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IPSA | Partiel de transfert thermique du 11 janvier 2020

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SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2019-2020 Classe : Aéro-3

Type d’examen : PARTIEL Matière : Transfert thermique Code matière : En 311

Date : 11 janvier 2020 Horaire :

Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui

Documents autorisés : NON, Formulaire fourni à la fin du sujet.

Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses.

Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, la note attribuée sera égale à zéro.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /10 Exercice 2 : /5 Exercice 3 : /4 Exercice 4 : /4

Annexes : Propriétés physiques de l’air, table de erfc, Formulaire de thermique CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

Corrigé

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Exercice 1 : Flux thermique à travers un toit (10 points)

Un toit plan et horizontal d’une maison est constitué de différents matériaux :

Conductivités λ(Wm^-1°C^-1)

Epaisseurs e (mm)

Couche d’asphalte λ As=0,17 eAs= 9

Couche de liège λ Li=0,043 eLi=12

Couche de laine de verre λ La=0,049 eLa=200

Bois λ B=0,065 eB=125

Le toit a une surface S = 100 m².

On appellera Tse la température sur la face extérieure du toit et Tsi la température sur la face intérieure du toit.

A l’intérieur, la température de l’air est Ti = 293 K (20°C) et le coefficient de transfert par convection est hi = 10 W/m².°C.

A l’extérieur, la température de l’air est Te = 273 K (0°C) et le coefficient de transfert par convection est he = 35 W/m².°C.

σ = 5,67 10^-8 W/m².K⁴ Constante de Stefan-Boltzmann

La surface extérieure du toit se comporte comme un corps noir et reçoit une densité de flux solaire incident φsol = 750 W/m².

On suppose que l’espace environnant se comporte comme un corps noir et que sa température est Tesp =250 K (-23°C).

1) Faire un schéma en y reportant toutes les données du texte.

2) Compléter le schéma en y reportant tous les flux thermiques échangés (convection, conduction et rayonnement) sur la face extérieure du toit.

3) Donner la valeur du flux solaire Φsol reçu par la face extérieure du toit.

4) Donner l’expression du flux thermique échangé par convection entre la face extérieure du toit et l’air. Calculer ce flux en fonction de Tse.

5) Donner l’expression du flux thermique échangé par rayonnement Φray entre la face extérieure du toit et le milieu environnant considéré comme un corps noir. Calculer ce flux en fonction de Tse.

6) Donner l’expression du flux thermique échangé par conduction et convection arrivant sur la face extérieure du toit à partir de Ti. Calculer ce flux en fonction de Tse.

7) Déterminer la température Tse à la surface extérieure du toit.

8) Déterminer les différents flux perdus par convection, par conduction et par rayonnement et en déduire le flux total perdu par le toit.

9) Déterminer la température Tsi à la surface intérieure du toit.

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2) Voir figure flèches jaunes 3) Flux solaire :

𝚽_𝒔𝒐𝒍= 𝝋_𝒔𝒐𝒍𝑺= 𝟕𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝚽_𝒔𝒐𝒍= 𝟕𝟓, 𝟎 𝟏𝟎^𝟑 𝑾

4) Flux convectif externe : 𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒗}= 𝒉_𝒆𝑺(𝑻_𝑺𝑬− 𝑻_𝑬)

= 𝟑𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟎(𝑻_𝑺𝑬− 𝟐𝟕𝟑)

𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒗}= 𝟑, 𝟓 𝟏𝟎^𝟑 𝑻_𝑺𝑬− 𝟗𝟓𝟓, 𝟓 𝟏𝟎^𝟑 5) Flux thermique rayonné

𝚽_𝒓𝒂𝒚= 𝝈𝑺(𝑻_𝑺𝑬^𝟒 − 𝑻_𝑬𝒔𝒑^𝟒 )

= 𝟓, 𝟔𝟕𝟏𝟎^−𝟖

∗ 𝟏𝟎𝟎(𝑻_𝑺𝑬^𝟒 − 𝟐𝟓𝟎^𝟒) 𝚽_𝒓𝒂𝒚= 𝟓, 𝟔𝟕𝟏𝟎^−𝟔𝑻_𝑺𝑬^𝟒 − 𝟎, 𝟐𝟐𝟏𝟓 𝟏𝟎^𝟓 6) Flux conductif-convectif

• Calcul des résistances thermiques 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒗}^𝒊𝒏𝒕 = 𝟏

𝒉_𝒊𝑺= 𝟏

𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟎^−𝟑𝑲/𝑾 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑩 = 𝒆_𝑩

