Devoir surveillé 1.

(1)

Mathématique ECS 1 05 Sept. 2015

Devoir surveillé 1.

Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures. Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés à prendre.

Ce sujet comporte cinq exercices indépendants.

Exercice 1. Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d’un répondeur. Quand l’artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, l’artisan décroche le téléphone deux fois sur trois.

Quand un client téléphone, il tombe quatre fois sur cinq sur le répondeur.

Un client téléphone à l’artisan. On note

—Rl’événement : « le client obtient le répondeur »

—Al’événement : « l’artisan est présent »

—Al’événement contraire deA.

On notePE(F)la probabilité de l’événementF sachantE.

(1) Déterminer les probabilitésP(R), P_A(R)etP_A(R).

(2) Exprimer la relation liantP(R), P(A), P_A(R)etP_A(R).

(3) En déduireP(A).

(4) Un client téléphone et tombe sur le répondeur. Quelle est la probabilité que l’artisan soit présent ?

Exercice 2. Les courbes C_f et C_gdonnées ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O,~i,~j), les fonctionsf etg définies sur l’intervalle]0 ; +∞[par :

f(x) = lnx et g(x) = (lnx)².

0 x

y

y= lnx y= (lnx)²

~i

~j

(1) On cherche à déterminer l’aireA(en unités d’aire) de la partie du plan grisée.

On noteI= Z e

1

lnxdxetJ = Z e

1

(lnx)²dx.

(a) Vérifier que la fonctionF définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par

F(x) =xlnx−xest une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduireI.

(2)

(b) Exprimer la dérivée de la fonctionx7→F(x) lnxet en déduire queJ =e−2I.

(c) En déduire la valeur deJ. (d) Donner la valeur deA.

(2) Pour xappartenant à l’intervalle [1 ; e], on noteM le point de la courbeC_f d’abscisse xetN le point de la courbe C_g de même abscisse. Pour quelle valeur dexla distanceM N est-elle maximale ? Calculer la valeur maximale deM N.

Exercice 3. On définit la fonction tangente notéetanpar

tan(x) = sinx cosx sur tout intervalle où l’expression a un sens.

On considère les intégrales

I= Z ^π₄

0

1

cos²xdxet J = Z ^π₄

0

1 cos⁴xdx (1) Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée de la fonction tangente surh

0,π 4 i

. En déduire la valeur deI.

(2) Soitf la fonction définie surh 0,π

4 i

parf(x) = sinx cos³x. (a) Justifier la dérivabilité def et établir que

f⁰(x) = 3

cos⁴x− 2 cos²x (b) En déduire une relation entre Iet J, puis la valeur exacte deJ.

Exercice 4. On considère le nombre complexe z=−p 2 +√

2 +ip 2−√

2.

(1) Donner la forme algébrique dez². (2) En déduire la forme exponentielle dez².

(3) Déterminer alors la forme exponentielle dez. On justifiera soigneusement cette détermination.

(4) En déduire le sinus et le cosinus de π 8.

Exercice 5. Soitf la fonction définie sur]0,+∞[ par

f(x) = x

√3+

√3 2x

et soitC la courbe représentative def dans un repère orthonormé(O,~i,~j).

(1) (a) Etudier les variations de f sur son intervalle de définition.

(b) Etudier la position de la courbeC par rapport à la droite d’équationy= x

√3. (c) Tracer la courbe C représentative def sur la feuille annexe fournie avec l’énoncé.

(2) Soit m un nombre réel et ∆_m la droite d’équation y = m. Discuter suivant les valeurs de m, le nombre de points d’intersection de∆_met de C.

(3) On construit une suite de points(A_n)_n∈_N de la manière suivante :

— le pointA0est le point deC d’abscisse 2 ;

— pour toutn∈N, à partir du pointA_n deC,

— on détermine Bn, deuxième point d’intersection deC avec la parallèle à l’axe(O,~i)passant parAn,

— puis, on détermine I_n, milieu du segment [A_n, B_n],

— le pointAn+1 est alors le point deC de même abscisse queIn. Pour tout entiern∈N, on appellex_n l’abscisse du pointA_n.

(a) Placer les points A0, B0, I0, A1, B1, I1 sur la feuille annexe fournie avec l’énoncé.

(b) Soitn∈N. Etablir une relation de récurrence entrexn+1 etxn.

(3)

(4) On considère la suite(vn)_n∈_Ndéfinie parv0= 2et pour tout entiern∈N,

vn+1= 1 2

vn+ 3

2v_n

.

(a) Etablir pour tout entiern∈Nl’inégalitévn>0.

(b) Etablir pour tout entiern∈N, l’égalité

v_n+1− r3

2 =

(v_n−q

3 2)² 2vn

(c) En déduire, pour tout entier n∈N, l’inégalitévn ≥ r3

2 et ensuite que

0≤vn+1− r3

2 ≤ vn− r3

2

!2

(d) Montrer, à l’aide des questions précédentes, que pour tout entiern∈N,

0≤v_n− r3

2 ≤ v₀− r3

2

!⁽²ⁿ⁾

(e) En vous rappelant quex^α= e^α^ln^xlorsquex >0, montrer que la suite (vn)converge et déterminer sa limite.

(5) Compléter (sur la feuille annexe ) les pointillés dans l’algorithme suivant pour qu’il calculevn : Entrée nest un entier naturel.

Initialisation iprend la valeur 0;v prend la valeur· · · Traitement Tant que· · · ·

iprend la valeur· · · · vprend la valeur · · · · Fin Tant que

Sortie Afficherv.

(4)

Feuille annexe à rendre avec la copie.

Nom : Prénom :

~i

~j

0 x

y

Entrée nest un entier naturel.

Initialisation i prend la valeur0;v prend la valeur· · · Traitement Tant que· · · ·

iprend la valeur · · · · v prend la valeur· · · · Fin Tant que

Sortie Afficherv.

(5)

Mathématique ECS 1 10 oct. 2015

Devoir surveillé 2.

Ce sujet comporte quatre exercices indépendants.

Exercice 1. Un cycliste va d’une villeAà une villeB. Le parcours comptexkilomètres de montée,y kilomètres de plat et zkilomètres de descente. Il roule à 15 km/h en montée, 20 km/h sur le plat et 30 km/h en descente.

Il met deux heures à effectuer le trajet aller et trois heures pour le retour.

(1) Un mobile parcourt une distancedà la vitessev en un tempst. Quelle équation reliev, det t?

