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IPSA | Partiel de transfert thermique du 11 janvier 2020

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SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2019-2020 Classe : Aéro-3

Type d’examen : PARTIEL Matière : Transfert thermique Code matière : En 311

Date : 11 janvier 2020 Horaire :

Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui

Documents autorisés : NON, Formulaire fourni à la fin du sujet.

Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses.

Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, la note attribuée sera égale à zéro.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /10 Exercice 2 : /4 Exercice 3 : /4 Exercice 4 : /4

Annexes : Propriétés physiques de l’air, table de erfc, Formulaire de thermique CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

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Exercice 1 : Flux thermique à travers un toit (10 points)

Un toit plan et horizontal d’une maison est constitué de différents matériaux :

Conductivités λ(Wm^-1°C^-1)

Epaisseurs e (mm)

Couche d’asphalte λ As=0,17 eAs= 9

Couche de liège λ Li=0,043 eLi=12

Couche de laine de verre λ La=0,049 eLa=200

Bois λ B=0,065 eB=125

Le toit a une surface S = 100 m².

On appellera Tse la température sur la face extérieure du toit et Tsi la température sur la face intérieure du toit.

A l’intérieur, la température de l’air est Ti = 293 K (20°C) et le coefficient de transfert par convection est hi = 10 W/m².°C.

A l’extérieur, la température de l’air est Te = 273 K (0°C) et le coefficient de transfert par convection est he = 35 W/m².°C.

σ = 5,67 10^-8 W/m².K⁴ Constante de Stefan-Boltzmann

La surface extérieure du toit se comporte comme un corps noir et reçoit une densité de flux solaire incident φsol = 750 W/m².

On suppose que l’espace environnant se comporte comme un corps noir et que sa température est Tesp =250 K (-23°C).

1) Faire un schéma en y reportant toutes les données du texte.

2) Compléter le schéma en y reportant tous les flux thermiques échangés (convection, conduction et rayonnement) sur la face extérieure du toit.

3) Donner la valeur du flux solaire Φsol reçu par la face extérieure du toit.

4) Donner l’expression du flux thermique échangé par convection entre la face extérieure du toit et l’air. Calculer ce flux en fonction de Tse.

5) Donner l’expression du flux thermique échangé par rayonnement Φray

entre la face extérieure du toit et le milieu environnant considéré comme un corps noir. Calculer ce flux en fonction de Tse.

6) Donner l’expression du flux thermique échangé par conduction et convection arrivant sur la face extérieure du toit à partir de Ti. Calculer ce flux en fonction de Tse.

7) Déterminer la température Tse à la surface extérieure du toit.

8) Déterminer les différents flux perdus par convection, par conduction et par rayonnement et en déduire le flux total perdu par le toit.

9) Déterminer la température Tsi à la surface intérieure du toit.

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Exercice 2 : Convection naturelle autour d’une ampoule à incandescence (4 points) On considère une ampoule à incandescence de puissance P = 40 W qu’on peut approximer par une sphère de diamètre D. A l’équilibre sa température à sa surface extérieure est TS. La température de l’air environnant loin de l’ampoule est T∞.

La chaleur de l’ampoule est transférée par convection naturelle dans l’air ambiant.

L’objectif est de déterminer le pourcentage de puissance perdu par la convection naturelle par rapport à la puissance de l’ampoule.

𝑺𝒑𝒉è𝒓𝒆 ∶ 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 ∶ 𝑽 = 𝟒

𝟑𝝅𝑹^𝟑 𝑺𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 ∶ 𝑺 = 𝟒 𝝅𝑹^𝟐

On rappelle les nombres sans dimension suivants : 𝑵𝒖 =𝒉𝑫

𝝀 𝑷𝒓 = 𝝂

𝜶 𝑮𝒓 = 𝒈𝜷|𝑻_𝑺− 𝑻_∞|𝑫^𝟑

𝝂^𝟐 𝑹𝒂 = 𝒈𝜷|𝑻_𝑺− 𝑻_∞|𝑫^𝟑 𝝂 𝜶 Nu : nombre de Nusselt, Pr : nombre de Prandtl, Gr : nombre de Grashof et Ra : nombre de Rayleigh.

La corrélation dans le cas de l’exercice est donnée par :

𝑵𝒖 = 𝑪 (𝑮𝒓. 𝑷𝒓)^𝒎 𝑪 = 𝟎, 𝟔𝟎 𝒎 = 𝟏/𝟒

h est le coefficient de convection naturelle moyen entre l’ampoule et l’air ( W/(m². K)).

D = 50 mm diamètre de l’ampoule.

𝝀 est la conductivité de l’air à la température moyenne ( W/(m. K)).

𝝂 Viscosité cinématique de l’air (m²/s) 𝜶 Diffusivité thermique de l’air (m²/s) g = 9,81 m/s² intensité de la pesanteur.

β coefficient de dilatation isobare à la température moyenne de l’air.

La température moyenne de l’air est donnée par : 𝑻_𝒇 = ^𝑻^𝑺^+𝑻_𝟐 ^∞ 𝑻_𝑺 = 𝟏𝟐𝟕°𝑪 Température à la surface de l’ampoule.

𝑻_∞ = 𝟐𝟕°𝑪 Température loin de l’ampoule.

