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IPSA | Partiel de transfert thermique En 32a sp du 6 avril 2018

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PAGE DE GARDE – SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2017-2018 Classe : Aéro-3

Type d’examen : PARTIEL Matière : Transfert thermique spé Code matière : En 32 a sp

Date : 6 avril 2018 Horaire :

Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit

Documents autorisés : OUI, papiers, numérique, ordinateur SANS CONNEXION internet.

Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses.

Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, la note attribuée sera égale à zéro.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /08 Exercice 2 : /12

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

Corrigé

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Exercice 1 : Ailette (8 points)

On considère une barre cylindrique de cuivre non calorifugée d’axe Ox de longueur L, de rayon R = 0.5 cm et de conductivité thermique λ = 380 Wm^-1K^-1. La barre en x = 0 est plongée dans un bain d’eau chaude de température constante T0 = 100°C. Le reste de la tige et l’air autour sont à la température Ta=20°C.

Au bout d’un certain temps, le régime permanent est établi et la température de la barre ne dépend que de la position x.

D’après la loi de Newton, le flux thermique cédé à l’air par convection par un élément de surface dS à la température T(x) est donné par la relation :

𝒅𝝓 = 𝒉 𝒅𝑺 (𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

)

Où h est le coefficient d’échange par convection avec h = 5.0 W/m².K 1) Faire un schéma de l’ailette avec toutes les données.

2) Faire le bilan thermique d’une tranche de la barre entre x et x+dx et en déduire l’équation suivante :

𝒅^𝟐𝑻(𝒙)

𝒅𝒙^𝟐

−

_𝜹^𝟏_𝟐

(𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

) = 𝟎

avec

𝜹 = √

^𝝀𝑹_𝟐𝒉

3) Calculer δ et déterminer son unité.

4) En posant 𝜽(𝒙)

= 𝑻

⁽

𝒙

⁾

− 𝑻

_𝒂 montrer que l’on obtient une équation de la forme :

𝒅

^𝟐

𝜽(𝒙)

𝒅𝒙

^𝟐

− 𝜽(𝒙) 𝜹

^𝟐

= 𝟎

5) Résoudre cette équation, on posera :

𝜽

_𝟎

= 𝑻(𝒙 = 𝟎) − 𝑻

_𝒂

= 𝑻

_𝟎

− 𝑻

_𝒂

6) On considère deux ailettes de conductivités thermiques λ1 et λ2 ,

Ecrire la solution de l’équation différentielle pour les deux barres avec 𝜽(𝒙) comme variable.

Sachant que la température finale

𝜽

_𝒇 est la même pour les deux barres, trouver une relation entre les conductivités λ1 = λ et λ2 et les positions x1 et x2 .

Sachant que x1 = 6,0 cm et x2 = 15,0 cm, en déduire la conductivité λ2.

Réponse : 1)

T0 = 100°C

R = 0.5 cm L

Ta = 20 °C

x 0

x x + dx

1,0

(3)

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2) Bilan thermique sur une tranche comprise entre x et x + dx.

𝜱(𝒙) − 𝜱(𝒙 + 𝒅𝒙) − 𝒉 𝒅𝒔 (𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

) = 𝟎

𝝅𝑹

^𝟐

[− 𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 (𝒙) + 𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 (𝒙 + 𝒅𝒙)] − 𝒉 𝒅𝒔 (𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

) = 𝟎 𝒅𝒔 = 𝟐𝝅𝑹 𝒅𝒙

𝝅𝑹

^𝟐

[− 𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 (𝒙) + 𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 (𝒙 + 𝒅𝒙)] − 𝒉 𝟐𝝅𝑹 𝒅𝒙 (𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

) = 𝟎 [− 𝝏𝑻

𝝏𝒙 (𝒙) + 𝝏𝑻

𝝏𝒙 (𝒙 + 𝒅𝒙)] − 𝟐 𝒉

𝝀 𝑹 𝒅𝒙 (𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

) = 𝟎 [− 𝝏𝑻 𝝏𝒙 (𝒙) + 𝝏𝑻

𝝏𝒙 (𝒙 + 𝒅𝒙)]

𝒅𝒙 − 𝟐 𝒉

𝝀 𝑹 (𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

) = 𝟎

𝝏

^𝟐

𝑻

𝝏𝒙

^𝟐

− 𝟐 𝒉

𝝀 𝑹 (𝑻(𝒙) − 𝑻

_𝒂

) = 𝟎 𝟏

𝜹

^𝟐

= 𝟐 𝒉

𝝀 𝑹 ⇒ 𝜹 = √ 𝝀 𝑹 𝟐 𝒉

3)

𝜹 = √

^{𝝀 𝑹}_{𝟐 𝒉}

= √

^{𝟑𝟖𝟎∗𝟎,𝟓∗𝟏𝟎}_𝟐∗𝟓 ^−𝟐

= 𝟎, 𝟒𝟑𝟔 𝒎

4) On pose : 𝜽(𝒙)