(2) Déduire de l’énoncé une équation impliquantx, yetztraduisant le temps mis pour le trajet aller. Etablir de même une équation impliquantx, yetz traduisant le temps mis pour le trajet retour.

Un autre cycliste qui roule respectivement à 20, 30 et 40 km/h sur chaque type de route, effectue l’aller et le retour en un temps total de trois heures et quarante minutes.

(3) Déduire de cette information une équation impliquantx, yet ztraduisant le temps mis pour le trajet aller-retour.

(4) Résoudre le système obtenu.

(5) La montée et la descente ont toute deux une pente de5%(cela signifie qu’en parcourant 100 mètres en montée, l’altitude augmente de 5 mètres et inversement en parcourant 100 mètres en descente, l’altitude diminue de 5 mètres). Quelle est la différence d’altitude entre les deux villes AetB?

Exercice 2. L’objectif de cet exercice est le calcul des intégrales suivantes

I= Z 1

0

√ 1

x²+ 2dx, J = Z 1

0

x²

√

x²+ 2dx, K= Z 1

0

px²+ 2dx

(1) Soitf la fonction définie sur[0,1]parf(x) = ln(x+√

x²+ 2).

(a) Calculer la dérivée de la fonctionf. (b) En déduire la valeur de l’intégraleI.

(2) Calcul deJ etK.

(a) Sans calculerI etJ, montrer queJ+ 2I=K.

(b) A l’aide d’une intégration par parties portant sur l’intégraleK, montrer queK=√ 3−J.

(c) En déduire les valeurs des intégralesJ etK.

Exercice 3. On considère l’équation suivante

z³+ (−1−4i)z²+ (−7 + 4i)z+ 4i+ 3 = 0. (1)

(1) Déterminer les racines carrées complexes de8−6i.

(2) Déterminer une solution de l’équation (1) sous la formeαioùαest un réel.

(3) Déterminer des nombres complexesuetv tels que

z³+ (−1−4i)z²+ (−7 + 4i)z+ 4i+ 3 = (z−αi)(z²+uz+v) (4) Terminer la résolution de (1).

(6)

Exercice 4. Pour toutn∈N^∗, on définit une fonctionfn sur]0,+∞[ par

fn(x) = (lnx)ⁿ x² . On pose alorsI_n=

Z e

1

f_n(x)dx.

(1) Pour tout réel x > 0, on pose F(x) = −1 + lnx

x . Vérifier queF est une primitive de la fonction f1 et en déduire la valeur de I1.

(2) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour toutn∈N^∗,

In+1=−1

e+ (n+ 1)In. (3) Etablir par récurrence, pour tout entiern∈N^∗

In

n! = 1−1 e

1 + 1

1!+ 1 2!+ 1

3!+· · ·+ 1 n!

(4) En utilisant un encadrement delnxsur l’intervalle[1,e], montrer que, pour toutn∈N^∗, 0≤I_n≤1.

(5) En déduire la limite

n→+∞lim

1 + 1 1!+ 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1 n!

.

(7)

Mathématique ECS 1 21 nov. 2015

Devoir surveillé 3.

Exercice 1. Calcul de sommes déjà vues et d’autres.

(1) Simplifier la somme

3n+2

X

k=1

e^2ikπ³ .

(2) Soitx∈R. Simplifier la somme

n

X

k=1

kx^k−1.On pourra remarquer kx^k−1est le polynôme dérivé dex^k.

(3) Simplifier la somme X

1≤i,j≤n

j(i²+j). On donnnera une forme factorisée.

(4) Quel est le résultat affiché par la dernière instruction lorsque les instructions Scilab ci-dessus sont exécutées : m=[-4, 1; 2, 3];

a=(m+m’).*(m-m’);

x=m(1,:)./m(2,:);

disp(a*x’);

Exercice 2. (1) Déterminer des réelsa, b, ctels que : pour toutx∈R^∗, 1

t(1 +t²) = a

t +bt+c 1 +t².

(2) A l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégraleH(x) = Z ^√¹_x

0

2tlnt (1 +t²)²dt.

(3) Etudier la limite lim

x→0x>0

H(x).

(4) Justifier la dérivabilité de la fonctionH sur]0,+∞[et exprimerH⁰(x).

Exercice 3. Soits∈R^∗ etA la matriceA=







0 1

s 1 s²

1 s³

s 0 1

s 1 s²

s² s 0 1

s

s³ s² s 0







(1) CalculerA²et déterminer une relation entreA², AetI4. (2) Montrer queA est inversible et donner la matriceA⁻¹.

(3) Montrer, par récurrence sur n, qu’il existe des suites(a_n)et (b_n)telles que :

∀n∈N, Aⁿ=anI4+bnA

et donner les relations entre an+1, an, bn d’une part et entrebn+1, an, bn d’autre part.

(4) Etablir que la suite(an−bn)est une suite géométrique et on exprimeraan−bn en fonction den.

(5) On pose, pour tout n, un= (−1)ⁿbn.

(a) Montrer que, pour tout entiern, u_n+1=−3un−1.

(b) On pose, pour tout entiern, v_n =u_n+1

4.Montrer que la suite(v_n)est une suite géométrique et on exprimera v_n en fonction den.

(8)

(c) En déduire les expressions dean etbn en fonction den.

Exercice 4. Quelques limites matricielles.

Partie 1.

On rappelle que :

N

X

k=1

a_k b_k c_k d_k

est la matrice







N

X

k=1

a_k

N

X

k=1

b_k

N

X

k=1

ck N

X

k=1

dk







et on désigne parI2 la matrice 1 0

0 1

. Pour tout réel non nult, on pose

At=

1 t

−¹_t −1

.

(1) A quelle condition sursett, l’égalitéA_tA_s=A_sA_test-elle vérifiée ? (2) Calculer(A_t+A_s)²

(3) Montrer que(At+As)²ⁿ = (−1)ⁿ(s−t)²ⁿ (st)ⁿ I2. (4) On dit qu’une suite de matrices

an bn

cn dn

converge vers une matrice a b

c d

lorsque

liman =a, limbn=b, limcn =c, limdn=d

et on note alors : lim

a_n b_n c_n d_n

= a b

c d

. On pose pour tout entier n∈N^∗,

Mn=

n

X

k=1

(At+A2t)^2k.

Etudier lim

n→+∞Mn.

(5) On pose pour tout entier n∈N^∗,

P_n =

n

X

k=1

(A_k+A_k+1)².

Etudier lim

n→+∞Pn.