𝝀_𝑩𝑺 = 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟎^−𝟑 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟎

= 𝟏𝟗, 𝟐𝟑 𝟏𝟎^−𝟑𝑲/𝑾 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑳𝒂 = 𝒆_𝑳𝒂

𝝀_𝑳𝒂𝑺 = 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎^−𝟑 𝟎, 𝟎𝟒𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟎

= 𝟒𝟎, 𝟖𝟐 𝟏𝟎^−𝟑𝑲/𝑾

𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑳𝒊 = 𝒆_𝑳𝒊

𝝀_𝑳𝒊𝑺 = 𝟏𝟐 𝟏𝟎^−𝟑 𝟎, 𝟎𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎

=𝟐, 𝟕𝟗 𝟏𝟎^−𝟑𝑲/𝑾 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑨𝒔 = 𝒆_𝑨𝒔

𝝀_𝑨𝒔𝑺= 𝟗 𝟏𝟎^−𝟑 𝟎, 𝟏𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟎

= 𝟎, 𝟓𝟐𝟗 𝟏𝟎^−𝟑𝑲/𝑾 𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒅_𝒄𝒐𝒏𝒗}= 𝚫𝐓

𝑹 = 𝑻_𝒊− 𝑻_𝑺𝑬 𝑹_𝒕𝒐𝒕 𝑹_𝒕𝒐𝒕 = 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒗}^𝒊𝒏𝒕 + 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑩 + 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑳𝒂 + 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑳𝒊

+ 𝑹_{𝒄𝒐𝒏𝒅}^𝑨𝒔

𝑹_𝒕𝒐𝒕= 𝟏𝟎^−𝟑+ 𝟏𝟗, 𝟐𝟑 𝟏𝟎^−𝟑 + 𝟒𝟎, 𝟖𝟐 𝟏𝟎^−𝟑 + 𝟐, 𝟕𝟗 𝟏𝟎^−𝟑 + 𝟎, 𝟓𝟐𝟗 𝟏𝟎^−𝟑 𝑹_𝒕𝒐𝒕 = 𝟔𝟒, 𝟑𝟕 𝟏𝟎^−𝟑 𝑲/𝑾

𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒅_𝒄𝒐𝒏𝒗} =𝑻_𝒊− 𝑻_𝑺𝑬

𝑹_𝒕𝒐𝒕 = 𝟐𝟗𝟑 − 𝑻_𝑺𝑬 𝟔𝟒, 𝟑𝟕 𝟏𝟎^−𝟑 𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒅_𝒄𝒐𝒏𝒗} = 𝟒, 𝟓𝟓𝟐 𝟏𝟎^𝟑− 𝟏𝟓, 𝟓𝟑𝟓 𝑻_𝑺𝑬

7) A l’équilibre : flux reçu = émis Les températures en K, car formules

du rayonnement en Kelvin !!

𝚽_𝒔𝒐𝒍+ 𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒅_𝒄𝒐𝒏𝒗}= 𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒗}+ 𝚽_𝒓𝒂𝒚 𝟕𝟓, 𝟎 𝟏𝟎^𝟑+ 𝟒, 𝟓𝟓𝟐 𝟏𝟎^𝟑− 𝟏𝟓, 𝟓𝟑𝟓 𝑻_𝑺𝑬

= 𝟑, 𝟓 𝟏𝟎^𝟑 𝑻_𝑺𝑬− 𝟗𝟓𝟓, 𝟓 𝟏𝟎^𝟑 + 𝟓, 𝟔𝟕𝟏𝟎^−𝟔𝑻_𝑺𝑬^𝟒 − 𝟎, 𝟐𝟐𝟏𝟓 𝟏𝟎^𝟓 Ti =293K

TE =273K

TSE

1 3

Asphalte Liège

Laine de verre Bois

λAs = 0,17 eAS = 9 λLi = 0,043 eLi = 12 λB = 0,065 eB=200

λLa = 0,049 eLa=200

2

TEsp =250 K

2*0,50

2*0,25 2*0,25

2*0,50 2*0,25

2*0,25

2*0,25 2*0,25

hi = 10 Wm^-2°C^-1 he = 35 Wm^-2°C^-1

TSI

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𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟎^−𝟔 𝑻_𝑺𝑬^𝟒 + 𝟑, 𝟓 𝟏𝟎^𝟑 𝑻_𝑺𝑬

