1/10 Corrigé /20 Numéro :

IPSA | Partiel de transfert thermique En 322 du 7 mai 2019

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SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2018-2019 Classe : Aéro-3

Type d’examen : PARTIEL Matière : Transfert thermique spé Code matière : En 322

Date : 07 mai 2019 Horaire :

Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit

Documents autorisés : OUI, papiers, numérique, ordinateur SANS CONNEXION internet.

Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses.

Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, la note attribuée sera égale à zéro.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /9,5 Exercice 2 : /10,5 Formulaire :

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

Corrigé

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Problème 1 : Cylindre creux avec des ailettes annulaires (9,5 points)

On considère un cylindre creux de longueur L de conductivité λ et de rayons interne R1 et externe R2 dans lequel circule un fluide chaud. Les températures des surfaces interne et externe sont respectivement T1 et T2. L’air environnant est à la température T∞

et le coefficient de convection h à la surface externe du tube est supposé constant. Le régime est stationnaire.

1) Déterminer le flux de chaleur Φ traversant le cylindre et le calculer.

Les valeurs numériques sont données à la fin de l’exercice et le formulaire à la fin du sujet.

2) Pour accélérer l’échange de chaleur entre la surface extérieure du cylindre et le fluide environnant, on place des ailettes identiques de forme annulaire de rayon extérieur R3 et d’épaisseur e sur la face extérieur du cylindre.

Cocher la bonne réponse.

➢ Il est préférable d’utiliser pour les ailettes des matériaux à faible conductivité thermique.

Vrai Faux

➢ Une conductivité élevée de l’ailette, entraine une diminution du gradient de température.

Vrai Faux

➢ Au contact entre l’ailette et le cylindre, plus la résistance de contact est faible, plus la différence de température entre ces deux surfaces est grande.

Vrai Faux

➢ La présence d’ailettes permet de diminuer le flux échangé.

Vrai Faux R1

Cylindre creux Ailette annulaire

R2

R3

L

4*0,25

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3) Etablir la formule de la surface d’échange d’une ailette en fonction de R2, R3 et e, sachant que toute la surface des deux faces de l’ailette échange avec l’extérieur y compris au niveau de son épaisseur e. En déduire la surface d’échange de N ailettes.

Ne pas faire d’application numérique.

4) Les N ailettes étant montées sur le cylindre, déterminer la surface d’échange du cylindre entre les ailettes. On exprimera cette surface en fonction de L, N, R2 et e.

5) En déduire alors la surface d’échange total du cylindre comportant N ailettes.

6) Donner la formule permettant de déterminer le flux échangé Φ par le cylindre par convection en l’absence d’ailettes en fonction de h, R2 , L, T2 et T∞.

7) Etablir la formule permettant de déterminer le flux échangé Φ’ par convection par le cylindre comportant N ailettes en supposant que les ailettes aient la même température T2 que le cylindre et que le coefficient de convection h est le même.

8) Etablir la formule permettant de déterminer le nombre d’ailettes N qu’il faut fixer sur le cylindre pour avoir un flux de chaleur échangé deux fois plus grand en fonction de R2, R3, L et e. Montrer que l’on peut la mettre sous la forme :

𝑵 = 𝑹_𝟐𝑳

(𝑹_𝟑+ 𝑹_𝟐+ 𝒆)(𝑹_𝟑− 𝑹_𝟐) 9) Calculer N.

L= 1 m R1= 9 cm R2= 18 cm R3 = 21 cm e = 0,15 cm Conductivité thermique λ = 400 Wm^-1 °C ^-1.

T1 = 200 °C T2 = 50 °C T∞ = 20°C.

Surface d’un disque : S= πR² Périmètre d’un cercle : 2πR

Réponse :

1) 𝜱 =

=

𝒍𝒏(𝑹𝟐 𝑹𝟏) 𝟐𝝅𝝀𝑳

𝜱 = 𝟐𝝅𝝀𝑳(𝑻_𝟏− 𝑻_𝟐) 𝒍𝒏 (𝑹_𝟐

𝑹_𝟏)

=𝟐𝝅. 𝟒𝟎𝟎. (𝟐𝟎𝟎 − 𝟓𝟎) 𝒍𝒏 (𝟏𝟖𝟗 ) 𝝓 = 𝟓𝟒𝟑, 𝟗 𝒌𝑾 2) Voir question 2.