Partie 2.

Pour tout réel non nult, on pose

Bt=

cost −sint sint cost

etCt=

1 −^a_t

a

t 1

.

Dans cette partie, on s’intéresse à la limite lim

n→+∞(Cn)ⁿ.

(6) Montrer que pour toutt∈R^∗ et toutn∈N^∗, (B_t)ⁿ=B_nt.On pourra procéder par récurrence surn.

(7) Soitn∈N^∗. Justifier l’existence d’un réelθ_n∈[0,2π[vérifiant

cos(θn) = 1

p1 + (_n^a)² et sin(θn) = a np

1 + (^a_n)².

On pourra considérer le nombre complexe1 + a ni.

(8) Exprimer alorsCn en fonction dep

1 + (_n^a)² etBθ_n.

(9) Exprimer alors(Cn)ⁿ en indiquant ses coefficients en fonction dea, net θn. On la donnera sous la forme

(C_n)ⁿ =λ_n

cos(un) −sin(un) sin(un) cos(un)

(9)

(10) On s’intéresse dans cette question à la limite : lim

n→+∞

1 +a

n ²ⁿ₂

.

(a) Rappeler la limite lim

u→0

ln(1 +u)

u .

(b) Utiliser la limite précédente pour déterminer lim

n→+∞

1 +a

n 2ⁿ₂

.

(11) On s’intéresse dans cette question à la limite : lim

n→+∞nθ_n. (a) Soitn∈N. Montrer que0< θ_n< π

2.

(b) A l’aide de ses variations, étudier le signe de la fonction définie suri 0,π

2 h

parg(x) = sin(x)−xcos(x).

(c) En étudiant la fonction définie définie suri 0,π

2 h

parf(x) = x

sin(x), montrer que pour toutx∈i 0,π

2 h

,

sin(x)≤x≤π 2 sin(x).

(d) En déduire lim

n→+∞θn. (e) En utilisant la limite lim

u→0

sin(u)

u , déterminer lim

n→+∞nθn. (12) En déduire la limite lim

n→+∞(C_n)ⁿ

(10)

Exercice 5. On répartit les entiers 1,2,3, . . . , n, n+ 1, . . . ,2nen deux groupes de nentiers :

— les entiers du premier groupe sont renommésa1, a2, . . . , an de telle sorte quea1< a2<· · ·< an,

— les entiers du second groupe sont renommésb1, b2, . . . , bn de telle sorte queb1> b2>· · ·> bn. Le but de l’exercice est de calculer la somme

n

X

k=1

|ak−bk|.

(1) Un exemple. On suppose n= 4.

(a) On regroupe les entiers1,2,3, . . . ,8ainsi :

a₁= 1, a₂= 3, a₃= 6, a₄= 7etb₁= 8, b₂= 5, b₃= 4, b₄= 2

Que vaut la somme

4

X

k=1

|ak−b_k|?

(b) On regroupe les entiers1,2,3, . . . ,8ainsi :

a1= 2, a2= 3, a3= 5, a4= 8etb1= 7, b2= 6, b3= 4, b4= 1

Que vaut la somme

4

X

k=1

|ak−bk|?

(2) On revient au cas général. On a donc une répartition des entiers1,2,3, . . . , n, n+ 1, . . . ,2ndeux groupes denentiers vérifianta₁< a₂<· · ·< a_n et b₁> b₂>· · ·> b_n.

(a) Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir à la foisa_i ≤net b_i≤n.

(b) Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir à la foisa_i≥n+ 1et b_i≥n+ 1.

(3) En déduire alors le calcul de

n

X

k=1

|ak−bk|

(11)

Mathématique ECS 1 15 décembre 2015

Concours blanc 1.

Exercice 1. Applications du cours.

(1) Soit(un)n∈Nla suite arithmético-géométrique définie paru0= 6et la relation de récurrenceun+1= 3un−8. Exprimer un en fonction den.

(2) Enoncer l’inégalité de Cauchy-Schwarz (tout énoncé incomplet ne donnera lieu à aucun point).

(3) Simplifier la somme double X

0≤j≤k≤2n

(−1)^k 2n

k k

j

.

(4) Etudier l’inversibilité et, le cas échéant, calculer l’inverse, de la matrice

M =





0 1 −1

0 −1/2 1

1 5/2 −7



.

Toutes les opérations devront être indiquées sur la copie.

Exercice 2. Pour toutn∈N^∗, on poseIn= Z ^π₄

0

cosnx (cosx)ⁿdx.

(1) Soitn∈N^∗. En intégrant par parties, montrer que

Z ^π₄

0

sinnxsinx

(cosx)ⁿ⁺¹dx=(√

2)ⁿsin(^nπ₄ ) n −In.

(2) Grâce au résultat précédent, établir une relation de récurrence entre In+1et In. (3) En considérant Ip+1

2^p+1 −Ip

2^p, montrer que

I_n= 2ⁿ π 8 −

n−1

X

k=1

sin(^kπ₄ ) 2k(√

2)^k

!

Exercice 3. Pour une fonction f : [0,1]−→R, on pose pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,1],

Sn(f, x) =

n

X

k=0

n k

f k

n

x^k(1−x)^n−k.

On prendra garde dans cet exercice à ne pas confondre les variables net x.

(1) Déterminer, dans chacun des cas suivants, la forme simplifiée deS_n(f, x)et la limite lim

n→+∞S_n(f, x)si elle existe : (a) f est la fonction définie parf(x) = 1, pour toutx∈[0,1]

(b) f est la fonction définie parf(x) =x, pour toutx∈[0,1]

(c) f est la fonction définie parf(x) =x², pour toutx∈[0,1]

(2) Dans cette question, on pose, pour tout x∈[0,1], f(x) = e^x. (a) Vérifier que, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,1]

S_n(f, x) =

1 +x(eⁿ¹ −1)n

(12)

(b) Déterminer lim

n→+∞Sn(f, x)

(3) Dans cette question, la fonction f est une fonction dérivable quelconque sur [0,1] et on pose pour tout x ∈ [0,1], g(x) =xf(x).Vérifier que pour toutx∈[0,1]et toutn∈N^∗,

Sn(g, x) = x(1−x)

n S_n⁰(f, x) +xSn(f, x) oùS_n⁰(f, x)est la dérivée par rapport àxdeSn(f, x).

