perdu par la voiture par convection naturelle.

4) Donner l’expression générale (aucune donnée numérique) du flux thermique perdu par la voiture par rayonnement.

5) En déduire le flux thermique total reçu par la voiture.

6) En déduire le flux thermique total perdu par la voiture.

7) La voiture étant à l’équilibre thermique, le régime est donc stationnaire. En déduire le bilan thermique global de la voiture.

8) En déduire une équation en TV et la mettre sous la forme f (TV ) = C où C est une constante que l’on déterminera.

Application numérique : Constante de Stéfan-Boltzman : σ = 5,67 10^-8 W/m².K⁴ 9) Résoudre cette équation et en déduire alors la température de la voiture.

On fera varier TV entre 55°C ( 328 K ) et 58°C ( 331 K ) par pas de 1°C.

Attention TV est exprimée en K dans l’équation.

(3)

3/16

B. Deuxième partie : voiture de couleur blanche.

Un corps noir absorbe la totalité de l’énergie incidente et pour être en équilibre thermique, il émet la totalité de cette énergie.

Un corps gris n’absorbe qu’une fraction de l’énergie incidente et pour être en équilibre thermique il émet l’énergie qu’il a reçue.

Le coefficient d’absorption est égal au coefficient d’émission.

Dans cette partie, on considère la même voiture mais de couleur blanche dans les mêmes conditions avec un coefficient d’émission égal à ε = 0,35.

1) La voiture étant à l’équilibre thermique, le régime est donc stationnaire.

Ecrire le bilan thermique global de la voiture. On pourra utiliser la réponse à la question 7 et y apporter des modifications.

2) En déduire une équation en TV et la mettre sous la forme f (TV ) = C où C est une constante que l’on déterminera.

3) Résoudre cette équation et en déduire alors la température de la voiture.

On fera varier TV entre 44°C ( 317 K ) et 47°C ( 320 K ) par pas de 1°C.

Attention TV est exprimée en K dans l’équation.

4) Conclusion.

Réponse :

A. Première partie : voiture de couleur noire.

1) 𝚽_𝑺 = 𝝋_𝑺∗^𝑺_𝟐= 𝟕𝟎𝟎 ∗^𝑺_𝟐= 𝟑𝟓𝟎 𝑺 2) 𝚽_𝒂𝒕𝒎 = 𝝈𝑻_𝒆^𝟒∗ 𝑺

3) 𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒗}= 𝒉 𝑺 (𝑻_𝑽− 𝑻_𝒆) = 𝟐, 𝟒 𝑺 (𝑻_𝑽 − 𝑻_𝒆)^𝟓/𝟒 4) 𝚽_𝒓𝒂𝒚= 𝝈𝑻_𝑽^𝟒∗ 𝑺

5) 𝚽_{𝒓𝒆ç𝒖}= 𝟑𝟓𝟎 𝑺 + 𝝈𝑻_𝒆^𝟒∗ 𝑺

6) 𝚽_{𝒑𝒆𝒓𝒅𝒖}=𝟐, 𝟒 𝑺 (𝑻_𝑽− 𝑻_𝒆)^𝟓/𝟒+ 𝝈𝑻_𝑽^𝟒∗ 𝑺 7) Bilan thermique à l’équilibre :

𝟑𝟓𝟎 𝑺 + 𝝈𝑻_𝒆^𝟒∗ 𝑺 = 𝟐, 𝟒 𝑺 (𝑻_𝑽− 𝑻_𝒆)^𝟓/𝟒+ 𝝈𝑻_𝑽^𝟒∗ 𝑺

8) 𝟑𝟓𝟎 + 𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟖∗ 𝟑𝟎𝟏^𝟒= 𝟐, 𝟒 (𝑻_𝑽− 𝟑𝟎𝟏)^𝟓/𝟒+ 𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟖𝑻_𝑽^𝟒 𝟐, 𝟒 (𝑻_𝑽 − 𝟑𝟎𝟏)^𝟓/𝟒+ 𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟖𝑻_𝑽^𝟒 = 𝟖𝟏𝟓, 𝟒𝟐

9)

TV (K) 𝟐, 𝟒 (𝑻_𝑽− 𝟑𝟎𝟏)^𝟓/𝟒+ 𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟖𝑻_𝑽^𝟒

328 804

329 ( 56 °C) 819 𝟖𝟏𝟓, 𝟒𝟐

330 834

331 849

La température de la voiture est donc de 56°C.