− 𝟏, 𝟎𝟓𝟕𝟐 𝟏𝟎^𝟔= 𝟎 Résolution avec calculatrice

𝑻_𝑺𝑬 = 𝟐𝟖𝟗, 𝟒 𝑲 (16,40°C) 8) Détermination des différents flux :

✓ Flux perdu par convection par le toit :

𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒗}= 𝟑, 𝟓 𝟏𝟎^𝟑 𝑻_𝑺𝑬− 𝟗𝟓𝟓, 𝟓 𝟏𝟎^𝟑

= 𝟓𝟕, 𝟒𝟎 𝟏𝟎^𝟑 𝑾

✓ Flux perdu par rayonnement par le toit :

𝚽_𝒓𝒂𝒚 = 𝟓, 𝟔𝟕𝟏𝟎^−𝟔𝑻_𝑺𝑬^𝟒 − 𝟎, 𝟐𝟐𝟏𝟓 𝟏𝟎^𝟓 𝚽_𝒓𝒂𝒚= 𝟏𝟔, 𝟔𝟐 𝟏𝟎^𝟑 𝑾

Il n’y a pas de flux perdu par conduction par le toit.

𝚽𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍_𝒑𝒆𝒓𝒅𝒖=𝟓𝟕, 𝟒𝟎 𝟏𝟎^𝟑+𝟏𝟔, 𝟔𝟐 𝟏𝟎^𝟑 𝚽𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍_𝒑𝒆𝒓𝒅𝒖= 𝟕𝟒 𝟏𝟎^𝟑 𝑾

9) Température TSI

𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒗}^𝒊𝒏𝒕 = 𝒉_𝒊𝑺(𝑻_𝒊− 𝑻_𝑺𝑰) = 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎(𝟐𝟗𝟑 − 𝑻_𝑺𝑰)=𝚽_{𝒄𝒐𝒏𝒅_𝒄𝒐𝒏𝒗}

𝑻_𝑺𝑰= 𝟐𝟗𝟑 − 𝟏𝟎^−𝟑∗ 𝟓𝟔, 𝟎𝟕 = 𝟐𝟗𝟐, 𝟗 𝑲 (19,94°C)

2*0,50 2*0,25 2*0,25

2*0,25 2*0,25

2*0,50

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Exercice 2 : Convection naturelle autour d’une ampoule à incandescence (5 points) On considère une ampoule à incandescence de puissance P = 40 W qu’on peut approximer par une sphère de diamètre D. A l’équilibre sa température à sa surface extérieure est TS. La température de l’air environnant loin de l’ampoule est T∞.

La chaleur de l’ampoule est transférée par convection naturelle dans l’air ambiant.

L’objectif est de déterminer le pourcentage de puissance perdu par la convection naturelle par rapport à la puissance de l’ampoule.

𝑺𝒑𝒉è𝒓𝒆 ∶ 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 ∶ 𝑽 = 𝟒

𝟑𝝅𝑹^𝟑 𝑺𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 ∶ 𝑺 = 𝟒 𝝅𝑹^𝟐

On rappelle les nombres sans dimension suivants : 𝑵𝒖 =𝒉𝑫

𝝀 𝑷𝒓 = 𝝂

𝜶 𝑮𝒓 = 𝒈𝜷|𝑻_𝑺− 𝑻_∞|𝑫^𝟑

𝝂^𝟐 𝑹𝒂 = 𝒈𝜷|𝑻_𝑺− 𝑻_∞|𝑫^𝟑 𝝂 𝜶 Nu : nombre de Nusselt, Pr : nombre de Prandtl, Gr : nombre de Grashof et Ra : nombre de Rayleigh.

La corrélation dans le cas de l’exercice est donnée par :

𝑵𝒖 = 𝑪 (𝑮𝒓. 𝑷𝒓)^𝒎 𝑪 = 𝟎, 𝟔𝟎 𝒎 = 𝟏/𝟒

h est le coefficient de convection naturelle moyen entre l’ampoule et l’air ( W/(m². K)).

D = 50 mm diamètre de l’ampoule.

𝝀 est la conductivité de l’air à la température moyenne ( W/(m. K)).

𝝂 Viscosité cinématique de l’air (m²/s) 𝜶 Diffusivité thermique de l’air (m²/s) g = 9,81 m/s² intensité de la pesanteur.

β coefficient de dilatation isobare à la température moyenne de l’air.

La température moyenne de l’air est donnée par : 𝑻_𝒇 = ^𝑻^𝑺^+𝑻_𝟐 ^∞ 𝑻_𝑺 = 𝟏𝟐𝟕°𝑪 Température à la surface de l’ampoule.

