IPSA | Partiel de transfert thermique du 20 janvier 2021
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SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2020-2021 Classe : Aéro-3
Type d’examen : PARTIEL Matière : Transfert thermique Code matière : En 311
Date : 20 janvier 2021 Horaire :
Durée : 2 h
Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui
Documents autorisés : NON, Formulaire fourni à la fin du sujet.
Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.
CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :
Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.
Le barème est donné à titre indicatif.
Posez vos calculs, donner les unités.
Rédigez directement sur la copie.
Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.
Exercice 1 : /6,5 Exercice 2 : /7,5 Exercice 3 : /6,0 Exercice 4 : /4,0
Annexes : Propriétés physiques de l’air, formulaire de thermique CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :
Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :
NOM : Prénom : Classe :
/20
Numéro :
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Exercice 1 : Flux thermique à travers un toit (6,5 points)
Un toit plan et horizontal d’une maison est constitué de différents matériaux :
Conductivités λ(Wm-1 °C-1)
Epaisseurs e (mm) Couche d’asphalte coulée λ As=0,85 eAs= 12 Couche de béton armé λ Ba=1,50 eBa = 250
Couche de liège λ Li=0,043 eLi=12
Couche de laine de verre λ Lv=0,049 eLv=200
Bois de chêne λ Bc=0,16 eBc=125
On suppose que tout l’ensemble est à l’équilibre.
Le toit a une surface S = 75 m2.
On appellera Tse la température sur la face extérieure du toit et Tsi la température sur la face intérieure du toit.
A l’intérieur, la température de l’air est Ti =20°C et le coefficient de transfert par convection est hi = 10 W/m2.°C.
A l’extérieur, la température de l’air est Te = -5°C et le coefficient de transfert par convection est he = 55 W/m2.°C.
σ = 5,67 10-8 W/m2.K4 Constante de Stefan-Boltzmann
La surface extérieure du toit se comporte comme un corps noir et reçoit une densité de flux solaire incident φsol = 650 W/m2.
On suppose que l’espace environnant se comporte comme un corps noir et que sa température est Tesp = -25°C.
O K = - 273°C (Zéro absolu).
1) Compléter le schéma en y reportant toutes les données du texte.
2) Compléter le schéma en y reportant tous les flux thermiques échangés (convection, conduction et rayonnement) sur la face extérieure du toit.
3) Donner la valeur du flux solaire Φsol reçu par la face extérieure du toit.
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4) Donner l’expression du flux thermique échangé par convection entre la face extérieure du toit et l’air. Calculer ce flux en fonction de Tse.
5) Donner l’expression du flux thermique échangé par rayonnement Φray
entre la face extérieure du toit et le milieu environnant considéré comme un corps noir. Calculer ce flux en fonction de Tse.
6) Donner l’expression du flux thermique échangé par conduction et convection arrivant sur la face extérieure du toit à partir de la température à l’intérieur Ti. Calculer ce flux en fonction de Tse.
7) Montrer en écrivant la conservation du flux qu’on obtient un polynôme du 4ème degré en Tse.
8) Déterminer la température Tse à la surface extérieure du toit.
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Exercice 2 : Convection naturelle et rayonnement d’une ampoule à filament (7,5 points) Une ampoule à filament de puissance P = 60 W qu’on peut approximer par une sphère de diamètre D éclaire un local. A l’équilibre, sa température à sa surface extérieure est TS. La température de l’air environnant loin de l’ampoule est T∞. L’énergie électrique consommée par cette ampoule est transformée en énergie thermique (chaleur) et en énergie de rayonnement (lumineuse).
La chaleur de l’ampoule est transférée par convection naturelle dans l’air ambiant à travers l’ampoule en verre dont la température de surface est TS.
L’énergie lumineuse est transférée par la surface de l’ampoule à travers le local.
L’objectif est de déterminer les différents flux thermiques et les comparer à la puissance de l’ampoule.
𝑺𝒑𝒉è𝒓𝒆 ∶ 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 ∶ 𝑽 = 𝟒
𝟑𝝅𝑹𝟑 𝑺𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 ∶ 𝑺 = 𝟒 𝝅𝑹𝟐 On rappelle les nombres sans dimension suivants :
𝑵𝒖 =𝒉𝑫
𝝀 𝑷𝒓 = 𝝂
𝜶 𝑮𝒓 = 𝒈𝜷|𝑻𝑺− 𝑻∞|𝑫𝟑
𝝂𝟐 𝑹𝒂 = 𝒈𝜷|𝑻𝑺− 𝑻∞|𝑫𝟑 𝝂 𝜶 Nu : nombre de Nusselt, Pr : nombre de Prandtl, Gr : nombre de Grashof et Ra : nombre de Rayleigh.