(4) Etablir, pour toutn∈N^∗ et pour toutx∈[0,1],l’égalité :

n

X

k=0

n k

k n−x

2

x^k(1−x)^n−k= x(1−x) n

(5) Dans cette question, on pose, pour tout x∈[0,1], f(x) = 1 1 +x. (a) Vérifier que, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,1],

S_n(f, x) =n Z 1

0

tⁿ⁻¹(1−x(1−t))ⁿdt

(b) Etablir, pourn∈Net (a, b)∈[0,1]²,l’inégalité|aⁿ−bⁿ| ≤n|a−b|.

(c) En déduire, pourn∈N^∗ et pour tous réelsx, x⁰ ett de[0,1], l’inégalité :

|(1−x(1−t))ⁿ−(1−x⁰(1−t))ⁿ| ≤n(1−t)|x−x⁰| puis

|Sn(f, x)−Sn(f, x⁰)| ≤ |x−x⁰|

(d) Déduire de (c) que :∀x∈[0,1], |S_n⁰(f, x)| ≤1 (e) En remarquant quexf(x) = 1−f(x), montrer que

∀n∈N^∗, ∀x∈[0,1], x(1−x)

n S_n⁰(f, x) = 1−(1 +x)Sn(f, x).

(f ) En déduire, que pour tout entiern∈N^∗ et tout réelx∈[0,1],

|S_n(f, x)−f(x)| ≤ 1 4n puis déterminer la limite lim

n→+∞S_n(f, x).

Exercice 4(Autour de la suite de Fibonacci.). On définit une suite(fn)_n≥1 en posant

f1= 1, f2= 1et pour toutn∈N^∗, fn+2=fn+1+fn.

et on introduit aussi le vecteur colonne défini pour toutn∈N^∗, parXn= fn+1

f_n

.

(1) Pour toutn∈N, on posevn=f_n+2² −fn+1fn+3. (a) Calculerv₀, v₁ etv₂.

(b) Montrer que pour toutn∈N^∗, v_n=−v_n−1. (c) En déduire, pour toutn∈N, vn en fonction den.

(d) A l’aide du résultat obtenu, expliquer la supercherie ci-dessous (pour être prise en compte, toute explication devra obligatoirement s’appuyer sur un calcul.)

(2) Soitn∈N^∗.

(a) Déterminer la matriceAtelle queXn+1=AXn.

(b) Montrer que, pourn≥2, Aⁿ =

fn+1 fn

fn fn−1

(13)

(c) Etablir, pour toutp∈N, la relationfn+p+1=fnfp+1+fn+1fp+2.On pourra considérerAⁿ×A^p+1. (d) Etablir, d’une manière analogue, la relation :f_3n=f_n+1³ +f_n³−f_n−1³ .

(3) (a) Déterminer les racines de l’équationx²−x−1 = 0. On noteraω la racine positive.

(b) Soitn∈N^∗. Montrer que

ω=ωfn+2+fn+1

ωf_n+1+f_n .

(c) On donne ³₂< ω <2. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour toutn∈N^∗,

f2n+3

f2n+2

< ω < f2n+2

f2n+1

(on pourrra remarquer queω= 1 +_ω¹).

(5) Ecrire un script Scilab demandant à l’utilisateur un entiern, n’utilisant aucune boucle (ni boucle for, ni boucle while) et permettant le calcul des quotients f_2n+2

f2n+1

et f_2n+1 f2n

Exercice 5(D’après Lewis Carrol). « De deux choses l’une : ou bien le malfaiteur est venu en voiture, ou bien le témoin s’est trompé. Si le malfaiteur avait un complice, alors il est venu en voiture. Le malfaiteur n’avait pas de complice et n’avait pas la clé, ou bien le malfaiteur avait un complice et avait la clé. Le malfaiteur avait la clé. Que faut-il conclure de tout cela ? »

(14)

Mathématique ECS 1 17 décembre 2015

Concours blanc 1. Prolongation 1 heure 30.

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Exercice 1. Simplifier la somme

3n

P

k=0 3n

k

cos(^2kπ₃ ).

Exercice 2. Pour toutn∈N^∗, on poseIn= Z ^π₄

0

cosnx (cosx)ⁿdx.

(1) Soitn∈N^∗. En intégrant par parties, montrer que Z ^π₄

0

sinnxsinx

(cosx)ⁿ⁺¹dx=(√

2)ⁿsin(^nπ₄ )

n −In.

(2) Grâce au résultat précédent, établir une relation de récurrence entre I_n+1et I_n. (3) En considérant Ip+1

2^p+1 −Ip

2^p, montrer que

In= 2ⁿ π 8 −

n−1

X

k=1

sin(^kπ₄ ) 2k(√

2)^k

!

Exercice 3. On définit une suite (fn)_n≥1 en posant

f1= 1, f2= 1et pour toutn∈N^∗, fn+2=fn+1+fn. Soitωla racine positive de l’équation x²−x−1 = 0 :ω= 1 +√

5 2 . On donne ³₂ < ω <2.

Montrer, par récurrence surn, que pour toutn∈N^∗,

f2n+2

f2n+1

< ω < f2n+1

f2n

(15)

Mathématique ECS 1 23 mai 2016

Concours blanc 2.

Ce sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1. On considère l’espace vectoriel R³muni de sa base canonique (~e1, ~e2, ~e3):

~ e1=



 1 0 0



, ~e2=



 0 1 0



, ~e3=



 0 0 1



.

L’identité deR³ est notéeI_R3 et la matrice identité deM3(R)est notéeI₃.

On rappelle aussi que pour un endomorphismef d’un espace vectoriel E, les notationsf², f³,etc. désignentf ◦f, f◦f ◦f etc.

Soitf l’application de R³ dansR³définie par

f



 x y z



=





2x−y+z x+z x−y+ 2z





(1) (a) Montrer quef est un endomorphisme deR³et déterminer la matriceA∈M3(R)telle quef



 x y z



=A



 x y z



.

(b) Montrer queA²= 3A−2I₃. (c) En déduire quef²= 3f −2I_R3.

(d) Montrer que f est un automorphisme deR³ et déterminer l’automorphisme réciproque def en fonction de I_R3

et def.

(2) Déterminer une base de Ker (f −2I_R3)et une base de Ker(f −I_R3).

(3) Montrer que Ker(f−2I_R3)et Ker(f−I_R3)sont supplémentaires dans R³. (4) (a) Déterminer des endomorphismesp, q deR³ tels que

p+q = I_R3

2p+q = f

(On les exprimera en fonction deI_R3 etf ) (b) Montrer quep, qsont des projecteurs.