𝑻_∞ = 𝟐𝟕°𝑪 Température loin de l’ampoule.

O K = -273°C ( zéro absolu)

1) Quel phénomène physique intervient dans la convection naturelle (deux lignes maximum).

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2) A quelle température faut-il prendre la valeur des grandeurs physiques de l’air et pourquoi ?

3) Déterminer la formule du coefficient de dilatation isobare β à la température moyenne de l’air T pour un gaz parfait d’équation 𝑷𝑽 = 𝑹𝑻 . Le coefficient de dilatation isobare est donné par : 𝜷 =^𝟏_𝑽(^𝝏𝑽_𝝏𝑻)

𝑷

4) En déduire sa valeur et donner son unité.

5) Calculer le nombre de Grashof Gr.

6) Calculer le nombre de Prandtl Pr.

7) Calculer le nombre de Nusselt Nu.

8) En déduire le coefficient de convection h.

9) Déterminer le flux de chaleur échangé par convection naturelle.

10) Quel est alors le pourcentage de puissance perdu par la convection naturelle.

1) Le mouvement de l’air est dû à une différence de température qui induit une différence de masse volumique et donc une poussée d’Archimède.

2) L’air n’est pas à la même température, proche et loin de l’ampoule, il faut donc prendre les grandeurs physiques à la température moyenne :

𝑻_𝒇 = ^𝑻^𝑺^+𝑻_𝟐 ^∞=^{𝟐𝟕+𝟏𝟐𝟕}_𝟐 =77 °C = 350 K 3) On a : 𝜷 =_𝑽^𝟏(^𝝏𝑽_𝝏𝑻)

𝑷 𝒆𝒕 𝑷𝑽 = 𝑹𝑻 𝜷 =𝟏

𝑽(𝝏𝑽

𝝏𝑻)

𝑷 = 𝑹 𝑽𝑷= 𝟏

𝑻 T en Kelvin !!

4) Valeur de 𝜷 𝜷= 𝟏

𝑻_𝒇 = 𝟏

𝟑𝟓𝟎= 𝟐, 𝟖𝟓𝟕 𝟏𝟎^−𝟑 𝑲^−𝟏 5) Calcul de Grashof

𝑮𝒓 = 𝒈𝜷|𝑻_𝑺− 𝑻_∞|𝑫^𝟑 𝝂^𝟐

= 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐, 𝟖𝟓𝟕 𝟏𝟎^−𝟑(𝟏𝟐𝟕 − 𝟐𝟕)(𝟓𝟎𝟏𝟎^−𝟑)^𝟑 (𝟐𝟎, 𝟕𝟔 𝟏𝟎^−𝟔)^𝟐

𝑮𝒓 = 𝟖, 𝟏𝟑 𝟏𝟎^𝟓 6) Calcul de Prandtl 𝑷𝒓= 𝝂

𝜶= 𝟐𝟎, 𝟕𝟔 𝟏𝟎^−𝟔

𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟑 𝟏𝟎^−𝟒 =𝟎, 𝟔𝟗𝟔 7) Calcul de Nusselt

𝑵𝒖 = 𝟎, 𝟔𝟎 (𝑮𝒓. 𝑷𝒓)^𝟏/𝟒

𝑵𝒖 = 𝟎, 𝟔𝟎 (𝟖, 𝟏𝟑 𝟏𝟎^𝟓. 𝟎, 𝟔𝟗𝟔)^𝟏/𝟒 𝑵𝒖 = 𝟏𝟔, 𝟒𝟔

8) Coefficient de convection 𝑵𝒖 = 𝒉𝑫

𝝀 = 𝟏𝟔, 𝟒𝟔 𝒉 = 𝟏𝟔, 𝟒𝟔𝝀

𝑫= 𝟏𝟔, 𝟒𝟔𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟎𝟑 𝟓𝟎 𝟏𝟎^−𝟑 𝒉 = 𝟗, 𝟖𝟖 𝑾𝒎^−𝟐°𝑪^−𝟏 9) Flux de chaleur

Φ = ℎ 𝑆 (𝑇

_𝑆

− 𝑇

_∞

) Φ =

𝟗, 𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝝅

(

^{𝟓𝟎 𝟏𝟎}

−𝟑

𝟐

)

𝟐

∗

(

𝟏𝟐𝟕 − 𝟐𝟕

)

= 𝟕, 𝟕𝟔 𝑾 10) Pourcentage de puissance dissipée

par convection naturelle : 𝟕, 𝟕𝟔

𝟒𝟎 = 𝟏𝟗, 𝟒 % 2*0,25

2*0,25

2*0,25 2*0,25 2*0,25 2*0,25

2*0,25 2*0,25

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Exercice 3 : Conduite d’eau potable (4 points)

Les conduites d’eau potable sont enterrées dans le sol et doivent être à l’abri du gel.