0,5 * 8

1,0

(4)

4/16

B. Deuxième partie : voiture de couleur blanche.

Dans le cas d’un corps noir le coefficient d’absorption αV et d’émission εV de la voiture noire sont égaux à 1. Dans le cas de la voiture blanche on a αV = εV = 0,35.

1) Bilan thermique à l’équilibre :

Comme le corps a une émissivité égale à ε, il faut en tenir compte dans la chaleur absorbée ou émise par rayonnement :

𝜺_𝑽∗ 𝟑𝟓𝟎 𝑺 +𝜺_𝑽 𝝈𝑻_𝒆^𝟒∗ 𝑺 = 𝟐, 𝟒 𝑺 (𝑻_𝑽− 𝑻_𝒆)^𝟓/𝟒+𝜺_𝑽 𝝈𝑻_𝑽^𝟒∗ 𝑺 2) 𝜺_𝑽∗𝟑𝟓𝟎 +𝜺_𝑽 𝝈𝑻_𝒆^𝟒= 𝟐, 𝟒 (𝑻_𝑽− 𝑻_𝒆)^𝟓/𝟒+𝜺_𝑽 𝝈𝑻_𝑽^𝟒

𝟎, 𝟑𝟓∗ 𝟑𝟓𝟎 + 𝟎, 𝟑𝟓∗ 𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟖∗ 𝟑𝟎𝟏^𝟒 = 𝟐, 𝟒 (𝑻_𝑽− 𝟑𝟎𝟏)^𝟓^𝟒+ 𝟎, 𝟑𝟓 ∗𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟖𝑻_𝑽^𝟒 𝟐, 𝟒 (𝑻_𝑽− 𝟑𝟎𝟏)^𝟓/𝟒+ 𝟏, 𝟗𝟖 𝟏𝟎^−𝟖𝑻_𝑽^𝟒 = 𝟐𝟖𝟓

3)

TV (K) 𝟐, 𝟒 (𝑻𝑽− 𝟑𝟎𝟏)^𝟓/𝟒+ 𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟖𝑻𝑽𝟒

317 277

318 ( 45 °C) 286 𝟐𝟖𝟓

319 295

320 303

La température de la voiture est donc de 45 °C.

4) La couleur joue un rôle important dans l’équilibre thermique. Le rayonnement absorbé ou émis dépend de la couleur. La voiture blanche a une température plus faible à l’équilibre.

1,0 * 5

(5)

5/16

(6)

6/16

Exercice 2 : Temps de réponse d’un thermocouple (6 points)

Un thermocouple est un capteur de température. Il est constitué de deux fils métalliques (alliages : chromel et alumel par exemple) soudés à leurs extrémités. Chaque extrémité est portée à une température différente ce qui induit une différence de potentiel mesurée par un voltmètre. Tref est une température de référence par exemple 0°C (glace fondante), Tsense est la température mesurée. On néglige les transferts de chaleur par conduction dans les fils.

Supposons que cette soudure de forme sphérique, c’est le système étudié, initialement à la température T0 soit immergée à l’instant t = 0 dans un fluide à la température Tf constante.

Le but de cet exercice est de répondre à la question suivante : Au bout de combien de temps peut-on assimiler la température de la soudure à celle du fluide ?

Données :

➢ Diamètre de la soudure (sphère) : d = 100 μm

➢ Conductivité thermique de la soudure λ = 35 W/m.K

➢ Masse volumique de la soudure : ρ = 8000 kg.m^-3

➢ Capacité calorifique massique de la soudure : cp = 1000 J.kg^-1.K^-1

➢ Coefficient d’échange thermique par convection : h = 100 Wm^-2K^-1 𝒔𝒑𝒉è𝒓𝒆 ∶ 𝑽 = 𝟒

𝟑𝝅𝒓^𝟑 ; 𝑺 = 𝟒𝝅𝒓^𝟐 I. 1^ère Partie :

Pour savoir si la température est uniforme dans la soudure, il faut calculer le rapport appelé nombre de Biot ( Bi ) entre la résistance de conduction de la bille et la résistance de convection entre la bille et le fluide.

𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒅}

= 𝒓

𝝀 𝑺 𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒗}

= 𝟏

𝒉 𝑺 𝑩𝒊 = 𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒅}

𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒗}

Si le nombre de Biot est inférieur à 0.1, on peut alors dire que la température est uniforme dans la bille.

a) Calculer la résistance thermique de conduction de la soudure.

b) Calculer la résistance thermique de convection entre la soudure et le fluide.

c) En déduire le nombre de Biot.

d) Que peut-on dire des deux résistances thermiques ? Conclusion.

e) La chaleur traverse-t-elle facilement la bille ? Justifiez.

(7)

7/16

II. 2^ème Partie :

L’équation de la conservation de la chaleur de la soudure s’écrit :

𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝑻 = 𝒉𝑺(𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕))𝒅𝒕

a) Montrer que cette équation peut s’écrire sous forme adimensionnelle :

𝒅𝑻

𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕) = 𝒉𝑺 𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝒕

et en déduire la formule de la constante de temps τ et la calculer.

b) En intégrant cette expression entre t = 0 s et t = t, la température variant alors de T0 et T(t), montrer que l’on obtient une expression de la forme :

𝑻(𝒕) − 𝑻_𝟎

𝑻_𝒇− 𝑻_𝟎 = 𝟏 − 𝑨𝒆^{− 𝒕𝑩} Déterminer A et B et donner leurs unités.

c) On cherche à déterminer le temps de réponse à 99% de ce thermocouple. Par définition c’est le temps tr tel que la variation de température de la soudure soit égale à 99% de sa variation stationnaire, c’est-à-dire :

𝑻(𝒕 _𝒓 ) − 𝑻 _𝟎

𝑻 _𝒇 − 𝑻 _𝟎 = 𝟗𝟗%

Déterminer l’expression du temps de réponse et en déduire sa valeur.

I. 1^ère Partie :

a) Résistance de conduction :

𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒅}

= 𝒓

𝝀 𝑺 = 𝟓𝟎 𝟏𝟎

^−𝟔

𝟑𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝟓𝟎 𝟏𝟎

^−𝟔

)

^𝟐

= 𝟒𝟓, 𝟒𝟕 𝑲/𝑾

b) Résistance de convection :

𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒗}

= 𝟏

𝒉 𝑺 = 𝟏

𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝟓𝟎 𝟏𝟎

^−𝟔

)

^𝟐

= 𝟑, 𝟐 𝟏𝟎

^𝟓

𝑲/𝑾

c) Nombre de Biot :

𝑩𝒊 = 𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒅}

𝑹

_{𝒄𝒐𝒏𝒗}

= 𝟒𝟓, 𝟒𝟕

𝟑, 𝟐 𝟏𝟎

^𝟓

= 𝟏, 𝟒 𝟏𝟎

^−𝟒

d) Le nombre de Biot étant très petit, la résistance de conduction est très petite devant la résistance de convection, la température est uniforme dans la soudure.

e) Comme la résistance de conduction est faible, la chaleur traverse facilement la soudure de forme sphérique.

0,25 * 2 0,25 * 2

0,25 * 2

(8)

8/16

II. 2^ème Partie : a)

𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝑻 = 𝒉𝑺(𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕))𝒅𝒕

En divisant les membres de l’équation par

𝒎𝒄 _𝒑 et 𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝑻

𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕) = 𝒉𝑺 𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝒕

On obtient une équation adimensionnelle car le membre de gauche est une température divisée par une température. Dans le membre de droite dt est un temps et donc

𝒉𝑺

𝒎𝒄

_𝒑 est l’inverse d’un temps, d’où la constante de temps :

𝝉 = 𝒎𝒄

_𝒑

𝒉𝑺 = 𝝆𝑽𝒄

_𝒑

𝒉 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝒓)