La corrélation dans le cas de l’exercice est donnée par :
𝑵𝒖 = 𝟐 + 𝟎, 𝟓𝟖𝟗 𝑹𝒂
𝟏𝟒[𝟏 + ( 𝟎, 𝟒𝟔𝟗
𝑷𝒓 )
𝟗 𝟏𝟔
]
𝟒 𝟗
h est le coefficient de convection naturelle moyen entre l’ampoule et l’air ( W/(m2. K)).
D = 80 mm diamètre de l’ampoule.
𝝀 est la conductivité de l’air ( W/(m. K)).
𝝂 Viscosité cinématique de l’air (m2/s) 𝜶 Diffusivité thermique de l’air (m2/s) g = 9,81 m/s2 intensité de la pesanteur.
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β coefficient de dilatation isobare à la température moyenne de l’air.
La température moyenne de l’air est donnée par : 𝑻𝒇 = 𝑻𝑺+𝑻𝟐 ∞ 𝑻𝑺 = 𝟏𝟕𝟎°𝑪 Température à la surface de l’ampoule.
𝑻∞ = 𝟑𝟎°𝑪 Température loin de l’ampoule.
O K = -273°C (zéro absolu).
σ = 5,67 10-8 W/m2.K4 constante de Stefan-Boltzmann.
Le flux échangé par rayonnement entre la surface de l’ampoule et l’environnement est donné par :
𝜱 = 𝝐
𝟎𝝈𝑺 (𝑻
𝑺𝟒− 𝑻
∞𝟒)
𝝐𝟎= 𝟎, 𝟗𝟎 Émissivité de l’ampoule supposée constante.
A. Calcul des différentes grandeurs thermiques
1) Quel phénomène physique intervient dans la convection naturelle (deux lignes maximum).
2) A quelle température faut-il prendre la valeur des grandeurs physiques de l’air et pourquoi ?
3) Montrer que le coefficient de dilatation isobare β est égal à 1/T. L’équation d’un gaz parfait est 𝑷𝑽 = 𝑹𝑻 et Le coefficient de dilatation isobare est défini par : 𝜷 =
𝟏 𝑽(𝝏𝑽
𝝏𝑻)
𝑷.
4) En déduire sa valeur et donner son unité.
5) Déterminer en utilisant le tableau des caractéristiques de l’air à la pression atmosphérique les propriétés suivantes :
• 𝝀 la conductivité thermique
• 𝝂 la viscosité cinématique
• 𝜶 la diffusivité thermique de l’air
• Et en déduire le nombre de Prandtl.
6) En utilisant les formules données, montrer que le nombre de Ra est égal à Gr. Pr.
7) Calculer le nombre de Rayleigh Ra.
8) Calculer le nombre de Nusselt Nu.
9) En déduire le coefficient de convection h.
B. Calcul des flux thermiques
1) Déterminer le flux de chaleur échangé par convection naturelle à la surface extérieure de l’ampoule.
2) Déterminer le flux de chaleur échangé par rayonnement entre la surface extérieure de l’ampoule et l’environnement.
3) Calculer la somme des deux flux de chaleur et la comparer à la puissance de la lampe.
4) Quel est alors le pourcentage de puissance pour le rayonnement par rapport à la puissance totale de l’ampoule. Conclusion.
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Exercice 3 : Contact entre deux solides semi-infinis ( 6 points)
On considère deux milieux semi-infinis A et B, de températures initiales respectives TAi et TBi avec TAi > TBi. Chaque milieu est caractérisé par sa conductivité thermique λ, sa masse volumique ρ et sa capacité calorifique (chaleur massique) Cp. Ces deux solides sont mis brusquement en contact à l’instant t = 0 et une densité de flux de chaleur se propage au niveau de la surface de contact entre A et B.