= 𝑻

⁽

𝒙

⁾

− 𝑻

_𝒂

𝝏

^𝟐

𝜽

𝝏𝒙

^𝟐

− 𝟏

𝜹

^𝟐

𝜽 = 𝟎

5)

𝜽

_𝟎

= 𝑻(𝒙 = 𝟎) − 𝑻

_𝒂

= 𝑻

_𝟎

− 𝑻

_𝒂

Equation caractéristique de l’équation différentielle :

𝒓

^𝟐

− 𝟏

𝜹

^𝟐

= 𝟎 ⇒ 𝒓 = ± 𝟏 𝜹

𝜽(𝒙) = 𝑨 𝒆

^{+ 𝒙𝜹}

+ 𝑩 𝒆

^{− 𝒙𝜹}

𝑨 = 𝟎 , 𝜽(𝒙) 𝒂 𝒖𝒏𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒆𝒖𝒓 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆.

𝜽(𝒙) = 𝜽

_𝟎

𝒆

^{− 𝒙𝜹}

6) 𝜽_𝟏(𝒙) = 𝜽_𝟎 𝒆⁻^𝜹𝟏^𝒙 𝜽_𝟐(𝒙) = 𝜽_𝟎 𝒆⁻^𝜹𝟐^𝒙

Si la température est la même, les deux ailettes ont le même rayon, on peut écrire :

1,0

2,0

1,0

(4)

4/11

𝒙_𝟏 𝜹_𝟏 =𝒙_𝟐

𝜹_𝟐 𝒙_𝟏

√

𝝀

_𝟏

𝑹 𝟐 𝒉

= 𝒙_𝟐

√

𝝀

_𝟐

𝑹 𝟐 𝒉

𝒙_𝟏^𝟐

𝝀

_𝟏 ⁼

𝒙_𝟐^𝟐

𝝀

_𝟐 ^⇒

𝝀

_𝟐=

𝝀

_𝟏(𝒙_𝟐 𝒙_𝟏)^𝟐

𝝀

_𝟐 ⁼

𝝀

_𝟏

(

^𝒙^𝟐

𝒙_𝟏

)

^𝟐 = 𝟑𝟖𝟎

(

^𝟏𝟓

𝟔

)

^𝟐 = 𝟐𝟑𝟕𝟓 𝑾 𝒎^−𝟏𝑲^−𝟏

2,0

(5)

5/11

(6)

6/11

Exercice 2 : Echangeur contre-courant (12 points)

On considère un échangeur à contre-courant bitube de longueur L = 1,5 m. On fait passer dans le tube central de diamètre d = 2 cm un débit de 9,4 kg/h d’air de 616°C à 178°C.

Le fluide de refroidissement est de l’eau qui traverse la partie annulaire à la température de 16°C avec un débit de 0,6 L /min. La masse volumique de l’eau sera prise égale à 1 kg/L pour les températures données de l’eau.

Les capacités thermiques à pression constante sont pour :

✓ L’air : CPc = 1060 J/kg.K

✓ De l’eau Cpf = 4180 J/kg.K

1) Faire un schéma de l’échangeur avec toutes les données.

2) Déterminer les débits thermiques du fluide chaud et du fluide froid qtc et qtf et les calculer. Donner l’unité.

3) Déterminer le facteur de déséquilibre

R = q

t min

/ q

t max

.

4) Quel fluide commande le transfert thermique ? Justifiez.

5) Quel fluide subit la plus forte variation de température ?

6) Représenter l’allure de la variation des températures des deux fluides en fonction de la position x.

7) Déterminer et calculer le flux de chaleur perdu par le fluide chaud lors de l’échange avec le fluide froid.

8) En déduire la température de sortie du fluide froid.

9) Déterminer l’efficacité de l’échangeur.

10) Déterminer le nombre d’unités de transfert NUT de cet échangeur à contre- courant.

11) En déduire alors le coefficient d’échange global k de l’échangeur.

12) Déterminer la différence de température logarithmique DTLM et en déduire le flux de chaleur échangé.

13) Comparer la valeur obtenue à celle obtenue à la question 7. Conclusion.

Réponse :

1) 𝒎̇_𝒄= 𝟗, 𝟒 𝒌𝒈 𝒉^−𝟏 𝑻_𝒄𝒆= 𝟔𝟏𝟔 °𝑪 𝑻_𝒄𝒔 = 𝟏𝟕𝟖 °𝑪 𝑪_𝒑𝒄 = 𝟏𝟎𝟔𝟎 𝑱 𝒌𝒈^−𝟏 𝑲^−𝟏 𝒎̇_𝒇 = 𝟎, 𝟔 𝑳 𝒎𝒊𝒏^−𝟏 𝝆 = 𝟏^𝒌𝒈_𝑳 𝑻_𝒇𝒆 = 𝟏𝟔 °𝑪 𝑻_𝒇𝒔= °𝑪 𝑪_𝒑𝒇= 𝟒𝟏𝟖𝟎 𝑱 𝒌𝒈^−𝟏 𝑲^−𝟏