^𝟐

= 𝟖𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒 𝟑 𝝅(𝒓)

^𝟑

∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝒓)

^𝟐

= 𝟏, 𝟑𝟑 𝒔

b) On intègre :

∫ 𝒅𝑻

𝑻

_𝒇

− 𝑻(𝒕)

𝑻

𝑻_𝟎

= ∫ 𝒉𝑺 𝒎𝒄

_𝒑

𝒅𝒕

𝒕

𝟎

= ∫ 𝒅𝒕 𝝉

𝒕

𝟎

− [𝒍𝒏 (𝑻

_𝒇

− 𝑻(𝒕))]

𝑻𝟎

𝑻

= 𝟏 𝝉 [𝒕]

_𝟎^𝒕

𝒍𝒏 ( 𝑻

_𝒇

− 𝑻(𝒕)

𝑻

_𝒇

− 𝑻(𝟎) ) = − 𝒕 𝝉 𝑻

_𝒇

− 𝑻(𝒕)

𝑻

_𝒇

− 𝑻(𝟎) = 𝒆

^−𝒕𝝉

𝑻(𝒕) − 𝑻

_𝟎

𝑻

_𝒇

− 𝑻

_𝟎

= 𝟏 − 𝒆

^−𝒕𝝉

A= 1 B = τ

c) Temps de réponse du thermocouple.

𝑻(𝒕

_𝒓

) − 𝑻

_𝟎

𝑻

_𝒇

− 𝑻

_𝟎

= 𝟏 − 𝒆

^−𝒕^𝝉^𝒓

= 𝟗𝟗%

𝒆

^−𝒕^𝝉^𝒓

= 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟗 = 𝟎, 𝟎𝟏

0,5 * 2

(9)

9/16 𝒕

_𝒓

𝝉 = −𝒍𝒏(𝟎, 𝟎𝟏)

𝒕

_𝒓

= −𝝉 𝒍𝒏(𝟎, 𝟎𝟏) = −𝟏, 𝟑𝟑 ∗ 𝒍𝒏(𝟎, 𝟎𝟏) = 𝟔, 𝟏 𝒔

^{0,5 * 3}

(10)

10/16

Exercice 3 : Fenêtre double vitrage (4 points)

On considère une fenêtre à double vitrage de hauteur h et de largeur l constituée de deux couches de verre identiques d’épaisseur eV et de conductivité λV et séparées par une couche stagnante d’air d’épaisseur ea de conductivité λa.

Les coefficients de convection à la surface interne et externe sont notés respectivement hi

et he.

1) Déterminer les résistances thermiques et donner le schéma électrique équivalent en y reportant toutes les données.

2) Déterminer le flux de chaleur transféré à travers la fenêtre pour une température intérieure Ti = 20°C, la température à l’extérieure étant égale à Te= - 10 °C.

3) Déterminer la température sur la surface interne de la fenêtre TSi. 4) Déterminer la température sur la surface externe de la fenêtre TSe. Données :

hi = 10 W. m^-2.K^-1 he = 40 W. m^-2.K^-1

Verre : eV = 4 mm λV = 0,78 W. m^-1.K^-1 Air : ea = 10 mm λa = 0,026 W. m^-1.K^-1 Fenêtre : h = 1,5 m l = 0,8 m

Réponse : 1)

Surface de la fenêtre : S = h*l = 1,5*0,8= 1,2 m²

h

e

T

se

T

si

h

i

T

e

= - 10°C T

i

= 20°C

e

V

e

a

Air

e

V

T

i

T

si

T

se

T

e

R

hi

R

V

R

a

R

V

R

he

0,25 * 2

(11)