3) Surface d’échange d’une ailette : 𝑺_𝟏= 𝝅(𝑹_𝟑^𝟐− 𝑹_𝟐^𝟐). 𝟐 + 𝟐𝝅𝑹_𝟑𝒆 Surface d’échange de N ailettes :

𝑺 = 𝑵 [𝟐𝝅(𝑹_𝟑^𝟐− 𝑹_𝟐^𝟐) + 𝟐𝝅𝑹_𝟑𝒆]

4) Surface entre les ailettes : 𝑺_𝒆 = 𝟐𝝅𝑹_𝟐𝑳 − 𝑵𝟐𝝅𝑹_𝟐𝒆

=𝟐𝝅𝑹_𝟐(𝑳 − 𝑵𝒆) 5) La surface d’échange total avec

ailettes :

𝑺_𝒕 = 𝑵 [𝟐𝝅(𝑹_𝟑^𝟐− 𝑹_𝟐^𝟐) + 𝟐𝝅𝑹_𝟑𝒆]

+ 𝟐𝝅𝑹_𝟐(𝑳 − 𝑵𝒆) 6) Flux sans ailettes :

𝚽 = 𝒉𝑺𝚫𝑻

𝚽 = 𝒉

(

)

2*0,25

2*0,5

2*0,5

2*0,5

2*0,5 0,5

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7) Flux avec N ailettes :

𝚽′ = 𝒉𝑺

𝚫𝑻

𝚽^′= 𝒉 {𝑵 [𝟐𝝅(𝑹_𝟑^𝟐− 𝑹_𝟐^𝟐) + 𝟐𝝅𝑹_𝟑𝒆]

+ 𝟐𝝅𝑹_𝟐(𝑳 − 𝑵𝒆) }(𝑻_𝟐− 𝑻_∞) 8) 𝚽^′= 𝟐𝚽

𝒉 {𝑵 [𝟐𝝅(𝑹_𝟑^𝟐− 𝑹_𝟐^𝟐) + 𝟐𝝅𝑹_𝟑𝒆]

+ 𝟐𝝅𝑹_𝟐(𝑳 − 𝑵𝒆)} (𝑻_𝟐

− 𝑻_∞)

=𝟐

𝒉

=𝟐 𝑹_𝟐𝑳

𝑵 = 𝑹_𝟐𝑳

[(𝑹_𝟑^𝟐− 𝑹_𝟐^𝟐) + 𝑹_𝟑𝒆] − 𝑹_𝟐𝒆 𝑵 = 𝑹_𝟐𝑳

[(𝑹_𝟑− 𝑹𝟐)(𝑹_𝟑+ 𝑹𝟐) + 𝑹_𝟑𝒆] − 𝑹𝟐𝒆

𝑵 = 𝑹

𝑳

(𝑹

+ 𝑹

+ 𝒆)(𝑹

− 𝑹

) 9) 𝑵 =

𝟑+𝑹_𝟐+𝒆)(𝑹_𝟑−𝑹_𝟐)

𝑵 = 𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟎

(𝟐𝟏 + 𝟏𝟖 + 𝟎, 𝟏𝟓)(𝟐𝟏 − 𝟏𝟖) 𝑵 ≅ 𝟏𝟓

2*0,5

3*0,5

2*0,5

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Exercice 2 : Echangeur contre-courant : (10 ,5 points)

Un échangeur de chaleur, constitué de deux tubes coaxiaux de longueur L fonctionne à contre-courant. Le cylindre intérieur en acier de conductivité thermique λ a un rayon intérieur R1 et un rayon extérieur R2. Le cylindre extérieur, de rayon R3 est bien isolé thermique et donc sa surface extérieure n’échange pas de chaleur avec l’environnement. Le fluide chaud circule dans le cylindre intérieur avec un débit massique qmc et le fluide froid circule autour de ce cylindre avec un débit massique qmf .

Les deux fluides sont identiques et leur capacité thermique (chaleur massique) à pression constante sont notées cpf = cpc = c.

La température d’entrée et de sortie du fluide chaud sont notées Tce et Tcs et pour le fluide froid Tfe et Tfs.

Les coefficients d’échange par convection coté fluide chaud est hc et coté fluide froid hf.