Air Eau

d / 2 = 1 cm

L = 1,5 m

1,0 T

fe

T

cs

T

ce

T

fs

(7)

7/11

2) Débits thermiques unitaires :

𝒒_𝒕𝒄 = 𝒎̇_𝒄𝑪_𝒑𝒄= 𝟗, 𝟒

𝟑𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟔𝟎 =𝟐, 𝟕𝟕 𝑾/𝑲 𝒒_𝒕𝒇= 𝒎̇_𝒇𝑪_𝒑𝒇 = 𝟎, 𝟔

𝟔𝟎 𝟒𝟏𝟖𝟎 =𝟒𝟏, 𝟖 𝑾/𝑲 3) Facteur de déséquilibre :

𝑹 = 𝒒_{𝒕 𝒎𝒊𝒏}

𝒒_{𝒕 𝒎𝒂𝒙} =𝟐, 𝟕𝟕

𝟒𝟏, 𝟖= 𝟎, 𝟎𝟔𝟔

4) Le fluide qui commande le transfert est celui qui a le débit thermique le plus faible, ici c’est le fluide chaud.

5) C’est le fluide chaud qui subit la plus forte variation de température.

6) Allure des températures des deux fluides.

7) Flux de chaleur perdu par le fluide chaud :

𝚽 = 𝒒

_𝒕𝒄

(𝑻

_𝒄𝒆

− 𝑻

_𝒄𝒔

) = 𝟐, 𝟕𝟕 (𝟔𝟏𝟔 − 𝟏𝟕𝟖) = 𝟏𝟐𝟏𝟑 𝑾

8) Le flux de chaleur perdu par le fluide chaud est récupéré par le fluide froid.

𝚽 = 𝒒

_𝒕𝒇

(𝑻

_𝒇𝒔

− 𝑻

_𝒇𝒆

) 𝑻

_𝒇𝒔

= 𝚽

𝒒

_𝒕𝒇

+ 𝑻

_𝒇𝒆

= 𝟏𝟐𝟏𝟑

𝟒𝟏, 𝟖

+

𝟏𝟔 =𝟒𝟓 °𝑪 9) L’efficacité de l’échangeur est donnée par :

𝑬 = 𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒄𝒔

𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒇𝒆 =𝟔𝟏𝟔 − 𝟏𝟕𝟖

𝟔𝟏𝟔 − 𝟏𝟔 = 𝟎, 𝟕𝟑

10) Détermination du NUT.

𝑵𝑼𝑻 = 𝟏

𝟏 − 𝑹𝒍𝒏 (𝟏 − 𝑬𝑹

𝟏 − 𝑬 ) = 𝟏

𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝒍𝒏 (𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟑 ∗ 𝟎, 𝟎𝟔𝟔

𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟑 ) = 𝟏, 𝟑𝟓 11) Coefficient d’échange global k

𝑵𝑼𝑻 = 𝒌 ∗ 𝚺 𝒒_{𝒕 𝒎𝒊𝒏} 𝒌 = 𝑵𝑼𝑻 ∗ 𝒒_𝒕𝒄

𝚺 = 𝟏, 𝟑𝟓 ∗ 𝟐, 𝟕𝟕

𝝅 ∗ 𝟐. 𝟏𝟎^−𝟐∗ 𝟏, 𝟓= 𝟑𝟗, 𝟕 𝑾 𝒎^−𝟐 𝒌^−𝟏 Tc

Tf

x

T

1,0

1,0 616 °C

178 °C 45 °C

16 °C

(8)

8/11

12) Différence de température logarithmique moyenne : 𝚫𝑻𝑳𝑴 =^𝚫𝑻^𝒔^−𝚫𝑻^𝒆

𝒍𝒏(^𝚫𝑻𝒔

𝚫𝑻𝒆) = ^{𝟏𝟔𝟐−𝟓𝟕𝟏}

𝒍𝒏(^𝟏𝟔𝟐_𝟓𝟕𝟏) = 𝟑𝟐𝟒, 𝟔°𝑪 ( ou K)

𝚫𝑻_𝒔 = 𝑻_𝒄𝒔− 𝑻_𝒇𝒆 = 𝟏𝟕𝟖 − 𝟏𝟔 = 𝟏𝟔𝟐 °𝑪 𝚫𝑻_𝒆 = 𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒇𝒔= 𝟔𝟏𝟔 − 𝟒𝟓 = 𝟓𝟕𝟏°𝑪

13) 𝚽 = 𝐊. 𝐒 . 𝚫𝑻𝑳𝑴 = 𝟑𝟗, 𝟕 ∗ 𝟐𝝅𝟏𝟎^−𝟐∗ 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟑𝟐𝟒, 𝟔 = 𝟏𝟐𝟏𝟒 𝑾 Résultat à comparer avec la question 7).