L’objectif de cet exercice est de déterminer la profondeur d’enfouissement sécuritaire x pour éviter que l’eau de la conduite gèle, on doit donc avoir une température supérieure ou égale à O°C.

On suppose que le sol est un milieu semi-infini et que sa température initiale est uniforme et égale à Ti = 10°C. A une date ultérieure une température T∞ = -15°C s’abat et se maintient durant une période de 120 jours à la surface du sol.

Propriétés du sol :

λ = 0,52 Wm^-1k^-1 ; μ = 2050 kg/m³ ; cP = 1840 Jkg^-1K^-1 L’évolution de la température T(x, t) est donnée par :

𝑻(𝒙, 𝒕) − 𝑻_𝒊

𝑻_∞− 𝑻_𝒊 = 𝒆𝒓𝒇𝒄 ( 𝒙

𝟐√𝒂𝒕) 𝒂 = 𝝀 𝝁 𝒄_𝑷 a est la diffusivité.

Déterminer la profondeur x d’enfouissement sécuritaire pour les conditions données dans l’exercice.

La table de la fonction erreur complémentaire (erfc) est fournie en annexe.

𝑻(𝒙, 𝒕) − 𝑻_𝒊

𝑻_∞− 𝑻_𝒊 = 𝒆𝒓𝒇𝒄 ( 𝒙

𝟐√𝒂𝒕) 𝒂 = 𝝀 𝝁 𝒄_𝑷

𝑻_𝒊 = 𝟏𝟎°𝑪 𝑻_∞= −𝟏𝟓°𝑪 𝒕 = 𝟏𝟐𝟎 𝒋

𝒂 = 𝝀

𝝁 𝒄_𝑷 = 𝟎, 𝟓𝟐 𝟐𝟎𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟖𝟒𝟎

= 𝟏, 𝟑𝟕𝟗 𝟏𝟎^−𝟕 𝒎^𝟐/𝒔 𝑻(𝒙, 𝒕 = 𝟏𝟐𝟎 𝒋) = 𝟎°𝑪 0

x

T∞ = -15°C

°C

Milieu semi-infini

Ti =10 °C

2*0,50

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𝑻(𝒙, 𝒕) − 𝑻_𝒊

𝑻_∞− 𝑻_𝒊 = 𝟎 − 𝟏𝟎

−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎=𝟐 𝟓

= 𝒆𝒓𝒇𝒄 ( 𝒙 𝟐√𝒂𝒕) 𝒆𝒓𝒇𝒄 ( 𝒙

𝟐√𝒂𝒕) =𝟐

𝟓= 𝟎, 𝟒𝟎 D’après les tables, on a

𝒙

𝟐√𝒂𝒕= 𝟎, 𝟓𝟗𝟓 𝒙 = 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟓𝟗𝟓 √𝒂𝒕

𝒙 = 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟓𝟗𝟓√𝟏, 𝟑𝟕𝟗 𝟏𝟎^−𝟕∗ 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟐𝟒 ∗ 𝟑𝟔𝟎𝟎

𝒙 = 𝟏, 𝟒𝟐 𝒎

𝟏𝟐𝟎 𝒋𝒐𝒖𝒓𝒔 = 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟐𝟒 ∗ 𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟔𝟖 𝟏𝟎^𝟕 𝒔

2*0,50

2*0,50 2*0,50

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Exercice 4 : Température d’une plaque rectangulaire par discrétisation (4 points)

On considère une petite plaque carrée avec des températures imposées sur les 4 cotés. Le pas est identique et petit le long des axes x et y. Voir figure ci-dessous.

On rappelle la formule

𝑻

_𝒊,𝒋

= 𝟏

𝟒 (𝑻

_{𝒊−𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊+𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋+𝟏}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋−𝟏}

)

1) Déterminer la température au point A.

On considère la même plaque et on change le pas.

2) Déterminer la température aux points A, B, C, D, E et F.