(c) Vérifier quep◦q=q◦p= 0.

(5) A l’aide de la question (4), établir que pour tout entiern∈N, fⁿ= 2ⁿp+q.

Exercice 2. Soit(An)une suite de matrices deM4(R), l’élément situé à l’intersection de lai^ème ligne et de laj^èmecolonne est notéai,j(n), et soit une matrice AdeM4(R), dont l’élément situé à l’intersection de lai^ème ligne et de laj^ème colonne estai,j.

On dit que la suite de matrices(An)converge vers la matriceAsi :

∀(i, j)∈J1,4K×J1,4K, lim

n→+∞a_i,j(n) =a_i,j

On admettra le résultat suivant : si(An) et (Bn) sont deux suites de matrices de M4(R)admettant respectivement pour limites des matricesA etB, alors la suite(AnBn)admet pour limite la matriceAB.

On considère deux urnesU et V contenant chacune 3 boules. Au départ, l’urne U contient 3 boules blanches et l’urneV contient 3 boules noires.

(16)

On effectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer au hasard une boule de chaque urne et à la mettre dans l’autrre urne (un tirage est un échange de 2 boules).

Pour tout entier natureln, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient U avant le (n+ 1)^ème tirage (c’est à dire après len^ème échange) et on a doncX0= 3.

On considère le vecteur colonneYn=







P(Xn= 0) P(Xn= 1) P(Xn= 2) P(X_n= 3)





 .

(1) Soient n un entier supérieur ou égal à 3 etM la matrice de M4(R) dont l’élément de la (i+ 1)^ème ligne et de la (j+ 1)^ème colonne est égal àP_(X_n_=j)(X_n+1=i).

(a) Pour tout couple(i, j)éléments deJ0,3Ket tout entiern≥3, déterminerP_(X_n_=j)(X_n+1=i).

(b) Justifier soigneusement queM est la matrice donnée à la question (4).

(c) Montrer que :∀n∈N, n≥3, Yn+1=M Yn (le résultat est admis pourn= 0,1 et2).

(d) En déduire que :∀n∈N, Yn=MⁿY0.

(2) SoitS la matriceS=







−1 1 −1 1

3 −1 −3 9

−3 −1 3 9

1 1 1 1







et J la matrice diagonaleJ =







−¹₃ 0 0 0 0 −¹₉ 0 0 0 0 ¹₃ 0

0 0 0 1







(a) Montrer queS est une matrice inversible (on ne demande pas de calculer son inverse).

(b) Calculer les produitsM S etSJ.

(c) A l’aide des questions précédentes (2a) et (2b), établir :

∀n∈N, Mⁿ=SJⁿS⁻¹

(d) En déduire que la suite de matrices(Mⁿ)admet une limiteM^∞vérifiantM^∞=S







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1





 S⁻¹

(3) SoitL₁, L₂, L₃ etL₄les lignes de la matricesS⁻¹. On poseL₄= a1 a2 a3 a4 .

(a) En utilisant l’égalitéS⁻¹M =J S⁻¹, montrer queL₄M =L₄ et en déduire quea₁=a₂=a₃=a₄. (b) En utilisant l’égalitéS⁻¹S =I₄, montrer quea₁=a₂=a₃=a₄= 1

20. (c) Déterminer la matriceM^∞ en la donnant avec ses16coefficients.

(4) Compléter les pointillés dans le programme Scilab suivant pour que la variable E renvoyée en fin de programme calcule l’espérance deXn. On recopiera uniquement les lignes à compléter.

n=input(’Saisir un entier naturel non nul’);

M=[0 , 1/9 , 0 , 0 ; 1, 4/9 , 4/9 , 0 ; 0 , 4/9 , 4/9 , 1 ; 0 , 0 , 1/9 , 0];

Y=[0 , 0 , 0 , 1]’;

V=[... , ... , ... , ...];

for j=1:n do Y= ... ... ...;

end;

E= V * Y;

disp(E)

(5) On considère dans cette question l’expérience aléatoire suivante : dans une urne contenant 3 boules blanches et 3 boules noires, on tire successivement et sans remise 3 boules. On appelle alorsX la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

(a) DéterminerX(Ω)et la loi deX.

(b) Vérifier que lim

n→+∞







P(X_n= 0) P(X_n= 1) P(X_n= 2) P(Xn= 3)







=







P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3)





 .

On dit que la suite(Xn)converge en loi vers la variable aléatoireX.

(17)

Exercice 3(Formule de Stirling.). Ce problème a pour objectif d’établir l’équivalent den!suivant : n!∼√

2πnn e

ⁿ

Cet équivalent est connu sous l’appellation « formule de Stirling. » Les deux parties de ce problème sont indépendantes.

Première partie.

(0) Par intégration par parties, trouver une primitive sur ]0,+∞[det7→lnt.

(1) Soitkun entier tel quek≥2.

(a) Montrer que pour toutk∈N, k≥2 : Z k

k−1

lntdt≤lnk≤ Z k+1

k

lntdt.

(a) En déduire un encadrement delnn!, puis un équivalent de lnn!.

(2) On pose désormais, pour toutn≥1,

vn= eⁿn!

nⁿ⁺¹², etdn= lnvn. Montrer que, pour toutn≥1,

d_n−d_n+1=2n+ 1

2 ln 1 + _2n+1¹ 1−_2n+1¹

!

−1 (3) Montrer que, pour toutn≥1,

1

12n+ 1 − 1

12(n+ 1) + 1 ≤ 1 3(2n+ 1)²

et 1

12n− 1

12(n+ 1) ≥ 1 3((2n+ 1)²−1) (4) Soitf la fonction définie sur]0,1[parf(t) = 1

2tln 1 +t

1−t

−1−t² 3. (a) Etudier les variations de la fonctiong définie sur]0,1[parg(t) = 2tf(t).

(b) En déduire quef est positive.

(5) Soithla fonction définie sur]0,1[parh(t) = t²

3(1−t²)− 1 2tln

1 +t 1−t

+ 1.

(a) Etudier les variations de la fonctionkdéfinie sur ]0,1[park(t) = 2th(t).

(b) En déduire le signe deh.

(6) En déduire, pour tout n≥1, l’encadrement 1

12n+ 1 − 1

12(n+ 1) + 1 ≤dn−dn+1≤ 1

12n− 1

12(n+ 1)

(7) Montrer que les suites (dn−_12n¹ )_n∈N^∗ et (dn−_12n+1¹ )_n∈N^∗ sont adjacentes. Soit`leur limite commune.