O K = -273°C ( zéro absolu)

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1) Quel phénomène physique intervient dans la convection naturelle (deux lignes maximum).

2) A quelle température faut-il prendre la valeur des grandeurs physiques de l’air et pourquoi ?

3) Déterminer la formule du coefficient de dilatation isobare β à la température moyenne de l’air T pour un gaz parfait d’équation 𝑷𝑽 = 𝑹𝑻 . Le coefficient de dilatation isobare est donné par : 𝜷 =^𝟏_𝑽(^𝝏𝑽_𝝏𝑻)

𝑷

4) En déduire sa valeur et donner son unité.

5) Calculer le nombre de Grashof Gr.

6) Calculer le nombre de Prandtl Pr.

7) Calculer le nombre de Nusselt Nu.

8) En déduire le coefficient de convection h.

9) Déterminer le flux de chaleur échangé par convection naturelle.

10) Quel est alors le pourcentage de puissance perdu par la convection naturelle.

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Exercice 3 : Conduite d’eau potable (4 points)

Les conduites d’eau potable sont enterrées dans le sol et doivent être à l’abri du gel.

L’objectif de cet exercice est de déterminer la profondeur d’enfouissement sécuritaire x pour éviter que l’eau de la conduite gèle, on doit donc avoir une température supérieure ou égale à O°C.

On suppose que le sol est un milieu semi-infini et que sa température initiale est uniforme et égale à Ti = 10°C. A une date ultérieure une température T∞ = -15°C s’abat et se maintient durant une période de 120 jours à la surface du sol.

Propriétés du sol :

λ = 0,52 Wm^-1k^-1 ; μ = 2050 kg/m³ ; cP = 1840 Jkg^-1K^-1 L’évolution de la température T(x, t) est donnée par :

𝑻(𝒙, 𝒕) − 𝑻_𝒊

𝑻_∞− 𝑻_𝒊 = 𝒆𝒓𝒇𝒄 ( 𝒙

𝟐√𝒂𝒕) 𝒂 = 𝝀 𝝁 𝒄_𝑷 a est la diffusivité.

Déterminer la profondeur x d’enfouissement sécuritaire pour les conditions données dans l’exercice.

La table de la fonction erreur complémentaire (erfc) est fournie en annexe.

0

x

T∞ = -15°C

°C

Milieu semi-infini

Ti =10 °C

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Exercice 4 : Température d’une plaque rectangulaire par discrétisation (4 points)

On considère une petite plaque carrée avec des températures imposées sur les 4 cotés. Le pas est identique et petit le long des axes x et y. Voir figure ci-dessous.

On rappelle la formule

𝑻

_𝒊,𝒋

= 𝟏

𝟒 (𝑻

_{𝒊−𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊+𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋+𝟏}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋−𝟏}

)

1) Déterminer la température au point A.

On considère la même plaque et on change le pas.

2) Déterminer la température aux points A, B, C, D, E et F.

Réponse : 1)

T = 200°C T = 100°C °C

°C

T = 200°C

°C

T = 100°C

°C

A

T = 200°C T = 100°C

T = 200°C

T = 100°C

D

B C A

E F

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Annexes

Physical Properties of Air at Atmospheric Pressure

Exemple : T = 100K, μ= 0,692 10^-5kg/m.s (Pa.s) ν=1,923 10^-6m²/s Notes:

T = temperature, ρ = density, c_p = specific heat capacity,

μ = viscosity, ν = μ/ρ = kinetic viscosity, k = thermal conductivity, α = c_pρ/k = heat (thermal) diffusivity, Pr = Prandtl number

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14/14 FORMULAIRE

convection

Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻

_𝒑

− 𝑻

_∞

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻

_𝒑

− 𝑻

_∞

) Conduction

Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

Résistance thermique de conduction d’une 𝝏𝒙

paroi d’épaisseur e 𝑹 = 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance de convection

𝑹 = 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹 𝛗 = 𝚫𝑻

𝑹𝑺 Equation de la chaleur avec source

𝚫𝑻 + 𝑸

_𝑽

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x

x

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𝑻

= 𝟏

𝟒 (𝑻

+ 𝑻

+ 𝑻

+ 𝑻

)

T = 200°C T = 100°C °C

°C

T = 200°C

°C

T = 100°C

°C

A

T = 200°C T = 100°C

T = 200°C

T = 100°C

D

B C A

E F

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Annexes

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14/14 FORMULAIRE

convection

Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻

− 𝑻

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻

− 𝑻

) Conduction

Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

Résistance thermique de conduction d’une 𝝏𝒙

paroi d’épaisseur e 𝑹 = 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance de convection

𝑹 = 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹 𝛗 = 𝚫𝑻

𝑹𝑺 Equation de la chaleur avec source

𝚫𝑻 + 𝑸

𝝀 = 𝟎 Equation de la chaleur sans source 𝚫𝑻 = 𝟎 Laplacien en coordonnées cartésiennes

𝚫𝐓 = 𝝏

𝑻

𝝏𝒙

+ 𝝏

𝑻

𝝏𝒚

+ 𝝏

𝑻

𝝏𝒛

Laplacien en coordonnées cylindriques

(Unidimensionnel suivant r) 𝚫𝐓 = 𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓 𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) Laplacien en coordonnées sphériques

(Unidimensionnel suivant r) 𝚫𝐓 = 𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