La diffusivité α et l’effusivité b sont données par :
𝜶 =
𝝀𝝆 𝒄𝒑
𝒃 = √𝝀𝝆𝒄
𝒑Au bout d’un certain temps t, la densité de flux φ traversant la surface de contact est donnée par :
𝝋 = 𝝀
𝑨(𝑻
𝑨𝒊− 𝑻
𝑪)
√𝝅𝜶
𝑨𝒕 = 𝝀
𝑩(𝑻
𝑪− 𝑻
𝑩𝒊)
√𝝅𝜶
𝑩𝒕
Où Tc représente la température de contact entre les deux milieux.
1) Déterminer l’unité de la diffusivité, de l’effusivité et la densité de flux dans le système international en utilisant les formules ci-dessus.
2) Montrer à partir des relations précédentes que la température de contact TC ne dépend pas du temps et peut s’écrire :
𝑻
𝑪= 𝒃
𝑨𝑻
𝑨𝒊+ 𝒃
𝑩𝑻
𝑩𝒊𝒃
𝑨+ 𝒃
𝑩3) Le contact entre deux milieux peut s’appliquer entre le corps humain et un matériau, le corps humain sera considéré comme semi-infini et le contact peut se faire avec une partie du corps comme les mains ou les pieds. Le corps A est le corps humain et le contact avec le milieu B se fait avec les pieds. On utilise différents milieux B.
TAi TBi
λA , ρA ,
c
pA λA , ρA ,c
pAA B
TC
A
B
La température du corps humain est égale à 37°C.
Les différents matériaux sont à la même température de 15°C : un peu froid………
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a) Compléter le tableau suivant en mettant les résultats obtenus sans poser l’opération de calcul sur la copie :
Conductivité λ (w/m.K)
Masse volumique ρ
(kg/m3)
Capacité calorifique Cp (J/kg.K)
Diffusivité
α ( ) Effusivité b
b( ) T(°C) A : Corps
humain 0,63 996 4130 37
B : Bois de
chêne 0,23 750 1600 15
B : Marbre
0,30 2700 880 15
B : Brique
0,84 1500 840 15
B : Béton
0,92 2400 880 15
B : Acier inox
16 7850 470 15
Le corps humain comporte 72% d’eau et donc ses propriétés sont proches de celles de l’eau.
b) Compléter le tableau, comme précédemment en calculant la température de contact TC et la densité de flux φ au bout d’un temps t = 1s.
Contact TC (°C) φ (W/m2)
A : Corps humain/
B : Bois de chêne A : Corps humain/
B : Marbre A : Corps humain/
B : Brique A : Corps humain/
B : Béton A : Corps humain/
B : Acier inox
c) Répondez aux questions suivantes :
• Quel est le corps le plus effusif ? :
Réponse : ……….
• Quel est le corps le moins effusif ? :
Réponse : ……….
• Quel matériau permet d’avoir la température de contact la plus proche du corps humain ?
Réponse : ……….
• Quel matériau permet d’avoir la température de contact la plus éloignée du corps humain ?
Réponse : ……….
• Quel matériau absorbe le plus rapidement l’énergie ?
Réponse : ……….
• Quel matériau absorbe le moins rapidement l’énergie ?
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Réponse : ……….
4) Conclusion générale ( 3 phrases maximum).
Réponse : 1)
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Exercice 4 : Température d’une plaque rectangulaire par discrétisation (4 points)
On considère une petite plaque carrée avec des températures imposées sur les 4 cotés. Le pas est identique et petit le long des axes x et y. Voir figure ci-dessous.
On rappelle la formule
𝑻
𝒊,𝒋= 𝟏
𝟒 (𝑻
𝒊−𝟏,𝒋+ 𝑻
𝒊+𝟏,𝒋+ 𝑻
𝒊,𝒋+𝟏+ 𝑻
𝒊,𝒋−𝟏)
1) Déterminer la température au point A.
On considère la plaque suivante, le pas est le même suivant x et y.
2) Déterminer la température aux points A, B, C, D, E, F, G, H et I.
Réponse :
T = 300°C T = 100°C °C
°C
T = 400°C
°C
T = 200°C
°C
A
T = 300°C T = 100°C °C
°C
T = 400°C
°C
T = 200°C
°C
A H I G
E D C
F B
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ATTENTION A LA LECTURE :
Exemple pour t = -20°C ; T =253 K :
ρ = 1,365 kg/m3 Cp = 1,005 kJ/kg.K λ = 0,0226 W/m.K α= 16,8 10-6 m2/s η = 16,279 10-6 Pa.s ν= 12,0 10-6 m2/s
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