(8) En déduire l’existence d’un réelC tel que pour toutn≥1,

Cnⁿ⁺¹²e⁻ⁿe¹²ⁿ⁺¹¹ ≤n!≤Cnⁿ⁺¹²e⁻ⁿe¹²ⁿ¹ et donner un équivalent den!à l’aide de la constanteC.

Deuxième partie.

Dans cette partie, on détermine la constanteC de l’équivalent den!trouvé plus haut.

Pour toutn∈N, on poseI_n = Z ^π₂

0

cosⁿxdx (1) CalculerI0 etI1.

(2) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que pourn≥1, I_n+1= n

n+ 1I_n−1. En déduire les valeurs deI2p et I2p+1 en fonction dep.

(3) Montrer que la suite (In)n∈N est décroissante et en déduire la limite de la suite I2n

I2n+1

. (4) Montrer alors queC=√

2π.

(18)

Mathématique ECS 1 23 janv. 2016

Devoir surveillé 5.

Exercice 1. On considère la suite(u_n)définie par récurrence comme suit : on poseu₀= 0et pour tout entiern∈N^∗,

u_n=p

n+u_n−1

(1) Montrer que(un)est une suite positive et croissante. On pourra raisonner par récurrence.

(2) En déduire que : pour tout n∈N, un≥√ n.

(3) On pose, pour tout n∈N, vn=un−√ n.

(a) Montrer que pour toutn∈N, vn = u_n−1 u_n+√

n et en déduire l’encadrement0< vn <1 pour tout n∈N tel que n≥2.

(b) En déduire, pour tout entiern≥3, l’encadrement :

√n−1 2√

n+ 1 < vn<

√n−1 + 1 2√

n . (c) Conclure à la convergence de la suite(v_n)et à sa limite éventuelle.

(4) Compléter le programme Scilab suivant pour qu’il calcule le terme u_n de la suite : n=input(’Entrez une valeur de n’);

u=0;

for ... do u=...

end;

(5) Donner le résultat du programme suivant sous sa forme exacte (on ne demande pas de valeur approchée) : u=0;

for j=5:(-1):1 do u=sqrt(j+u);

end;

Exercice 2. Soit(a_k)_k≥0 une suite de réels strictement positifs.

Pour tout entiern≥1, on définit la fonctionf_n sur[0,+∞[par :f_n(x) =

n

P

k=1

a_kx^k−a₀

(1) Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution positive. On noteλn cette racine.

(2) Montrer que pour toutn∈N^∗, fn+1(λn) =an+1λⁿ⁺¹_n . En utilisant les variations defn+1, établir que la suite(λn)n≥1

est strictement décroissante. En déduire que cette suite converge vers une limiteλ.

(3) Dans cette question, on suppose que pour tout entierk≥0, on a :ak=k+ 1.

(a) Montrer que0≤λ <1.

(b) Montrer la relation suivante : (n+ 1)λⁿ⁺²_n −(n+ 2)λⁿ⁺¹_n + 1 = 2(1−λn)²(on pourra exprimerfn(x)en fonction de la dérivée de

n+1

P

k=0

x^k.)

(19)

(c) Etudier la limite lim

n→+∞λⁿ_n. (d) En déduire la valeur deλ.

Exercice 3. Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et quatre boules noires.

On prélève simultanément quatre boules dans l’urne. On suppose les boules indiscernables au toucher.

(1) Décrire ce qu’est un résultat possible pour cette expérience et déterminer le nombre de cas possibles (le cardinal de l’univers).

(2) Calculer la probabilité que d’un prélèvement unicolore (c’est à dire les quatre boules soient de la même couleur).

(3) (a) Quelle est la probabilité d’un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ? (b) Démontrer que la probabilité d’un prélèvement bicolore est 68

165. (4) Déduire des résultats précédents la probabilité d’un prélèvement tricolore.

(5) Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux boules rouges sachant que le prélèvement est bicolore ?

Exercice 4. Deux personnesP1 et P2 ont rendez-vous dans un complexe formé de cinq sitesS1, S2, S3,S4 etS5, disposés en pentagone et reliés par des routes, comme l’illustre le schéma ci-dessous.

S4

S3

S2

S1

S5

Ils arrivent au rendez-vous à I’heure prévue, mais suite à un malentendu,P₁se présente au site S₁et P₂ au siteS₂. Ils décident alors de partir à la recherche I’un de l’autre. Ils empruntent les différentes routes du complexe, avec les règles suivantes : .

— à partir d’un site, chacun choisit de se rendre sur l’un des deux sites voisins, les deux possibilités étant équiprobables ;

— les déplacements des deux personnes se font simultanément ;

— tous les choix de déplacement se font indépendamment les uns des autres.

Ils continuent à se déplacer ainsi jusqu’à se retrouver éventuellement sur un même site (ils ne se rencontrent pas le long des routes ). Une fois retrouvés, ils ne se déplacent plus.

Pour tout entier naturel n, on définit les trois événementsAn,Bn,Cn :

—A_n : « les deux personnes sont sur le même site après len-ième déplacement »

—B_n : « les deux personnes sont sur des sites adjacents après len-ième déplacement »

—C_n : « les deux personnes sont à deux routes de distance après len-ième déplacement » On notea_n,b_n,c_n les probabilités respectives des événementsA_n, B_n,C_n.

(1) Justifier pourquoiAn, Bn,Cn forment un système complet d’événements.

(2) Déterminer les valeurs dea0,b0 etc0. (3) (a) Montrer :∀n∈N,PC_n(An+1) = ¹₄.

(b) Justifier l’égalité :PA_n(An+1) = 1

(c) Déterminer toutes les probabilités conditionnelles analogues. On représentera les résultats en reproduisant sur la copie et en complétant le schéma ci-dessous (indiquer les valeurs des probabilités conditionnelles figurant sur le scéma)

(20)

C

A B

PA_n(An+1)

PC_n(An+1) PAn(Cn+1)

P_A_n(B_n+1)

PBn(An+1)

PCn(Bn+1)

PB_n(Bn+1)

PB_n(Cn+1)

PCn(Cn+1)

(4) Etablir les relations suivantes pour tout entiern∈N:







an+1=an+¹₄cn

bn+1= ³₄bn+¹₄cn

cn+1= ¹₄bn+¹₂cn

(5) (a) En utilisant les relations en (4), exprimerbn+2 à l’aide debn+1, bn.