11/16 𝑹

_𝑽

= 𝒆

_𝑽

𝝀

_𝑽

𝑺 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎

^−𝟑

𝟎, 𝟕𝟖 ∗ 𝟏, 𝟐 = 𝟒, 𝟐𝟕 𝟏𝟎

^−𝟑

𝑲/𝑾 𝑹

_𝒂

= 𝒆

_𝒂

𝝀

_𝒂

𝑺 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎

^−𝟑

𝟎, 𝟎𝟐𝟔 ∗ 𝟏, 𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟎 𝑲/𝑾 𝑹

_𝒉𝒊

= 𝟏

𝒉

_𝒊

𝑺 = 𝟏

𝟏𝟎 ∗ 𝟏, 𝟐 = 𝟏

𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝑲/𝑾 𝑹

_𝒉𝒆

= 𝟏

𝒉

_𝒆

𝑺 = 𝟏

𝟒𝟎 ∗ 𝟏, 𝟐 = 𝟏

𝟒𝟖 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟖 𝑲/𝑾 𝑹

_𝑻

= 𝑹

_𝒉𝒊

+ 𝟐 𝑹

_𝑽

+ 𝑹

_𝒂

+ 𝑹

_𝒉𝒆

= 𝟎, 𝟒𝟑𝟑 𝑲/𝑾

2) Flux de chaleur transféré à travers la fenêtre : 𝚽 = 𝑻_𝒊− 𝑻_𝑬

𝑹_𝑻 =𝟐𝟎 − (−𝟏𝟎)

𝟎, 𝟒𝟑𝟑 = 𝟔𝟗, 𝟖 𝑾 3) Température à la surface interne de la fenêtre : Tsi

𝚽 = 𝑻_𝒊− 𝑻_𝒔𝒊 𝑹_𝒉𝒊

𝑻_𝒔𝒊= 𝑻_𝒊− 𝑹_𝒉𝒊 𝚽 = 𝟐𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟖𝟑𝟑 ∗ 𝟔𝟗, 𝟖 = 𝟏𝟒, 𝟐 °𝐂 4) Température à la surface externe de la fenêtre : Tse

𝚽 = 𝑻_𝒔𝒆− 𝑻_𝒆 𝑹_𝒉𝒆

𝑻_𝒔𝒆= 𝑻_𝒆+ 𝑹_𝒉𝒆 𝚽 = −𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟖 ∗ 𝟔𝟗, 𝟖 = −𝟖, 𝟓 °𝐂

0,5 0,5 * 2 0,5 * 2 0,25 * 4

(12)

12/16

(13)

13/16

Exercice 4 : Température d’une plaque rectangulaire par discrétisation (4 points) On considère une petite plaque carrée avec des températures imposées sur les 4 cotés. Le pas est identique et petit le long des axes x et y. Voir figure ci-dessous.

On rappelle la formule

𝑻

_𝒊,𝒋

= 𝟏

𝟒 (𝑻

_{𝒊−𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊+𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋+𝟏}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋−𝟏}

)

1) Déterminer la température au point A.

On considère la même plaque et on change le pas.

2) Déterminer la température aux points A, B, C et D.

T = 30 °C T = 20 °C

T = 50 °C

T = 10 °C

A

T = 30 °C T = 20 °C

T = 50 °C

T = 10 °C

C D

B

A

(14)

14/16 1)

𝑻

_𝒊,𝒋

= 𝟏

𝟒 (𝑻

_{𝒊−𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊+𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋+𝟏}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋−𝟏}

) 𝑻

_𝑨

= 𝟏

𝟒 (𝟐𝟎 + 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟓𝟎) = 𝟐𝟕, 𝟓°𝑪

2) On obtient un système d’équations :

{

𝟒𝑻_𝑨= 𝟐𝟎 + 𝑻_𝑩 + 𝑻_𝑪+ 𝟓𝟎 𝟒𝑻_𝑩 = 𝑻_𝑨+ 𝟑𝟎 + 𝟓𝟎 + 𝑻_𝑫 𝟒𝑻_𝑪 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝑻_𝑨+ 𝑻_𝑫 𝟒𝑻_𝑫= 𝑻_𝑩+ 𝑻_𝑪+ 𝟏𝟎 + 𝟑𝟎

