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IPSA | Partiel de transfert thermique du 14 janvier 2019

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SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2018-2019 Classe : Aéro-3

Type d’examen : PARTIEL Matière : Transfert thermique Code matière : En 311 tc Date : 14 janvier 2019 Horaire :

Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui

Documents autorisés : NON, Formulaire fourni à la fin du sujet.

Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses.

Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, la note attribuée sera égale à zéro.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /10 Exercice 2 : /6 Exercice 3 : /4 Exercice 4 : /4

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

(2)

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Exercice 1 : Refroidissement d’un transistor de puissance (10 points)

Un transistor de puissance doit dissiper intégralement la totalité de la chaleur produite par unité de temps vers l’extérieur par l’intermédiaire d’ailettes de couleur noire de surface totale S. On appellera Φ cette puissance dissipée.

La température ambiante (loin du transistor) est

θ

a

,

on appellera

θ

cla température d’équilibre de fonctionnement du composant (transistor).

Les modes de transfert liés dans le refroidissement de ce composant sont :

✓ La conduction : elle sera négligée y compris la résistance de contact (soudure) entre le composant et les ailettes.

✓ La convection : caractérisée par un coefficient de convection h.

✓ Le rayonnement des ailettes.

L’objectif est d’étudier l’effet de la convection seul, ensuite le rayonnement seul et l’effet des deux modes de transfert.

A. Première partie : effet des échanges par convection

Dans cette partie, on ne considèrera que la convection. Les échanges de chaleur par convection seront caractérisés par un coefficient de convection h. On notera

θ

c la température du composant obtenue lors des transferts de chaleur par convection.

1) Donner l’expression du flux thermique échangé par convection entre le composant et l’air ambiant en fonction des données.

2) En déduire la formule donnant la température d’équilibre

θ

c du composant.

3) En déduire la valeur de la température d’équilibre

θ

c du composant.

Application numérique : S = 20 cm²

θ

a

= 20°C

Φ = 40 joule/min h = 5 W m^-2°C^-1

B. Deuxième partie : effet des échanges par rayonnement.

Dans cette partie, on ne considèrera que les échanges par rayonnement. La dissipation correspond au bilan global de la puissance émise Pem et la puissance absorbée Pab par la surface noire S des ailettes. On notera

θ

r

(°C)

ou

T

r

(K)

la température du composant obtenue lors des transferts de chaleur par rayonnement.

On rappelle la formule :

(3)

3/15 𝚽 = 𝑷

_𝒆𝒎

− 𝑷

_𝒂𝒃

= 𝜶 𝑺𝝈 (𝑻

_𝒓^𝟒

− 𝑻

_𝒂^𝟒

)

𝜶 = 𝜺 = 𝟏

Constante de Stéfan-Boltzman : σ = 5,67 10^-8 W/m².K⁴ 0°C = 273 K.

1) En déduire l’expression de la température Tr. 2) En déduire la valeur de Tr et l’exprimer en °C.

3) En comparant les deux températures obtenues dans la première et la seconde partie, quelle conclusion peut-on en tirer.

C. Troisième partie : effet des échanges par convection et rayonnement.

Dans cette partie, les deux modes de transfert agissent en même temps, c’est-à-dire que le flux Φ est dissipé par ces deux modes de transfert. On appellera T La température du composant et Ta.

1) Ecrire le bilan des flux en fonction des données.

2) En déduire une équation sous la forme d’un polynôme.

3) Résoudre numériquement cette équation.

4) Conclure.

(4)

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(5)

5/15

Exercice 2 : Convection naturelle à la surface d’un mur (6 points)

On considère un mur de hauteur L à l’intérieur d’une pièce d’une maison. La température de surface du mur est TS = 10°C et loin du mur T∞ = 20°C. L’objectif est de déterminer le coefficient de convection naturelle moyen h de ce mur.

On rappelle les nombres sans dimension suivants 𝑵𝒖 =𝒉𝑳

𝝀 𝑹𝒂 = 𝒈𝜷|𝑻_𝑺− 𝑻_∞|𝑳^𝟑 𝝂 𝜶 Nu : nombre de Nusselt, Ra : nombre de Rayleigh.

h est le coefficient de convection entre le mur et l’air. ( W/(m². K)) L =2,5 m la hauteur du mur.

𝝀 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟑 𝐖/(𝐦. 𝐊) est la conductivité de l’air à la température moyenne.

g = 9,81 m/s² intensité de la pesanteur.

β = 1 / Tf coefficient de dilatation isobare à la température moyenne de l’air exprimée en Kelvin. 𝑻_𝒇 = ^𝑻^𝑺^+𝑻_𝟐 ^∞

𝑻_𝑺 = 𝟏𝟎°𝑪 Température à la surface du mur.

𝑻_∞ = 𝟐𝟎°𝑪 Température loin du mur.

𝜶 = 𝟐𝟎, 𝟗 𝟏𝟎^−𝟔 𝒎^𝟐/𝒔 Diffusivité thermique de l’air.