(b) En déduire une expression debn en fonction den. On fera intervenir les nombresα=⁵⁻

√5

8 et β=⁵⁺

√5 8

(c) Montrer que pour toutn∈N:c_n=

√5

5 (βⁿ−αⁿ).

(6) (a) Exprimeran en fonction den,αetβ. (on pourra s’intéresser à la sommean+bn+cn).

(b) Déterminer la limite de la suite(an)_n∈

N.

(21)

Mathématique ECS 1 12 mars. 2016

Devoir surveillé 6.

Exercice 1. Soitf la fonction définie surRpar

f(x) =e^2x−1 e^2x+ 1 (1) Montrer quef est impaire. Etudier les variations def.

(2) Montrer quef réalise une bijection deRsur]−1,1[et donner son application réciproque.

(3) Vérifier que pour tous réels aetb,

f(a+b) = f(a) +f(b) 1 +f(a)f(b) (4) Déduire de ce qui précède que sixet y appartiennent à]−1,1[alors x+y

1 +xy appartient à]−1,1[.

Deuxième partie.

On noteDle sous-ensemble deCdéfini parD={z∈C| |z|<1}etαun nombre complexe appartenant àD.

(1) Montrer que pour toutz∈C, |1−αz|²− |z−α|²= (1− |z|²)(1− |α|²). En déduire que siz∈Dalors z−α 1−αz ∈D.

(2) Montrer que l’applicationϕ:D−→Ddéfinie parϕ(z) = z−α

1−αz est une bijection et donner l’application réciproque ϕ⁻¹.

Exercice 2. Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Une urne contientn+ 5boules dontnrouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément trois boules de cette urne. Soit les événements suivants :

A« Les trois boules sont rouges. »

B « Les trois boules sont de la méme couleur. »

C « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. » Les réponses seront données sous la forme la plus réduite possible.

(1) Calculer les probabilitésP(A), P(B)etP(C)en fonction den.

(2) On noteX le nombre de couleurs obtenues. Déterminer les probabilités des événements[X= 1],[X= 2],[X= 3]

(3) Soit maintenant l’ événement D : « Deux boules exactement sont de la méme couleur. »Calculer la probabilité de l’événementD en fonction den.

Exercice 3. Questions indépendantes sur les polynômes.

(1) SoitAla matrice

A=







3 2 1 −1

0 1 0 0

−1 −1 1 1

1 1 1 1







(22)

(a) CalculerA²et trouver une relation entreA², AetI4.

(b) Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme Xⁿ par le polynôme X²−3X+ 2.

(c) En déduire le calcul de la matriceAⁿ.

(2) SoitP un polynôme à coefficients complexes de degrén∈N^∗ ayant pour expressionP(X) =

n

X

j=0

c_jX^j.

(a) Soitk∈J0, nKetα∈C^∗. Donner l’expression deP^(k)(α)en fonction dec_k, c_k+1, . . . , c_n et α.

(b) Soitj ∈J0, nK. A l’aide de la formule du binôme, déterminer des coefficientsλ0, λ1, . . . , λj tels que

X^j =

j

X

k=0

λk(X−α)^k.

(c) Etablir alors la formule de Taylor

P(X) =

n

X

k=0

P^(k)(α)

k! (X−α)^k

(3) On considère le polynômeP(X) =X⁶+ 2X⁴+ 4X³+X²+ 4X+ 4.Factoriser dansR[X]le polynômeP(X)sachant qu’il admet une racine évidente dont on précisera la multiplicité.

Exercice 4. Dans la première partie, on met en oeuvre la méthode de Newton pour construire des approximations de la solution d’une équation.

Dans la seconde partie, on étudie un exemple où la méthode de Newton peut produire des suites périodiques de n’importe quelles périodes pourvu que la condition initiale soit bien choisie.

Première partie.

Soitf la fonction définie sur Rpar f(x) = x³−2x−5. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,~i,~j).

(1) Montrer que l’équation f(x) = 0admet une unique solutionαdansRet que 2< α < 5 2. (2) Soitt > α. Ecrire l’équation de la tangenteT au graphe def au point(t, f(t)).

Montrer queT coupe l’axe(O,~i)au point d’abscisseg(t) =t− f(t) f⁰(t). (3) On considère la suite définie par récurrence par

u0=5

2, et ∀n∈N un+1=g(un) (4) (a) Montrer que, surI= [α,+∞[, la fonctiong est croissante et vérifieg(x)≥α.

(b) Montrer que pour toutn∈N, un> αpuis que la suite(un)décroît.

(c) En déduire que la suite(u_n)converge vers une limite que l’on précisera.

(5) (a) Montrer que, pour toutx∈[α,+∞[,

g(x)−α= (x−α)²(2x+α) 3x²−2 .

(b) En étudiant les variations de la fonctionhdéfinie sur[α,+∞[parh(x) = 2x+α

3x²−2, montrer l’inégalité

∀x∈[α,+∞[, 2x+α 3x²−2 <3

4

(c) En déduire que, pour tout entiern∈N, |un+1−α| ≤0.75|un−α|² puis par récurrence que

|un−α| ≤ 1

0.750.75²ⁿ

(6) Compléter le programme suivant pour qu’il calcule une valeur approchée de α à une précision « eps » donnée par l’utilisateur :

(23)

eps=input(’Entrer une precison : ’) u=5/2;

err=1;

while err > eps do u=...

err=...

end;

disp(u)

Deuxième partie.

SoitR∈N^∗.

On dit qu’une suite(u_n)est périodique de périodeR lorsque

∀n∈N, un+R=un.

Soitf la fonction définie surRparf(x) =x³−3x+ 3.

Pour un réelαdonné, on considère, lorsqu’elle est bien définie, la suite(xn)_n∈Nvérifiantx0=αet la relation de récurrence :

∀n∈N, x_n+1=x_n− f(x_n) f⁰(xn).

Le but de cette partie est de montrer que pour tout entier naturel R ∈ N^∗, il existe un réel αtel que la suite (xn) soit périodique de périodeR.

(1) Montrer qu’il existe un réel αtel que la suite(xn)soit stationnaire (c’est à dire de période R = 1). On supposera désormais queR est un entier supérieur ou égal à2.

(2) On considère la fonctionF définie surR\ {−1,1}parF(x) =x− f(x) f⁰(x). (a) Montrer que, pour tout réelxdifférent de−1et 1,F(x) = 2x³−3

3(x²−1).