{

𝟒𝑻_𝑨− 𝑻_𝑩− 𝑻_𝑪 = 𝟕𝟎

−𝑻_𝑨+ 𝟒𝑻_𝑩 − 𝑻_𝑫 = 𝟖𝟎

−𝑻_𝑨+ 𝟒𝑻_𝑪− 𝑻_𝑫 = 𝟑𝟎 −𝑻_𝑩 − 𝑻_𝑪+ 𝟒𝑻_𝑫 = 𝟒𝟎

(

+𝟒 −𝟏 −𝟏 +𝟎

−𝟏 +𝟒 +𝟎 −𝟏

−𝟏 +𝟎 +𝟒 −𝟏 +𝟎 −𝟏 −𝟏 +𝟒

) ( 𝑻_𝑨 𝑻_𝑩 𝑻_𝑪 𝑻_𝑫

) = ( 𝟕𝟎 𝟖𝟎 𝟑𝟎 𝟒𝟎

)

L2 → 4 L2 + L1

L3 → 4 L3 + L1

(

+𝟒 −𝟏 −𝟏 +𝟎

+𝟎 𝟏𝟓 −𝟏 −𝟒

+𝟎 −𝟏 +𝟏𝟓 −𝟒 +𝟎 −𝟏 −𝟏 +𝟒

) = ( 𝟕𝟎 𝟑𝟗𝟎 𝟏𝟗𝟎 𝟒𝟎

)

L4 → L4 - L3

(

+𝟒 −𝟏 −𝟏 +𝟎

+𝟎 +𝟏𝟓 −𝟏 −𝟒 +𝟎 −𝟏 +𝟏𝟓 −𝟒

+𝟎 +𝟎 −𝟏𝟔 +𝟖

) = ( 𝟕𝟎 𝟑𝟗𝟎 𝟏𝟗𝟎

−𝟏𝟓𝟎 )

L3 →15 L3 + L2

(

+𝟒 −𝟏 −𝟏 +𝟎

+𝟎 +𝟏𝟓 −𝟏 −𝟒

+𝟎 +𝟎 +𝟐𝟐𝟒 −𝟔𝟒

+𝟎 +𝟎 −𝟏𝟔 +𝟖 ) (

𝑻_𝑨 𝑻_𝑩 𝑻_𝑪 𝑻_𝑫

) = ( 𝟕𝟎 𝟑𝟗𝟎 𝟑𝟐𝟒𝟎

−𝟏𝟓𝟎 )

0,5 * 4 0,5 * 2

(15)

15/16

L4 → L4 + (16 / 24) L3

(

+𝟒 −𝟏 −𝟏 +𝟎

+𝟎 +𝟏𝟓 −𝟏 −𝟒 +𝟎 +𝟎 +𝟐𝟐𝟒 −𝟔𝟒

+𝟎 +𝟎 +𝟎 +𝟐𝟒

𝟕 ) (

𝑻_𝑨 𝑻_𝑩 𝑻_𝑪 𝑻_𝑫

) = (

𝟕𝟎 𝟑𝟗𝟎 𝟑𝟐𝟒𝟎𝟓𝟕𝟎

𝟕 )

𝑻_𝑫 =𝟓𝟕𝟎

𝟐𝟒 = 𝟐𝟑, 𝟕𝟓°𝑪 +𝟐𝟐𝟒 𝑻_𝑪− 𝟔𝟒 𝑻_𝑫= 𝟑𝟐𝟒𝟎

𝑻_𝑪 =𝟑𝟐𝟒𝟎 + 𝟔𝟒 ∗𝟓𝟕𝟎

𝟐𝟐𝟒 𝟐𝟒 =𝟐𝟏, 𝟐𝟓°𝑪

𝟏𝟓 𝑻_𝑩 − 𝑻_𝑪− 𝟒𝑻_𝑫 = 𝟑𝟗𝟎 𝑻_𝑩 =𝟑𝟗𝟎 +𝟐𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟒 ∗ 𝟐𝟑, 𝟕𝟓