Réponse : 1)

T = 200°C T = 100°C °C

°C

T = 200°C

°C

T = 100°C

°C

A

E F

T = 200°C T = 100°C

T = 200°C

T = 100°C

D

B C A

E F

(12)

12/16 𝑻

_𝒊,𝒋

= 𝟏

𝟒 (𝑻

_{𝒊−𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊+𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋+𝟏}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋−𝟏}

) 𝑻

_𝑨

=

^𝟏_𝟒

(𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎) = 𝟏𝟓𝟎°𝑪

2) Système d’équations

{

𝟒𝑻_𝑨 = 𝑻_𝑩+ 𝑻_𝑫+ 𝟑𝟎𝟎 𝟒𝑻_𝑩 = 𝑻_𝑨+ 𝑻_𝑪+ 𝑻_𝑬+ 𝟐𝟎𝟎

𝟒𝑻_𝑪 = 𝑻_𝑩+ 𝑻_𝑭+ 𝟒𝟎𝟎 𝟒𝑻_𝑫= 𝑻_𝑨+ 𝑻_𝑬+ 𝟐𝟎𝟎 𝟒𝑻_𝑬 = 𝑻_𝑩 + 𝑻_𝑫+ 𝑻_𝑭+ 𝟏𝟎𝟎

𝟒𝑻_𝑭 = 𝑻_𝑬 + 𝑻_𝑪+ 𝟑𝟎𝟎

{

𝟒𝑻_𝑨− 𝑻_𝑩− 𝑻_𝑫= 𝟑𝟎𝟎 𝟒𝑻_𝑩− 𝑻_𝑨− 𝑻_𝑪− 𝑻_𝑬 = 𝟐𝟎𝟎

𝟒𝑻_𝑪− 𝑻_𝑩− 𝑻_𝑭 = 𝟒𝟎𝟎 𝟒𝑻_𝑫− 𝑻_𝑨− 𝑻_𝑬 = 𝟐𝟎𝟎 𝟒𝑻_𝑬− 𝑻_𝑩− 𝑻_𝑫− 𝑻_𝑭 = 𝟏𝟎𝟎

𝟒𝑻_𝑭− 𝑻_𝑬− 𝑻_𝑪 = 𝟑𝟎𝟎

(

+𝟒 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 𝟎

−𝟏 +𝟒 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎

𝟎 −𝟏 𝟒 𝟎 𝟎 −𝟏

−𝟏 +𝟎 𝟎 𝟒 −𝟏 𝟎

𝟎 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟒 −𝟏

+𝟎 𝟎 −𝟏 𝟎 −𝟏 +𝟒

)(

𝑻_𝑨 𝑻_𝑩 𝑻_𝑪 𝑻_𝑫 𝑻_𝑬 𝑻_𝑭)

= (

𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎) 𝑻_𝑨= 𝟏𝟒𝟔, 𝟒 °𝑪

𝑻_𝑩 = 𝟏𝟔𝟓, 𝟐°𝑪 𝑻_𝑪 = 𝟏𝟕𝟗, 𝟕°𝑪 𝑻_𝑫 = 𝟏𝟐𝟎, 𝟑°𝑪 𝑻_𝑬 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟖°𝑪 𝑻_𝑭 = 𝟏𝟓𝟑, 𝟔°𝑪

0,5 * 2

T = 200°C T = 100°C

T = 200°C

T = 100°C

D

B C A

𝟏𝟒𝟔, 𝟒 °𝑪

𝟏𝟔𝟓, 𝟐 °𝑪

𝟏𝟑𝟒, 𝟖 °𝑪

𝟏𝟓𝟑, 𝟔 °𝑪 𝟏𝟐𝟎, 𝟑°𝑪

𝟏𝟕𝟗, 𝟕°𝑪

0,5 * 6

E

F

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Annexes

Physical Properties of Air at Atmospheric Pressure

Exemple : T = 100K, μ= 0,692 10^-5kg/m.s (Pa.s) ν=1,923 10^-6m²/s Notes:

T = temperature, ρ = density, c_p = specific heat capacity,

μ = viscosity, ν = μ/ρ = kinetic viscosity, k = thermal conductivity, α = c_pρ/k = heat (thermal) diffusivity, Pr = Prandtl number

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15/16

(16)

16/16 FORMULAIRE

convection

Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻

_𝒑

− 𝑻

_∞

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻

_𝒑

− 𝑻

_∞

) Conduction

Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

Résistance thermique de conduction d’une 𝝏𝒙

paroi d’épaisseur e 𝑹 = 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance de convection

𝑹 = 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹 𝛗 = 𝚫𝑻

𝑹𝑺 Equation de la chaleur avec source

𝚫𝑻 + 𝑸

_𝑽