Données :

L = 1 m (unité de longueur) λ = 50 W.m^-1.°C^-1.

R1 = 10 mm R2 = 11 mm R3 = 20 mm.

cpf = cpc = c = 4185 J.kg^-1.°C^-1 qmf = 0.01 kg/s qmc = 0.02 kg/s

hc = 600 W.m^-2.°C^-1 hf = 1450 W.m^-2.°C^-1 Tce = 75°C Tcs = 65°C

Tfe = 35°C

I. Partie 1 : Résistance thermique et conductance

1. Faire un schéma complet de l’échangeur avec toutes les données.

2. Déterminer la résistance par unité de longueur de l’échangeur rth et en déduire sa conductance thermique par unité de longueur 𝑲̃. On négligera la résistance d’encrassement de l’échangeur.

II. Partie 2 : Caractéristiques thermiques

1. Déterminer les débits thermiques unitaires qtc et qtf des deux fluides et en déduire qt min le débit thermique le plus petit. Unités.

2. Quel fluide subit la plus forte variation de température entre l’entrée et la sortie ? Cochez la bonne réponse.

Froid Chaud 3. Quel fluide impose ou commande le transfert thermique ?

Froid chaud 4. Quel fluide subit le transfert thermique ?

Froid Chaud 5. Déterminer le facteur de déséquilibre R.

6. Déterminer la puissance (flux) thermique de l’échangeur.

7. En déduire la température de sortie du fluide froid Tfs. 8. Définir le flux maximum et le calculer.

3*0,5

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9. Déterminer l’efficacité E de l’échangeur.

10. Représenter l’allure de la variation des températures des deux fluides en fonction de la position x. On notera toutes les données et on fera attention à la concavité de la courbe.

11. Déterminer la différence de température logarithmique ΔTlm.

12. En déduire la longueur de l’échangeur qui permet l’évacuation de ce flux thermique.

Réponse :

1) Partie 1 : Résistance thermique et conductance

1.

2. Résistance de l’échangeur : 𝒓_𝒕𝒉 = 𝟏

𝒉_𝒄𝟐𝝅𝑹_𝟏+ 𝟏

𝒉_𝒇𝟐𝝅𝑹_𝟐+𝒍𝒏 (𝑹𝑹^𝟐_𝟏) 𝟐𝝅𝝀

𝒓_𝒕𝒉= 𝟏

𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝝅 ∗ 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑+ 𝟏

𝟏𝟒𝟓𝟎 ∗ 𝟐𝝅𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑+𝒍𝒏 (𝟏𝟏𝟏𝟎) 𝟐𝝅 ∗ 𝟓𝟎

𝒓_𝒕𝒉= 𝟐𝟔, 𝟓 𝟏𝟎^−𝟑+ 𝟗, 𝟗𝟖 𝟏𝟎^−𝟑+ 𝟎, 𝟑𝟎 𝟏𝟎^−𝟑 =𝟑𝟔, 𝟖 𝟏𝟎^−𝟑 °𝑪. 𝒎/𝑾

𝑲̃ = 𝟏

𝒓_𝒕𝒉= 𝟏

𝟑𝟔, 𝟖 𝟏𝟎^−𝟑 = 𝟐𝟕, 𝟏𝟗 𝑾

°𝑪. 𝒎

III. Partie 2 : Caractéristiques thermiques

1. Débits thermiques unitaires qtc et qtf

𝒒_𝒕𝒄 = 𝒒_𝒎𝒄𝒄_𝒑𝒄= 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ 𝟒𝟏𝟖𝟓 = 𝟖𝟑, 𝟕𝟎 𝑾/°𝑪 𝒒_𝒕𝒇= 𝒒_𝒎𝒇𝒄_𝒑𝒇 = 𝟎, 𝟎𝟏 ∗ 𝟒𝟏𝟖𝟓 = 𝟒𝟏, 𝟖𝟓 𝑾/°𝑪

𝒒_{𝒕 𝒎𝒊𝒏} = 𝒒_𝒕𝒇 2. Voir plus haut

3. Voir plus haut 4. Voir plus haut

5. Facteur de déséquilibre : 𝑹 = _𝒒^{𝒒𝒕 𝒎𝒊𝒏}

𝒕 𝒎𝒂𝒙= ^𝒒_𝒒^𝒕𝒇

𝒕𝒄= ^{𝟒𝟏,𝟖𝟓}_{𝟖𝟑,𝟕𝟎}= 𝟎, 𝟓𝟎 6. Puissance thermique de l’échangeur :