𝝂 = 𝟏𝟒, 𝟖𝟐 𝟏𝟎^−𝟔 𝒎^𝟐/𝒔 Viscosité cinématique de l’air.

Pr = 0,706 nombre de Prandtl à la température moyenne du fluide.

1) Montrer que les nombre de Nusselt et de Rayleigh sont des nombres sans dimension.

2) Calculer le coefficient de dilatation isobare β à la température moyenne de l’air.

3) Calculer le nombre de Ra.

4) Calculer le nombre de Nusselt Nu donné par la corrélation suivante valable dans le cas de l’exercice :

𝑵𝒖 = {

𝟎, 𝟖𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟖𝟕 𝑹𝒂^𝟏^⁄^𝟔 [𝟏 + (𝟎, 𝟒𝟗𝟐𝑷𝒓 )

𝟗⁄𝟏𝟔

]

𝟖⁄𝟐𝟕

}

𝟐

5) En déduire le coefficient de convection h.

6) Déterminer la densité de flux échangé entre le mur et l’intérieur de la pièce.

(6)

6/15

(7)

7/15

(8)

8/15

(9)

9/15

Exercice 3 : sphère de matière radioactive (4 points)

Les déchets radioactifs sont stockés dans un container de forme sphérique, d’épaisseur négligeable et de rayon R0. Les déchets nucléaires génèrent une puissance thermique uniforme par unité de volume due aux différentes désintégrations radioactives, supposée constante et notée QV. Cette chaleur est évacuée à travers la paroi de la sphère maintenue à une température constante T∞. La conductivité des déchets est notée λ.

1) Ecrire l’équation de la chaleur à l’intérieur du combustible et donner les conditions aux limites.

2) Résoudre l’équation de la chaleur et donner le profil de température T(r) dans le combustible sans faire l’application numérique.

3) Déterminer le profil de température en utilisant les données.

4) Faire une représentation graphique de T(r).

5) Déterminer la température au centre de la sphère.

Données : R0 = 0,040 m QV = 4.0 10⁷ W/m³ T∞= 80°C

λ = 15 W/m.°C

r

0

T

∞

T

∞

(10)

10/15

(11)

11/15

Exercice 4 : Température d’une plaque rectangulaire par discrétisation (4 points) On considère une petite plaque carrée avec des températures imposées sur les 4 cotés. Le pas est identique et petit le long des axes x et y. Voir figure ci-dessous.

On rappelle la formule

𝑻

_𝒊,𝒋

= 𝟏

𝟒 (𝑻

_{𝒊−𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊+𝟏,𝒋}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋+𝟏}

+ 𝑻

_{𝒊,𝒋−𝟏}

)

1) Déterminer la température au point A.

On considère la même plaque et on change le pas.

2) Déterminer la température aux points A, B, C et D.

T = 30 °C T = 20 °C

T = 40 °C

T = 10 °C

A

T = 30 °C T = 20 °C

T = 40 °C

T = 10 °C

C D

B

A

(12)

12/15

(13)

13/15

(14)

14/15

(15)

15/15 FORMULAIRE

Formules de transfert thermique

Conduction et convection Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻 − 𝑻

_𝒇

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻 − 𝑻

_𝒇

) Résistance thermique de conduction d’une

paroi d’épaisseur e 𝑹 = 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance de convection

𝑹 = 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹 𝛗 = 𝚫𝑻

𝑹𝑺 Equation de la chaleur avec source

𝚫𝑻 + 𝑸

_𝑽

1/15 /20 Numéro :

1/15

/20

Numéro :

2/15

θ

,

θ

θ

θ

θ

θ

= 20°C

θ

(°C)

T

(K)

3/15 𝚽 = 𝑷

− 𝑷

= 𝜶 𝑺𝝈 (𝑻

− 𝑻

)

𝜶 = 𝜺 = 𝟏

4/15

5/15

6/15

7/15

8/15

9/15

r

T

T

10/15

11/15

𝑻

= 𝟏

𝟒 (𝑻

+ 𝑻

+ 𝑻

+ 𝑻

)

T = 30 °C T = 20 °C

T = 40 °C

T = 10 °C

A

T = 30 °C T = 20 °C

T = 40 °C

T = 10 °C

C D

B

A

12/15

13/15

14/15

15/15 FORMULAIRE

Conduction et convection Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻 − 𝑻

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻 − 𝑻

) Résistance thermique de conduction d’une

paroi d’épaisseur e 𝑹 = 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance de convection

𝑹 = 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹 𝛗 = 𝚫𝑻

𝑹𝑺 Equation de la chaleur avec source

𝚫𝑻 + 𝑸

𝝀 = 𝟎 Equation de la chaleur sans source 𝚫𝑻 = 𝟎 Laplacien en coordonnées cartésiennes

𝚫𝐓 = 𝝏

𝑻

𝝏𝒙

+ 𝝏

𝑻

𝝏𝒚

+ 𝝏

𝑻