𝟏𝟓 = 𝟑𝟑, 𝟕𝟓 °𝑪

𝟒 𝑻_𝑨− 𝑻_𝑩− 𝑻_𝑪 = 𝟕𝟎 𝑻_𝑨 =𝟕𝟎 +𝟑𝟑, 𝟕𝟓 + 𝟐𝟏, 𝟐𝟓

𝟒 = 𝟑𝟏, 𝟐𝟓 °𝑪 𝟐𝟑, 𝟕𝟓°𝑪

T = 30 °C T = 20 °C

T = 50 °C

T = 10 °C

C D

B A

𝟑𝟏, 𝟐𝟓 °𝑪 𝟑𝟑, 𝟕𝟓 °𝑪

𝟐𝟏, 𝟐𝟓°𝑪 𝟐𝟑, 𝟕𝟓°𝑪 , 𝟕𝟓 °𝑪, 𝟐𝟓 °𝑪

1/16 /20 Corrigé Numéro :

1/16

/20

Numéro :

Corrigé

2/16

3/16

4/16

5/16

6/16

𝑹

= 𝒓

𝝀 𝑺 𝑹

= 𝟏

𝒉 𝑺 𝑩𝒊 = 𝑹

𝑹

7/16

𝒎𝒄 𝒑 𝒅𝑻 = 𝒉𝑺(𝑻 𝒇 − 𝑻(𝒕))𝒅𝒕

𝒅𝑻

𝑻 𝒇 − 𝑻(𝒕) = 𝒉𝑺 𝒎𝒄 𝒑 𝒅𝒕

𝑻(𝒕 𝒓 ) − 𝑻 𝟎

𝑻 𝒇 − 𝑻 𝟎 = 𝟗𝟗%

𝑹

= 𝒓

𝝀 𝑺 = 𝟓𝟎 𝟏𝟎

𝟑𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝟓𝟎 𝟏𝟎

)

= 𝟒𝟓, 𝟒𝟕 𝑲/𝑾

𝑹

= 𝟏

𝒉 𝑺 = 𝟏

𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝟓𝟎 𝟏𝟎

)

= 𝟑, 𝟐 𝟏𝟎

𝑲/𝑾

𝑩𝒊 = 𝑹

𝑹

= 𝟒𝟓, 𝟒𝟕

𝟑, 𝟐 𝟏𝟎

= 𝟏, 𝟒 𝟏𝟎

8/16

𝒎𝒄 𝒑 𝒅𝑻 = 𝒉𝑺(𝑻 𝒇 − 𝑻(𝒕))𝒅𝒕

𝒎𝒄 𝒑 et 𝒎𝒄 𝒑 𝒅𝑻

𝑻 𝒇 − 𝑻(𝒕) = 𝒉𝑺 𝒎𝒄 𝒑 𝒅𝒕

𝒉𝑺

𝒎𝒄

𝝉 = 𝒎𝒄

𝒉𝑺 = 𝝆𝑽𝒄

𝒉 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝒓)

= 𝟖𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒 𝟑 𝝅(𝒓)

∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝒓)

= 𝟏, 𝟑𝟑 𝒔

∫ 𝒅𝑻

𝑻

− 𝑻(𝒕)

= ∫ 𝒉𝑺 𝒎𝒄

𝒅𝒕

= ∫ 𝒅𝒕 𝝉

− [𝒍𝒏 (𝑻

− 𝑻(𝒕))]

= 𝟏 𝝉 [𝒕]

𝒍𝒏 ( 𝑻

− 𝑻(𝒕)

𝑻

− 𝑻(𝟎) ) = − 𝒕 𝝉 𝑻

− 𝑻(𝒕)

𝑻

− 𝑻(𝟎) = 𝒆

𝑻(𝒕) − 𝑻

𝑻

− 𝑻

= 𝟏 − 𝒆

A= 1 B = τ

𝑻(𝒕

) − 𝑻

𝑻

− 𝑻

= 𝟏 − 𝒆

= 𝟗𝟗%

𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝑻 = 𝒉𝑺(𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕))𝒅𝒕

𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕) = 𝒉𝑺 𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝒕

𝑻(𝒕 _𝒓 ) − 𝑻 _𝟎

𝑻 _𝒇 − 𝑻 _𝟎 = 𝟗𝟗%

𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝑻 = 𝒉𝑺(𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕))𝒅𝒕

𝒎𝒄 _𝒑 et 𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝑻

𝑻 _𝒇 − 𝑻(𝒕) = 𝒉𝑺 𝒎𝒄 _𝒑 𝒅𝒕