Mathématique ECS 1 9 sept. 2017
Devoir surveillé 1.
Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 3 heures. Aucune sortie définitive avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés à prendre.
Exercice 1. Quelques questions indépendantes
(1) Une suite (un) vérifie pour tout entier natureln, un+1 =un+2
3 et on sait que u23 =−1. Quelle est la valeur de u80?
(2) Résoudre dansRl’équation|x+ 2|= 2|x2−2|.
(3) SoitC la courbe d’équationy=xln(x) + 2e1−x2 dans un repère orthonormé. Déterminer une équation de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 1.
(4) Calculer l’intégrale Z 2
1
x2 1 +x3dx.
(5) Pour quels réels k, l’équation d’inconnuex:
x
1 +x+x2 =k admet-elle au moins une solution dansR?
(6) Un joueur de foot tire des penalty. Il peut tirer, au hasard, en haut à gauche, en haut à droite, en bas à gauche ou en bas à droite. Le gardien a décidé de toujours plonger en bas à gauche. Le tireur réalise 5 tirs au but. Quelle est la probabilité que le gardien arrête au moins un penalty ?
Exercice 2. On considère le nombre complexe z=p√
2 + 1−ip√
2−1.
(1) Donner la forme algébrique de z2.
(2) En déduire la forme trigonométrique de z2.
(3) Déterminer alors la forme trigonométrique de z. On justifiera soigneusement cette détermination.
(4) En déduire le sinus et le cosinus de π 8.
Exercice 3. Soitf la fonction définie par l’expressionf(x) = ex ex−x.
(1) Etablir, pour toutx∈R, l’inégalitéex≥x+ 1. Préciser alors l’ensemble de définition def. (2) Calculer les limites def en−∞et+∞.
(3) Etudier les variations de f sur son ensemble de définition.
(4) Pour tout entier naturel n, on poseun= Z n
0
f(x)dx.
(a) Montrer que, pour tout entier natureln,
un =n+ Z n
0
x ex−xdx
(b) En déduire la limite de la suite(un)quandntend vers+∞
(5) Pour tout entier naturel n, on pose maintenantvn = Z n
0
x
ex−xdx. On étudie dans cette question la convergence de la suite (vn).
(a) Montrer que la suite(vn)est croissante.
(b) Montrer, pour tout réelx, l’inégalitéex−x≥ex 2.
1
(c) Déduire de l’inégalité précédente, l’inégalitévn≤ Z n
0
2xe−xdx, pour tout entier natureln.
(d) On pose, pour tout réelx, h(x) =xe−x. Exprimer h(x)en fonction dee−x eth0(x). Calculer alors Z n
0
2xe−xdx, pour tout entier natureln.
(e) Etablir alors que la suite(vn)est majorée et conclure.
Exercice 4. Deux joueurs jouent à lancer une fléchette sur une cible partagée en trois cases numérotées1, 2et 3. A chaque lancer, chacun des deux atteint une seule case et les lancers sont indépendants.
Pour le joueurA, les probabilités d’atteindre les cases1,2 et3 sont respectivement 121, 13 et 127. Pour le joueurB, les trois éventualités sont équiprobables.
Tout résultat devra être donné sous forme de fractions irréductibles.
(1) Le joueurA lance la fléchette trois fois de suite.
(a) Quelle est la probabilité qu’il atteigne chaque fois la case3?
(b) Quelle est la probabilité qu’il atteigne les cases1, 2et 3dans cet ordre ? (c) Quelle est la probabilité qu’il atteigne les cases1, 2et 3?
(2) On choisit un des deux joueurs. Le joueurAa deux fois plus de chance d’être choisi que le joueurA.
(a) Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité que la case3soit atteinte ?
(b) Un seul lancer a été effectué et la case3a bien été atteinte. Quelle est la probabilité que ce soit le joueurAqui l’ait lancée ?
2