(b) Montrer queF réalise une bijection de l’intervalle ]1,+∞[ sur un intervalleJ à préciser et que son application réciproque est une fonction continue. On noteGl’application réciproque deF.

(c) Montrer que pour tout réelx, G(x)> x. On pourra commencer par établir queF(t)< tpour tout réelt >1.

(3) On définit G₂=G◦G, G₃=G◦G◦Get plus généralement sik∈N^∗, on pose Gk =G◦G◦G◦ · · · ◦G

| {z }

kfois

.

On considère alors un entierR supérieur ou égal à2 etH la fonction définie sur l’intervalle]−1,0]par H(x) =F(x)−GR−1(x).

(a) A l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, montrer qu’il existeα∈]−1,0]tel queH(α) = 0.

(b) Montrer alors que la suite définie parx0=αet la relation de récurrence :

∀n∈N, xn+1=xn− f(xn) f⁰(x_n)

est périodique de périodeR.

(c) A l’aide de la question (2c), montrer que

x1> x2>· · ·> xR−1> x0. Que peut-on en conclure pour la périodicité de la suite(xn)?

(24)

Exercice 5. Jack, un malfrat, a été assassiné sur une route déserte à la sortie de Baltimore, vers 3 heures du matin. C’était le 7 août dernier. Une semaine plus tard, cinq suspects ont été arrêtés et interrogés : Shorty Malone, Tony Almeda, Freddy Verelli, Joey Goldman, Elliot Smith et Sam Johnson. Lors des interrogatoires, chacun d’eux a donné quatre informations parmi lesquelles trois seulement sont absolument vraies et une seule est fausse.

Shorty : «

— J’étais à Chicago quand Jack a été tué.

— Je n’ai jamais tué personne.

— Le coupable est Sam.

— Joey et moi avons déjà été associés. » Elliot : «

— Je n’ai pas tué Jack.

— Je n’ai jamais possédé de revolver de ma vie.

— Sam me connait.

— J’étais à Washington la nuit du 7 août. » Tony : «

— Elliot ment quand il affirme n’avoir jamais possédé de pistolet.

— Le meutre a été commis vers 3 heures du matin.

— Shorty était à Chicago au moment du crime.

— Le coupable est l’un d’entre nous. » Joey : «

— Sam n’a jamais mis les pieds à Baltimore.

— Je n’avais jamais rencontré Shorty avant aujourd’hui.

— Elliot et moi étions à Washington la nuit du 7 août. » Sam : «

— Je ne suis jamais allé à Baltimore.

— Je n’avais jamais rencontré Elliot avant aujourd’hui.

— Shorty ment quand il affirme que je suis coupable. »

Les enquêteurs ont la certitude que l’assassin est l’un des cinq. Qui est ce ?

Sam dit « Je n’ai pas tué Jack » et « Shorty ment quand il affirme que je suis coupable » : si la première est vraie, la deuxième est vraie aussi et si la première est fausse alors la deuxième aussi est fausse. Donc elles sont ou bien toutes deux vraies ou bien toutes deux fausses. Comme il ne peut y avoir qu’une information fausse, ces deux informations sont vraies.

Sam est donc innocent.

Shorty dit « Le coupable est Sam ». On a établi que cette information est fausse donc les trois autres informations données par Shorty sont vraies. En particulier, Shorty est innocent et Joey le connait bien donc la troisième information de Joey est fausse et c’est donc la seule fausse. Par conséquent, Joey est innocent et il dit vrai quand il affirme que Sam n’a jamais été à Baltimore. La deuxième information donnée par Sam est donc vraie. L’information fausse de Sam porte donc sur les liens entre lui et Elliot : ainsi Sam et Elliot se connaissent ce qui rend vraie la troisième information donnée par Elliot. Joey dit vrai aussi à propos de la présence à Washington d’Elliot ce qui implique que la troisième information donnée par Elliot est vrai aussi.

Les trois dernières informations données par Tony sont vraies donc la première est fausse : Tony ment quand il affirme qu’Elliot a menti. La seconde information d’Elliot est donc vraie.

Les trois dernières informations données par Eliott sont donc vraies. La première est donc fausse : Elliot a tué Jack !

(25)

M ath ematiques ´ - ECS1

1

DS - 08

Lyc´eeLaBruy`ere 30avenue deParis 78000 Versailles

Année scolaire 2015 - 2016.

(26)

1 Contrôle de mathématiques

1.1 Algèbre linéaire

(1) SoitVle sous espace vectoriel deR³formé des vecteurs de la forme (x−y+z, 2x−y,−y+2z)

oùx,y,zsont des réels quelconques. Déterminer une famille génératrice deV.

(2) SoitWle sous espace vectoriel deR³

W ={(x,y,z,t)∈R⁴ | x+y=2z−tetx−y=2z+t}.

Déterminer une base et la dimension deW.

(3) SoitFl’endomorphisme deR3[X] défini parF(P)=3P−XP⁰.Déterminer une base de Im(F) et la dimension de ker(F)

(4) Enoncer le théorème du rang (énoncé complet avec les hypothèses).

2

(27)

1.2 Analyse ³

(5) Soitf :R⁴−→M2(R) l’application linéaire définie par f(x,y,z,t)= x+2y−z −x−z+t 2y−2z+t x+4y−3z+t

! . Déterminer le rang de f.

(6) Déterminer une base de ker(f) oùf est l’application linéaire précédente.

1.2 Analyse

(1) Calculer la somme de la série

+∞

X

k=0

(−1)^k k!

(2) Soit f la fonction définie surR\ {−1}par f(x)=arctan x−1 x+1

!

. Calculer f⁰(x).

(3) Donner un équivalent deun=ln(1+ne⁻²ⁿ) 1−e^e⁻ⁿ

(4) Donner un équivalent deun= eⁿ¹^√ⁿ −1

−ln(cos(_n¹2)) et indiquer la nature de la sérieX

n≥1

un

(28)

4 Contrôle de mathématiques

(5) Nature de la sérieX

n≥2

n(n−1) 13 18

!n

et calculer sa somme en cas de convergence.

(6) Calculer, par changement de variable, l’intégrale Z

√ 3 0

1 3+t²dt

(7) Enoncer la formule de Leibniz.

1.3 Probabilités

(1) SoitXune variable aléatoire telle queX(Ω)=~1,netP(X=k)=α2^−k. Déterminer α.

(2) SoitXune variable aléatoire suivant la loi binômialeB(10,¹₄).On poseY =2X−10.

DonnerE(Y) etV(Y).