𝚽 = 𝒒_𝒕𝒄(𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒄𝒔) = 𝟖𝟑, 𝟕𝟎 ∗ (𝟕𝟓 − 𝟔𝟓) = 𝟖𝟑𝟕, 𝟎 𝑾 R1

0 L

R

R

T

T

T

T

q

q

2*0,5

3*0,5

2*0,5

0,5

0,5 + 2*0,25

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7. Température du fluide sortie : 𝚽 = 𝒒_𝒕𝒇(𝑻_𝒇𝒔− 𝑻_𝒇𝒆) 𝑻_𝒇𝒔= 𝑻_𝒇𝒆+ 𝚽

𝒒_𝒕𝒇 𝑻_𝒇𝒔= 𝟑𝟓 + 𝟖𝟑𝟕, 𝟎

𝟒𝟏, 𝟖𝟓= 𝟓𝟓°𝑪 8. Flux maximum

𝚽_𝒎𝒂𝒙= 𝒒_𝒕𝒇(𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒇𝒆) = 𝟒𝟏, 𝟖𝟓 ∗ (𝟕𝟓 − 𝟑𝟓) = 𝟏𝟔𝟕𝟒 𝑾 9. Efficacité de l’échangeur :

𝑬 = 𝚽

𝚽_𝒎𝒂𝒙=𝟖𝟑𝟕, 𝟎

𝟏𝟔𝟕𝟒 = 𝟎, 𝟓𝟎 10. Allure des températures.

11. Différence de température logarithmique moyenne 𝚫𝑻_𝒍𝒎=𝚫𝐓_𝒔− 𝚫𝑻_𝒆

𝒍𝒏 (𝚫𝐓_𝒔

𝚫𝑻_𝒆) = (𝟔𝟓 − 𝟑𝟓) − (𝟕𝟓 − 𝟓𝟓) 𝒍𝒏 (𝟔𝟓 − 𝟑𝟓𝟕𝟓 − 𝟓𝟓)

= 𝟑𝟎 − 𝟐𝟎 𝒍𝒏 (𝟑𝟎𝟐𝟎)

= 𝟐𝟒, 𝟔𝟔 °𝑪

12. Flux

𝚽 = 𝐊̃ 𝐋 𝚫𝑻_𝒍𝒎 𝐋 = 𝚽

𝐊̃ 𝚫𝑻_𝒍𝒎= 𝟖𝟑𝟕, 𝟎

𝟐𝟕, 𝟏𝟗 ∗ 𝟐𝟒, 𝟔𝟔= 𝟏, 𝟐𝟓 𝒎

Tce = 75°C

Tcs = 65°C Tfs = 55°C

Tfe = 35°C

x

T

0,5 + 2*0,25

0,5 + 2*0,25

2*0,5

2*0,5

0,5 + 2*0,25

0,5

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10/10 FORMULAIRE

Formules de transfert thermique

Conduction et convection Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹

Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻 − 𝑻

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻 − 𝑻

) Résistance thermique de conduction d’une

paroi d’épaisseur e 𝑹

= 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance thermique de conduction d’un

cylindre creux de rayons R

et R

et de

longueur L. 𝑹

= 𝒍𝒏 ( 𝑹

𝑹

) 𝟐𝝅𝝀𝑳 Résistance de convection

𝑹

= 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹

𝛗 = 𝚫𝑻 𝑹

𝑺 Equation de la chaleur avec source

𝚫𝑻 + 𝑸

𝝀 = 𝟎 Equation de la chaleur sans source 𝚫𝑻 = 𝟎 Laplacien en coordonnées cartésiennes

𝚫𝐓 = 𝝏

𝑻

𝝏𝒙

+ 𝝏

𝑻

𝝏𝒚

+ 𝝏

𝑻

𝝏𝒛

Laplacien en coordonnées cylindriques

(Unidimensionnel suivant r) 𝚫𝐓 = 𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓 𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) Laplacien en coordonnées sphériques

(Unidimensionnel suivant r) 𝚫𝐓 = 𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓

𝝏𝑻

𝝏𝒓 )